Esercizi sugli insiemi
Ho alcuni esercizi da risolvere...vi propongo il primo:
Se $BsubA$, dimostrare che per un qualunque $C$ si ha $BuuCsubAuuC$ e $BnnCsubAnnC$
Vi faccio vedere come ho ragionato, se male mi darete dei consigli:
$BsubA$ se $AA x in B,x in A$
Dunque se $x in BuuC$, esendo $BsubA$, ciò implica che $AAx in BuuC, x in AuuC.$
Questo dimostra che $BuuCsubAuuC$
Per lo stesso motivo, $AAx in AnnC rArr x in AnnC$, allora $bnnCsubAnnC$
Se $BsubA$, dimostrare che per un qualunque $C$ si ha $BuuCsubAuuC$ e $BnnCsubAnnC$
Vi faccio vedere come ho ragionato, se male mi darete dei consigli:
$BsubA$ se $AA x in B,x in A$
Dunque se $x in BuuC$, esendo $BsubA$, ciò implica che $AAx in BuuC, x in AuuC.$
Questo dimostra che $BuuCsubAuuC$
Per lo stesso motivo, $AAx in AnnC rArr x in AnnC$, allora $bnnCsubAnnC$
Risposte
"milos144":
Dunque se $x in BuuC$, esendo $BsubA$, ciò implica che $AAx in BuuC, x in AuuC.$
Questo dimostra che $BuuCsubAuuC$
Qui hai usato un po' i quantificatori abusandone. Inoltre non è molto chiaro come effettivamente dimostri quella inclusione.
Perché dopo del ciò implica ripeti $AA x in ..$ ?
Usando le definizioni opportune, cerca di dimostrarlo in maniera più chiara. ( Tu hai semplicemente riscritto la tesi.)
Comunque, avresti potuto fare così.
L'altra si mostra in maniera identica.
Penso di aver capito...
Ma se io dicessi
$BsubeA hArrx in B rArr x in A$, ciò non equivale a dire che $AA x in B, x in A$ o risulta sempre un abuso dell'uso di $AA$
Ma se io dicessi
$BsubeA hArrx in B rArr x in A$, ciò non equivale a dire che $AA x in B, x in A$ o risulta sempre un abuso dell'uso di $AA$
L'ultima cosa che hai scritto penso che vada bene.
@milos144,
"milos144":mmm perchè usi \( \Leftrightarrow\)? Scrivere \(\forall x \in B(x \in A)\) equivale, logicamente, a scrivere \( \forall x (x \in B \to x \in A)\) (e per brevità si può anche non mettere \( \forall x \), le parentesi vanno sempre messe invece ).
Ma se io dicessi
$BsubeA hArrx in B rArr x in A$, ciò non equivale a dire che $AA x in B, x in A$ o risulta sempre un abuso dell'uso di $AA$
Ritornando all'inizio...
Se $ BsubA $, dimostrare che per un qualunque $ C $ si ha $ BuuCsubAuuC $ e $ BnnCsubAnnC $
Questa dimostrazione pottrebbe essere impostata così:
Se $ x in BuuC $, esendo $ BsubA $, $ AAx( x in BuuC rArr x in AuuC). $ (Poi per brevità potrei eliminare $AA$ e scrivere
$x in BuuC rArr x in AuuC$
e quindi $ BuuCsubAuuC $
Per lo stesso motivo, $BsubA$, $ x in BnnC rArr x in AnnC $ e dunque $ BnnCsubAnnC $
Può passare o devo per forza fare così:
$x in BuuC$, allora $x in B vv x in C$,ed essendo $BsubA$, ciò implica $ x in A vv x in C$, pertanto $ x in A uu C$
$x in BnnC$, allora $x in B ^^ x in C$,ed essendo $BsubA$, ciò implica $x in A ^^ x in C$, pertanto $ x in A nn C$
Se $ BsubA $, dimostrare che per un qualunque $ C $ si ha $ BuuCsubAuuC $ e $ BnnCsubAnnC $
Questa dimostrazione pottrebbe essere impostata così:
Se $ x in BuuC $, esendo $ BsubA $, $ AAx( x in BuuC rArr x in AuuC). $ (Poi per brevità potrei eliminare $AA$ e scrivere
$x in BuuC rArr x in AuuC$
e quindi $ BuuCsubAuuC $
Per lo stesso motivo, $BsubA$, $ x in BnnC rArr x in AnnC $ e dunque $ BnnCsubAnnC $
Può passare o devo per forza fare così:
$x in BuuC$, allora $x in B vv x in C$,ed essendo $BsubA$, ciò implica $ x in A vv x in C$, pertanto $ x in A uu C$
$x in BnnC$, allora $x in B ^^ x in C$,ed essendo $BsubA$, ciò implica $x in A ^^ x in C$, pertanto $ x in A nn C$
@milos144
continuo a non capire il ragionamento e tanto meno "Per lo stesso motivo"..
se \(x \in B \cup C \) allora per definizione \( x \in B \vee x \in C \), e ragionando per casi:
- se \( x \in B \), essendo \( B \subset A \), allora \( x \in A \) e certamente \(x \in A \cup C\)*
- se \( x \in C \) allora certamente \(x \in A \cup C\)*
se \(x \in B \cap C \), allora per definizione \(x \in B \wedge x \in C\), ma per ipotesi \(B \subset A \) ergo \(x \in B \to x \in A \) e quindi \( x \in C \wedge x \in A \) ovvero \( x \in A \cap C \)..
[size=50]*due insiemi sono sottoinsiemi della loro unione[/size]
continuo a non capire il ragionamento e tanto meno "Per lo stesso motivo"..
se \(x \in B \cup C \) allora per definizione \( x \in B \vee x \in C \), e ragionando per casi:
- se \( x \in B \), essendo \( B \subset A \), allora \( x \in A \) e certamente \(x \in A \cup C\)*
- se \( x \in C \) allora certamente \(x \in A \cup C\)*
se \(x \in B \cap C \), allora per definizione \(x \in B \wedge x \in C\), ma per ipotesi \(B \subset A \) ergo \(x \in B \to x \in A \) e quindi \( x \in C \wedge x \in A \) ovvero \( x \in A \cap C \)..
[size=50]*due insiemi sono sottoinsiemi della loro unione[/size]
Grazie per le delucidazioni....forse io saltello troppo e do per scontato alcuni passaggi...la tua dimostrazione è perfetta e nello stesso tempo facile.
Vado avanti con altre dimostrazioni.
Provo a dimostrare adesso che $AnnB=BnnA$
Sia $x in AnnB$, allora per definizione $x in B ^^ x in A$ per cui $ x in BnnA$
Ho dimostrato così la prima inclusione: $AnnB sub BnnA$
Sia $x in BnnA$, allora per definizione $x in A ^^ x in B$ per cui $ x in AnnB$
Ho dimostrato così la seconda inclusione: $BnnA sub AnnB$
Pertanto $AnnB=BnnA$
Provo a dimostrare adesso che $AnnB=BnnA$
Sia $x in AnnB$, allora per definizione $x in B ^^ x in A$ per cui $ x in BnnA$
Ho dimostrato così la prima inclusione: $AnnB sub BnnA$
Sia $x in BnnA$, allora per definizione $x in A ^^ x in B$ per cui $ x in AnnB$
Ho dimostrato così la seconda inclusione: $BnnA sub AnnB$
Pertanto $AnnB=BnnA$
@milos144,
l'idea è corretta tranne quando dici:
per definizione, e per essere fiscali, la prima è \( x \in A \wedge x \in B \) e la seconda è \( x \in B \wedge x \in A\), e per la commutatività di \(\wedge\) la tesi è vera
(si capisce meglio 
)
l'idea è corretta tranne quando dici:
"milos144":
Sia $x in AnnB$, allora per definizione $x in B ^^ x in A$
"milos144":
Sia $x in BnnA$, allora per definizione $x in A ^^ x in B$
per definizione, e per essere fiscali, la prima è \( x \in A \wedge x \in B \) e la seconda è \( x \in B \wedge x \in A\), e per la commutatività di \(\wedge\) la tesi è vera
(si capisce meglio )
Quindi se volessi dimostrare che $ AuuB=BuuA $ potrei procedere così:
Sia $ x in AuuB $, allora per definizione $ x in A vv x in B $ ed essendo, per la proprietà commutativa di $uu$, $ x in BuuA$ ovvero $x in Bvv x in A $ ho dimostrato così la prima inclusione: $ AuuB sub BuuA $
Sia $ x in BuuA $, allora per definizione $ x in B vv x in A $ ed essendo per la proprièta commutativa di $uu$, $ x in AuuB $ ovvero $ x in Avv x in B $ ho dimostrato così la seconda inclusione: $ BuuA sub AuuB $
Pertanto $ AuuB=BuuA $
Sia $ x in AuuB $, allora per definizione $ x in A vv x in B $ ed essendo, per la proprietà commutativa di $uu$, $ x in BuuA$ ovvero $x in Bvv x in A $ ho dimostrato così la prima inclusione: $ AuuB sub BuuA $
Sia $ x in BuuA $, allora per definizione $ x in B vv x in A $ ed essendo per la proprièta commutativa di $uu$, $ x in AuuB $ ovvero $ x in Avv x in B $ ho dimostrato così la seconda inclusione: $ BuuA sub AuuB $
Pertanto $ AuuB=BuuA $
@milos144,
non proprio, devi dimostrare \( A \cup B =B \cup A \), e usando la doppia inclusione bisogna quindi dimostrare $$ A \cup B \subseteq B \cup A \text { e } B \cup A \subseteq A \cup B$$ ora dimostrare \(A \cup B \subseteq B \cup A \) significa dimostrare la quantificazione \( \forall x \in A \cup B( x \in B \cup A)\), allora prendi un \( x \in A \cup B \) e per definizione \(x \in A \vee x \in B\), ma \( \vee\) gode della proprietà commutativa e quindi \( x \in B \vee x \in A \) cioè, per definizione di \( B \cup A \), \( x \in B \cup A \) (quanto volevasi dimostrare).. allo stesso modo si procede nel dimostrare \(B \cup A \subseteq A \cup B\)
Saluti
P.S.=Non puoi usare la proprietà commutativa di \( \cup \) poiché devi dimostrare che sia vera prima..
non proprio, devi dimostrare \( A \cup B =B \cup A \), e usando la doppia inclusione bisogna quindi dimostrare $$ A \cup B \subseteq B \cup A \text { e } B \cup A \subseteq A \cup B$$ ora dimostrare \(A \cup B \subseteq B \cup A \) significa dimostrare la quantificazione \( \forall x \in A \cup B( x \in B \cup A)\), allora prendi un \( x \in A \cup B \) e per definizione \(x \in A \vee x \in B\), ma \( \vee\) gode della proprietà commutativa e quindi \( x \in B \vee x \in A \) cioè, per definizione di \( B \cup A \), \( x \in B \cup A \) (quanto volevasi dimostrare).. allo stesso modo si procede nel dimostrare \(B \cup A \subseteq A \cup B\)
Saluti
P.S.=Non puoi usare la proprietà commutativa di \( \cup \) poiché devi dimostrare che sia vera prima..
Intanto grazie...per i chiarimenti! Io avevo praticamente invertito 
Vado avanti con le dimostrazioni...
Dimostriamo adesso che $(AnnB)nnC=Ann(BnnC)$
Per farlo dimostreremo la doppia inclusione:
$(AnnB)nnC sube Ann(BnnC)$ e$Ann(BnnC) sube (AnnB)nnC$
Se $x in (AnnB)nnC =>x in (AnnB) ^^ x in C $, ovvero $ x in A ^^ x in B ^^ x in C$
Essendo poi per la proprietà associativa di $nn$ $x in A ^^ x in (B^^C)$, per definizione di
$Ann(BnnC)$, $x in A nn( BnnC) $
Per lo stesso motivo
se $x in Ann(BnnC) =>x in A ^^ x in (BnnC) $, ovvero $ x in A ^^ x in B ^^ x in C$
Essendo poi per la proprietà associativa di $nn$ $x in (A ^^B) ^^x in C$, per definizione di
$(AnnB)nnC$, $x in (A nn B)nnC $
Dunque $(AnnB)nnC=Ann(BnnC)$
Dimostriamo adesso che $(AnnB)nnC=Ann(BnnC)$
Per farlo dimostreremo la doppia inclusione:
$(AnnB)nnC sube Ann(BnnC)$ e$Ann(BnnC) sube (AnnB)nnC$
Se $x in (AnnB)nnC =>x in (AnnB) ^^ x in C $, ovvero $ x in A ^^ x in B ^^ x in C$
Essendo poi per la proprietà associativa di $nn$ $x in A ^^ x in (B^^C)$, per definizione di
$Ann(BnnC)$, $x in A nn( BnnC) $
Per lo stesso motivo
se $x in Ann(BnnC) =>x in A ^^ x in (BnnC) $, ovvero $ x in A ^^ x in B ^^ x in C$
Essendo poi per la proprietà associativa di $nn$ $x in (A ^^B) ^^x in C$, per definizione di
$(AnnB)nnC$, $x in (A nn B)nnC $
Dunque $(AnnB)nnC=Ann(BnnC)$
@milos144,
forse fai lo stesso errore di prima .. se ti dicessi che tecnicamente è imprecisa, prova a correggere qualche simbolo ed esplicita meglio qualche passaggio 
Ciao
P.S.=Ricordati che l'uguaglianza che devi dimostrare è detta prop. associativa di \( \cap \) (ma sai a priori che \( \wedge \) è associativa)
forse fai lo stesso errore di prima
.. se ti dicessi che tecnicamente è imprecisa, prova a correggere qualche simbolo ed esplicita meglio qualche passaggio Ciao
P.S.=Ricordati che l'uguaglianza che devi dimostrare è detta prop. associativa di \( \cap \) (ma sai a priori che \( \wedge \) è associativa)
Riproviamo:
se $x in (AnnB)nnC$ allora per definizione $x in (AnnB) ^^ x in C $ e sempre per definizione se
$x in (AnnB)$, allora $x in A ^^ x in B$.
Adesso, se $x in A^^ x in B^^ x in C$, per la proprietà associativa di $^^$,$x in A^^ x in (B^^ C)$, cioè per deinizione di $BnnC$, $ x in BnnC $
Pertanto $x in Ann(BnnC)$
Per dimostrare l'altra inclusione si procederà allo stesso modo.
se $x in (AnnB)nnC$ allora per definizione $x in (AnnB) ^^ x in C $ e sempre per definizione se
$x in (AnnB)$, allora $x in A ^^ x in B$.
Adesso, se $x in A^^ x in B^^ x in C$, per la proprietà associativa di $^^$,$x in A^^ x in (B^^ C)$, cioè per deinizione di $BnnC$, $ x in BnnC $
Pertanto $x in Ann(BnnC)$
Per dimostrare l'altra inclusione si procederà allo stesso modo.
@milos144,
se \( x \in (A \cap B) \cap C\) allora \(x \in (A \cap B ) \wedge x \in C \), se \( x \in (A \cap B)\) allora \( x \in A \wedge x \in B \) ergo \( (x \in A \wedge x \in B) \wedge x \in C\) ma \( \wedge \) è associativa allora \( x \in A \wedge (x \in B \wedge x \in C)\) ma se \( x \in B \wedge x \in C \) allora \( x \in B \cap C \), quindi \( x \in A \wedge x \in B \cap C \) ovvero per definizione di intersezione \( x \in A \cap (B \cap C)\)
Saluti
P.S.=Forse se provi per assurdo ti sarà più familiare il procedimento
se \( x \in (A \cap B) \cap C\) allora \(x \in (A \cap B ) \wedge x \in C \), se \( x \in (A \cap B)\) allora \( x \in A \wedge x \in B \) ergo \( (x \in A \wedge x \in B) \wedge x \in C\) ma \( \wedge \) è associativa allora \( x \in A \wedge (x \in B \wedge x \in C)\) ma se \( x \in B \wedge x \in C \) allora \( x \in B \cap C \), quindi \( x \in A \wedge x \in B \cap C \) ovvero per definizione di intersezione \( x \in A \cap (B \cap C)\)
Saluti
P.S.=Forse se provi per assurdo ti sarà più familiare il procedimento
Intanto grazie per l'aiuto....
Ho provato a dimostrare la stessa uguaglianza di prima trovando questa volta i valori di verità di
$(A^^B)^^C$ e di $A^^(B^^C)$.(I valori erano equivalenti) Secondo te va bene la dimostrazione fatta così.
PS: mi piacerebbe vedere anche come impostare la stessa dimostrazione per assurdo.
Ho provato a dimostrare la stessa uguaglianza di prima trovando questa volta i valori di verità di
$(A^^B)^^C$ e di $A^^(B^^C)$.(I valori erano equivalenti) Secondo te va bene la dimostrazione fatta così.
PS: mi piacerebbe vedere anche come impostare la stessa dimostrazione per assurdo.
"milos144":se neghi \( (A \cap B) \cap C= A \cap (B \cap C)\): $$\overline{(A \cap B) \cap C= A \cap (B \cap C)}$$ allora avrai $$ (A \cap B) \cap C\neq A \cap (B \cap C)$$ e tenendo conto della doppia inclusione, tale negazione è equivalente a $$(A \cap B) \cap C \nsubseteq A \cap (B \cap C) \vee A \cap (B \cap C) \nsubseteq (A \cap B) \cap C$$ ragionando per casi ottieni degli assurdi!
PS: mi piacerebbe vedere anche come impostare la stessa dimostrazione per assurdo.
"milos144":mm non riesco a capire o a seguirti, come/cosa hai fatto di preciso? E perché soprattutto?
Intanto grazie per l'aiuto....
Ho provato a dimostrare la stessa uguaglianza di prima trovando questa volta i valori di verità di
$(A^^B)^^C$ e di $A^^(B^^C)$.(I valori erano equivalenti) Secondo te va bene la dimostrazione fatta così.
P.S.=puoi usare se vuoi queste dispense
Praticamente ho costruito la tavola di verità delle due proposizioni:
$P=(A^^B)^^C$
$P=A^^(B^^C)$
e ho visto che erano equivalenti.
$P=(A^^B)^^C$
$P=A^^(B^^C)$
e ho visto che erano equivalenti.
@milos144,
non vorrei peccare nel ragionamento, ma \( A,B,C,\) non sono proposizioni ma insiemi!
Ciao
non vorrei peccare nel ragionamento, ma \( A,B,C,\) non sono proposizioni ma insiemi!
Ciao
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