Esercizi sugli insiemi
Ho alcuni esercizi da risolvere...vi propongo il primo:
Se $BsubA$, dimostrare che per un qualunque $C$ si ha $BuuCsubAuuC$ e $BnnCsubAnnC$
Vi faccio vedere come ho ragionato, se male mi darete dei consigli:
$BsubA$ se $AA x in B,x in A$
Dunque se $x in BuuC$, esendo $BsubA$, ciò implica che $AAx in BuuC, x in AuuC.$
Questo dimostra che $BuuCsubAuuC$
Per lo stesso motivo, $AAx in AnnC rArr x in AnnC$, allora $bnnCsubAnnC$
Se $BsubA$, dimostrare che per un qualunque $C$ si ha $BuuCsubAuuC$ e $BnnCsubAnnC$
Vi faccio vedere come ho ragionato, se male mi darete dei consigli:
$BsubA$ se $AA x in B,x in A$
Dunque se $x in BuuC$, esendo $BsubA$, ciò implica che $AAx in BuuC, x in AuuC.$
Questo dimostra che $BuuCsubAuuC$
Per lo stesso motivo, $AAx in AnnC rArr x in AnnC$, allora $bnnCsubAnnC$
Risposte
Andiamo avanti con le dimostrazioni
Devo dimostrare che $A=(AnnB)uu(A-B)$
Provo a dimostrare la prima inclusione e cioè $((AnnB)uu(A-B))subeA$
$x in ((AnnB)uu(A-B)) hArr x in (AnnB) vv x in (A-B)$
Essendo poi $ (AnnB)subA$ ed essendo $(A-B)subA$ ciò implica che $x in A vv x in A$ ovvero, in entrambi i casi, $ x in A$
Devo dimostrare che $A=(AnnB)uu(A-B)$
Provo a dimostrare la prima inclusione e cioè $((AnnB)uu(A-B))subeA$
$x in ((AnnB)uu(A-B)) hArr x in (AnnB) vv x in (A-B)$
Essendo poi $ (AnnB)subA$ ed essendo $(A-B)subA$ ciò implica che $x in A vv x in A$ ovvero, in entrambi i casi, $ x in A$
Per me puo' andare.
Più semplicemente potevi dire che poiché $AnnB sube A , A-B sube A => AnnB uu A-B sube A$
Infatti segue da una proprietà elementare la quale afferma che se $A,B sube C => A uu B sube C$ .
Ora devi provare l'altra inclusione, fatti un disegnino.
PS : Saluti Garnak
EDIT : Nello spoiler avevo detto una fregnaccia. Non tener conto dell'assurdità che ho detto :v
Più semplicemente potevi dire che poiché $AnnB sube A , A-B sube A => AnnB uu A-B sube A$
Infatti segue da una proprietà elementare la quale afferma che se $A,B sube C => A uu B sube C$ .
Ora devi provare l'altra inclusione, fatti un disegnino.
PS : Saluti Garnak
EDIT : Nello spoiler avevo detto una fregnaccia. Non tener conto dell'assurdità che ho detto :v
Più semplicemente potevi dire che poiché $ AnnB sube A , A-B sube A => AnnB uu A-B sube A $
Infatti segue da una proprietà elementare la quale afferma che se $ A,B sube C => A uu B sube C $ .
Sono d'accordo!
Provo a dimostrare l'altra inclusione e cioè che $ A sube (A nn B) uu (A-B) $
$x in A hArr (x in A^^x in B)vv(x in A^^x neg in B)$$hArr$ $hArr x in AnnB vv x in (A - B)hArr x in ((A nn B) uu (A-B)) $
Non ho capito: $ A=A-B => B=\Theta $
Infatti segue da una proprietà elementare la quale afferma che se $ A,B sube C => A uu B sube C $ .
Sono d'accordo!
Provo a dimostrare l'altra inclusione e cioè che $ A sube (A nn B) uu (A-B) $
$x in A hArr (x in A^^x in B)vv(x in A^^x neg in B)$$hArr$ $hArr x in AnnB vv x in (A - B)hArr x in ((A nn B) uu (A-B)) $
Non ho capito: $ A=A-B => B=\Theta $
Nell'ultima cosa perché usi le doppie implicazioni?
Vedila così.
Sia $x \in A$. Si hanno due possibilità o $x \in B$ , in tal caso $x \in A nn B$ oppure $x \notin B$ , in tal caso, $x \in A-B$. Sei d'accordo? Quindi $x$ sta nell'unione di quei due insiemi. È abbastanza evidente una volta rappresentata la situazione con un diagramma di Venn.
Vedila così.
Sia $x \in A$. Si hanno due possibilità o $x \in B$ , in tal caso $x \in A nn B$ oppure $x \notin B$ , in tal caso, $x \in A-B$. Sei d'accordo? Quindi $x$ sta nell'unione di quei due insiemi. È abbastanza evidente una volta rappresentata la situazione con un diagramma di Venn.
Nell'ultima cosa perché usi le doppie implicazioni? Forse perché sono andato a capo....$hArr$
$hArr$
Sia $ x \in A $. Si hanno due possibilità o $ x \in B $ , in tal caso $ x \in A nn B $ oppure $ x \notin B $ , in tal caso, $ x \in A-B $. Sei d'accordo? Certo...è quello che ho detto in una forma un pò implicita: $x in AnnB vv x in A-B$ !
$hArr$
Sia $ x \in A $. Si hanno due possibilità o $ x \in B $ , in tal caso $ x \in A nn B $ oppure $ x \notin B $ , in tal caso, $ x \in A-B $. Sei d'accordo? Certo...è quello che ho detto in una forma un pò implicita: $x in AnnB vv x in A-B$ !
Dimostriamo ora che $Bnn(A-B)=O/$
Provo a partire con $Bnn(A-B)subeO/$
$x in Bnn(A-B) hArr x in B ^^ x in (A-B) hArr x in B ^^(x in A ^^ x notin B) hArr (x in B ^^ x in A) ^^ neg (x in B ^^ x in B) hArr x in (BnnA) - (BnnB) $ Pertanto $x in A$ ciò dimostra che l'intersezione è $O/$
Provo a partire con $Bnn(A-B)subeO/$
$x in Bnn(A-B) hArr x in B ^^ x in (A-B) hArr x in B ^^(x in A ^^ x notin B) hArr (x in B ^^ x in A) ^^ neg (x in B ^^ x in B) hArr x in (BnnA) - (BnnB) $ Pertanto $x in A$ ciò dimostra che l'intersezione è $O/$
Le ultime implicazioni credo che abbiano intrinsicamente un errore. In pratica hai provato che $B nn (A-B) = (A nn B )-B$ o sbaglio? :s Il che è falso.
Tu hai da provare che $B nn (A-B) = \emptyset$. Se così non fosse $\exists x in B nn (A-B) => x \in B \wedge x \in A-B => x \in B \wedge x \notin B$ . Assurdo.
Tu hai da provare che $B nn (A-B) = \emptyset$. Se così non fosse $\exists x in B nn (A-B) => x \in B \wedge x \in A-B => x \in B \wedge x \notin B$ . Assurdo.
"milos144":non sempre è utile procedere per quella strada.. si sa e si può dimostrare che \(Z=\emptyset \Leftrightarrow \nexists x(x \in Z)\)
Dimostriamo ora che $Bnn(A-B)=O/$
Provo a partire con $Bnn(A-B)subeO/$
$x in Bnn(A-B) hArr x in B ^^ x in (A-B) hArr x in B ^^(x in A ^^ x notin B) hArr (x in B ^^ x in A) ^^ neg (x in B ^^ x in B) hArr x in (BnnA) - (BnnB) $ Pertanto $x in A$ ciò dimostra che l'intersezione è $O/$
(anche se inutile)P.S.= Saluti Kashaman
non sempre è utile procedere per quella strada.. si sa e si può dimostrare che \( Z=\emptyset \Leftrightarrow \nexists x(x \in Z) \) Sono d'accordo!
In questo caso la dimostrazione si limita a quello che ha fatto kashaman ed è chiusa (senza doppia inclusione) o si può anche procedere in altro modo?
Mi sembra comunque che arrivando a $x in (BnnA) - (BnnB)$ si ricade comunque in un assurdo (assurdo che si trovava già all'inizio)
In questo caso la dimostrazione si limita a quello che ha fatto kashaman ed è chiusa (senza doppia inclusione) o si può anche procedere in altro modo?
Mi sembra comunque che arrivando a $x in (BnnA) - (BnnB)$ si ricade comunque in un assurdo (assurdo che si trovava già all'inizio)
@milos144,
certo che puoi usare la doppia inclusione, il mio suggerimento era per abbreviare la dimostrazione e spingerti a ragionare non solo in un modo
;
certo che puoi usare la doppia inclusione, il mio suggerimento era per abbreviare la dimostrazione e spingerti a ragionare non solo in un modo
; Ciao
$1)$ Se $A$ è un sottoinsieme di $B$ e $B$ un sottoinsieme di C, dimostrare che $A$ è un sottoinsieme di $C$.
Provo a dimostrarlo:
$Asube B ->(x in A rArr x in B)$ , $Bsube C ->(x in B rArr x in C)$. Pertanto se $x in A$, essendo $BsubeC$, $rArr x in C$.
E' corretta la forma? Secondo me quel $rArr x inC$ è un pò un abuso...avrei dovuto scrivere a parole cioè: ciò implica...oppure sarebbe stato meglio scrivere
$Asube B ->(x in A rArr x in B)$ , $Bsube C ->(x in B rArr x in C)$. Pertanto $x in A rArr x in C$, essendo $BsubeC$.
Propongo, per esercizio, un'altra forma:
$ AsubeB ->x inArArrx inB $. Essendo poi $ BsubeC -> x inA rArr x in C rArrAsubeC $
Provo a dimostrarlo:
$Asube B ->(x in A rArr x in B)$ , $Bsube C ->(x in B rArr x in C)$. Pertanto se $x in A$, essendo $BsubeC$, $rArr x in C$.
E' corretta la forma? Secondo me quel $rArr x inC$ è un pò un abuso...avrei dovuto scrivere a parole cioè: ciò implica...oppure sarebbe stato meglio scrivere
$Asube B ->(x in A rArr x in B)$ , $Bsube C ->(x in B rArr x in C)$. Pertanto $x in A rArr x in C$, essendo $BsubeC$.
Propongo, per esercizio, un'altra forma:
$ AsubeB ->x inArArrx inB $. Essendo poi $ BsubeC -> x inA rArr x in C rArrAsubeC $
@milos144,
nel tuo caso hai la prop. così strutturata:
Prop.: siano dati \( A,B,C\) tre insiemi, allora $$A \subseteq B \wedge B \subseteq C \Rightarrow A \subseteq C$$ \( C \subseteq A \) equivale alla scrittura \( \forall x \in A(x \in C)\) ovvero ancora \( \forall x( x \in A \to x \in C)\); nella proprietà interviene l'implicazione logica mentre nella definizione interviene l'implicazione materiale*; volendo dimostrare la prop. si potrebbe procedere in due modi:
Dim. (1° modo ): dobbiamo mostrare che \( \forall x( x \in A \to x \in C)\), prendiamo un \( x \in A \) e per ipotesi essendo \( A \subseteq B \) si ha \( x \in A \to x \in B \), e sempre per ipotesi essendo \( B \subseteq C \) si ha \( x \in B \to x \in C \), ma l'implicazione materiale gode della prop. transitiva ergo $$x \in A \to x \in B \wedge x \in B \to x \in C \Rightarrow x \in A \to x \in C,\forall x\in A$$ che è quanto volevasi dimostrare
Dim. (2° modo): dobbiamo mostrare che \( \forall x \in A(x \in C)\) ergo dobbiamo fare vedere che preso un \( x \in A \) questo \(x \) sta in \( C \), prendiamo un \( x \in A \) e per ipotesi essendo \( A \subseteq B \) si ha \( x \in B \), e sempre per ipotesi essendo \( B \subseteq C \) si ha \( x \in C \) che è quanto volevasi dimostrare
- come vedi le due proofs sembrano diverse (entrambe le ho trovate in testi, il 1°modo in testi di logica mentre il 2°modo in testi di analisi ove non si introduceva nulla di logica), ma il 2°modo è più intuitivo del 1°modo (personalmente saltello più volte, in altre prop. non di questo tipo, dal 1°modo al 2°modo anche se sto attento ad abusare di quest'ultimo** poichè potrei inciampare in risultati strambi), mi affido mentalmente quasi sempre al 1°modo poi nello scrivere uso più volte il 2°modo
prova tu per assurdo!!
P.S.=Ho corretto un post in cui usavo il simbolo errato; vedo che ti stai buttando nel dimostrare queste prop. di insiemistica, potrei consigliarti il testo "Axiomatic Set theory" di P.Suppes (il termine Axiomatic si fa per dire, è molto più elastico.. ma pignolo in queste cose (usa la logica), ma non fa distinzione tra implicazione logica e materiale) e le dispense di G.Lolli sulla teoria degli insiemi e logica delle proposizioni (dovresti trovarle online sul suo sito della sns)
[size=50]*chiedo scusa se prima ho usato lo stesso simboli per entrambi, ma non ci faccio caso da tempo a queste cose perchè preferisco non in tutto usare connettivi logici
**anche se intuitivamente rende meglio la questione e permette di ragionare più velocemente [/size]
nel tuo caso hai la prop. così strutturata:
Prop.: siano dati \( A,B,C\) tre insiemi, allora $$A \subseteq B \wedge B \subseteq C \Rightarrow A \subseteq C$$ \( C \subseteq A \) equivale alla scrittura \( \forall x \in A(x \in C)\) ovvero ancora \( \forall x( x \in A \to x \in C)\); nella proprietà interviene l'implicazione logica mentre nella definizione interviene l'implicazione materiale*; volendo dimostrare la prop. si potrebbe procedere in due modi:
Dim. (1° modo ): dobbiamo mostrare che \( \forall x( x \in A \to x \in C)\), prendiamo un \( x \in A \) e per ipotesi essendo \( A \subseteq B \) si ha \( x \in A \to x \in B \), e sempre per ipotesi essendo \( B \subseteq C \) si ha \( x \in B \to x \in C \), ma l'implicazione materiale gode della prop. transitiva ergo $$x \in A \to x \in B \wedge x \in B \to x \in C \Rightarrow x \in A \to x \in C,\forall x\in A$$ che è quanto volevasi dimostrare
Dim. (2° modo): dobbiamo mostrare che \( \forall x \in A(x \in C)\) ergo dobbiamo fare vedere che preso un \( x \in A \) questo \(x \) sta in \( C \), prendiamo un \( x \in A \) e per ipotesi essendo \( A \subseteq B \) si ha \( x \in B \), e sempre per ipotesi essendo \( B \subseteq C \) si ha \( x \in C \) che è quanto volevasi dimostrare
- come vedi le due proofs sembrano diverse (entrambe le ho trovate in testi, il 1°modo in testi di logica mentre il 2°modo in testi di analisi ove non si introduceva nulla di logica), ma il 2°modo è più intuitivo del 1°modo (personalmente saltello più volte, in altre prop. non di questo tipo, dal 1°modo al 2°modo anche se sto attento ad abusare di quest'ultimo** poichè potrei inciampare in risultati strambi), mi affido mentalmente quasi sempre al 1°modo poi nello scrivere uso più volte il 2°modo
prova tu per assurdo!!
P.S.=Ho corretto un post in cui usavo il simbolo errato; vedo che ti stai buttando nel dimostrare queste prop. di insiemistica, potrei consigliarti il testo "Axiomatic Set theory" di P.Suppes (il termine Axiomatic si fa per dire, è molto più elastico.. ma pignolo in queste cose (usa la logica), ma non fa distinzione tra implicazione logica e materiale) e le dispense di G.Lolli sulla teoria degli insiemi e logica delle proposizioni (dovresti trovarle online sul suo sito della sns)
[size=50]*chiedo scusa se prima ho usato lo stesso simboli per entrambi, ma non ci faccio caso da tempo a queste cose perchè preferisco non in tutto usare connettivi logici
**anche se intuitivamente rende meglio la questione e permette di ragionare più velocemente [/size]
Dovendo dimostrare
$AsubeB^^BsubeC rArr A sube C$
Ipotesi: $AsubeB^^BsubeC$
Tesi: $ A sube C$
provo ad affermare che $A notsube C$
$A notsube B$ se $AAx(x in A rarr x notin C)$, ma se $ x in A$, per ipotesi $A notsube B$, si ha $x in A rarr x notinB$ e, sempre per ipotesi $ B notsubeC$ , si ha $ x in B rarr x notin C$
Da qui si capisce che si contraddice la nostra ipotesi: $AsubeB^^BsubeC$ e si ha l'assurdo.
$AsubeB^^BsubeC rArr A sube C$
Ipotesi: $AsubeB^^BsubeC$
Tesi: $ A sube C$
provo ad affermare che $A notsube C$
$A notsube B$ se $AAx(x in A rarr x notin C)$, ma se $ x in A$, per ipotesi $A notsube B$, si ha $x in A rarr x notinB$ e, sempre per ipotesi $ B notsubeC$ , si ha $ x in B rarr x notin C$
Da qui si capisce che si contraddice la nostra ipotesi: $AsubeB^^BsubeC$ e si ha l'assurdo.
"milos144":nein hai confuso le lettere mi sa, \( A \nsubseteq C \) equivale ad \( \exists x \in A(x \notin C)\) ovvero anche \( \exists x(x \in A \wedge x \notin C)\) (questo perché \( x \in A \to x \in C \) è equivalente ad \(x \notin A \vee x \in C\))..
provo ad affermare che $A notsube C$
$A notsube B$ se $AAx(x in A rarr x notin C)$.
"milos144":fai un po di confusione, non capisco quella implicazione materiale, non usare i simboli logici quando sei insicuro, descrivi i passaggi a parole, per ipotesi non hai \( B \nsubseteq C\); tu hai per ipotesi le seguenti: $$A \subseteq B \wedge B \subseteq C $$$$A \nsubseteq C \;(\text{ipotesi d'assurdo})$$ abbiamo detto prima che \( \exists x \in A(x \notin C)\), prendiamo questo \( x \in A \) ma per ipotesi \( A \subseteq B \) ergo \( x \in B \), e sempre per ipotesi \( B \subseteq C \) ergo \( x \in C \), per l'ipotesi d'assurdo però \( x \notin C \) ergo abbiamo una contraddizione del tipo \( x \in C \wedge x \notin C \). Ormai dovresti capire come procedere/ragionare
ma se $ x in A$, per ipotesi $A notsube B$, si ha $x in A rarr x notinB$ e, sempre per ipotesi $ B notsubeC$ , si ha $ x in B rarr x notin C$
Da qui si capisce che si contraddice la nostra ipotesi: $AsubeB^^BsubeC$ e si ha l'assurdo.
, altri dubbi in merito?Ciao
P.S.=Se vuoi procedere in maniera logica si sfrutta sempre la transitività dell'implicazione materiale ottenendo sempre una contraddizione con l'ipotesi d'assurdo!
Cerco di capire meglio....dove toppavo riformulando la dimostrazione.
Partendo da
sono arrivato a :
ipotesi: $AsubeB ^^ BsubeC$
tesi: $AsubeC$
Adesso consideriamo falsa la tesi: \( A \nsubseteq C \) ne deriva che \( A \nsubseteq B \)$^^ BsubeC$ cioè
$AAx (x in A rarr x notinC $, pertanto $EEx in A(xnotinC)$. Se prendiamo però $x in A$ per ipotesi sappiamo che $AsubeB$ dunque $x in B$ e sempre per ipotesi $BsubeC$ dunque $x in C$ e arrivo quindi all'assurdo.
Ps: io toppavo perché tentavo di negare l'ipotesi per trovarmi d'accordo con la falsa tesi: \( A \nsubseteq C \).
Partendo da
sono arrivato a :
ipotesi: $AsubeB ^^ BsubeC$
tesi: $AsubeC$
Adesso consideriamo falsa la tesi: \( A \nsubseteq C \) ne deriva che \( A \nsubseteq B \)$^^ BsubeC$ cioè
$AAx (x in A rarr x notinC $, pertanto $EEx in A(xnotinC)$. Se prendiamo però $x in A$ per ipotesi sappiamo che $AsubeB$ dunque $x in B$ e sempre per ipotesi $BsubeC$ dunque $x in C$ e arrivo quindi all'assurdo.
Ps: io toppavo perché tentavo di negare l'ipotesi per trovarmi d'accordo con la falsa tesi: \( A \nsubseteq C \).
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