Esempio con minimo, massimo, maggiorante, minorante.
Salve,
sia il seguente esempio:
Sia $A={6,12,18,36}$ dotato della relazione $|$ di divisibilità; allora $6$ e $36$ sono rispettivamente il minimo e il massimo di $A$ e $144$ è un maggiorante di $A$ in $NN$. Se consideriamo $B={2,3,5,15,20}$ con la stessa relazione, allora $B$ non possiede né massimo né minimo, mentre possiede due elementi massimali, $15$ e $20$ e tre elementi minimali $2,3,5$.
tenendo conto delle seguenti definizioni e
sia $(A, <=)$ un insieme parzialmente ordinato, sia $a \in A$ e sia $B \sube A$. Diremo che:
$a$ è il minimo di $A$ se $a<=x AA x \in A$;
$a$ è il massimo di $A$ se $a>=x AA \in A$;
$a$ è un elemento minimale di $A$ se $AA x \in A, x<=a \Rightarrow x=a$;
$a$ è un elemento massimale di $A$ se $AA x \in A, a<=x \Rightarrow x=a$;
$a$ è un minorante di $B$ se $a<=b AA b \in B$;
$a$ è un maggiorante di $B$ se $a>=b AA b \in B$;
quindi, penso di essere sicuro che la relazione di divisibità è una relazione d'ordine quindi in parole povere si dovrebbe sostituire lì dove compare $<=$ con $|$ e quando compare $>=$ il divisore dovrebbe diventare quello di sinistra dal momento che $>=$ indica una relazione d'ordine inversa di $<=$.
- secondo la definizione di minimo ho qundi:
$a$ è il minino di $A$ se $a|x, AA x \in A$,
cioè ogni elemento in $A$ deve essere divisibile per $a$.
Esso è quindi $1$ perchè $1|6,1|12,1|18,1|36$;
$a$ è il massimo di $A$ se $x|a, AA x \in A$,
cioè ci deve essere un elemento in $A$ che deve essere divibile $AAx \in A$
esso è quindi $36$ perchè $6|36,12|36,18|36,36|36$
se ho ragionato bene, penso che fin qui vada bene.
ora a questo punto perchè $144$ è maggiorante di $A$ in $NN$?
seguendo il mio ragionamento dalla definzione di maggiorante
$n$ è un maggiorante di $A$ in $NN$ se $n>=a AA a \in A$;
cioè
$n$ è un maggiorante di $A$ in $NN$ se $a|n AA a \in A$;
quindi ci deve essere un elemento $n \in NN$ tale che deve essere divisibile $AA a \in A$.
come fa a dire che esso è $144$
mi fermo qui, per vedere se il ragionamento seguito finora è giusto e quindi poi applicarlo al resto dell'esercizio.
grazie mille.
sia il seguente esempio:
Sia $A={6,12,18,36}$ dotato della relazione $|$ di divisibilità; allora $6$ e $36$ sono rispettivamente il minimo e il massimo di $A$ e $144$ è un maggiorante di $A$ in $NN$. Se consideriamo $B={2,3,5,15,20}$ con la stessa relazione, allora $B$ non possiede né massimo né minimo, mentre possiede due elementi massimali, $15$ e $20$ e tre elementi minimali $2,3,5$.
tenendo conto delle seguenti definizioni e
sia $(A, <=)$ un insieme parzialmente ordinato, sia $a \in A$ e sia $B \sube A$. Diremo che:
$a$ è il minimo di $A$ se $a<=x AA x \in A$;
$a$ è il massimo di $A$ se $a>=x AA \in A$;
$a$ è un elemento minimale di $A$ se $AA x \in A, x<=a \Rightarrow x=a$;
$a$ è un elemento massimale di $A$ se $AA x \in A, a<=x \Rightarrow x=a$;
$a$ è un minorante di $B$ se $a<=b AA b \in B$;
$a$ è un maggiorante di $B$ se $a>=b AA b \in B$;
quindi, penso di essere sicuro che la relazione di divisibità è una relazione d'ordine quindi in parole povere si dovrebbe sostituire lì dove compare $<=$ con $|$ e quando compare $>=$ il divisore dovrebbe diventare quello di sinistra dal momento che $>=$ indica una relazione d'ordine inversa di $<=$.
- secondo la definizione di minimo ho qundi:
$a$ è il minino di $A$ se $a|x, AA x \in A$,
cioè ogni elemento in $A$ deve essere divisibile per $a$.
Esso è quindi $1$ perchè $1|6,1|12,1|18,1|36$;
$a$ è il massimo di $A$ se $x|a, AA x \in A$,
cioè ci deve essere un elemento in $A$ che deve essere divibile $AAx \in A$
esso è quindi $36$ perchè $6|36,12|36,18|36,36|36$
se ho ragionato bene, penso che fin qui vada bene.
ora a questo punto perchè $144$ è maggiorante di $A$ in $NN$?
seguendo il mio ragionamento dalla definzione di maggiorante
$n$ è un maggiorante di $A$ in $NN$ se $n>=a AA a \in A$;
cioè
$n$ è un maggiorante di $A$ in $NN$ se $a|n AA a \in A$;
quindi ci deve essere un elemento $n \in NN$ tale che deve essere divisibile $AA a \in A$.
come fa a dire che esso è $144$
mi fermo qui, per vedere se il ragionamento seguito finora è giusto e quindi poi applicarlo al resto dell'esercizio.
grazie mille.
Risposte
$144=2^4*3^2$
$6=2*3$
$12=2^2*3$
$18=2*3^2$
$36=2^2*3^2$
quindi tutti gli elementi di A dividono 144.
$6=2*3$
$12=2^2*3$
$18=2*3^2$
$36=2^2*3^2$
quindi tutti gli elementi di A dividono 144.
volendo fare il percorso contrario. cioè avendo i numeri come faccio ad ottenere $144$?
cioè per il primo si sono sommati gli esponenti del numero $2$ e si ottiene $2^4$ e poi per il $3^2$?
cioè per il primo si sono sommati gli esponenti del numero $2$ e si ottiene $2^4$ e poi per il $3^2$?
Beh per avere un maggiorante ti serve che ogni elemento divida il tuo numero, quindi basta prendere un qualunque multiplo comune degli elementi dell'insieme...
sul maggiorante ti hanno risposto, ma sul minimo temo che hai sbagliato: 1 è un minorante, ma non appartiene ad A; il minimo di A è 6, che è divisore di tutti gli elementi di A, così come 36 è il massimo come hai detto giustamente.
ciao.
ciao.
sì è vero il minimo è $6$ ma incredibilmente non ho ancora capito la questione del maggiorante...
Dalla definizione di maggiorante, hai che $y$ è maggiorante se $x|y \forall x \in A$, ovvero che ogni numero di $A$ divide y, quindi y è un multiplo comune.
Per farti capire, l'insieme dei maggioranti di $A$ è $B = {z \in ZZ$ t.c. $ z = 36k, k \in ZZ}$
Per farti capire, l'insieme dei maggioranti di $A$ è $B = {z \in ZZ$ t.c. $ z = 36k, k \in ZZ}$
36 è anche il mcm degli elementi di A, dunque 36 e tutti i suoi multipli sono maggioranti, perché appunto multipli di ciascun elemento di A.
ho capito allora $144$ è un maggiorante... uno dei tanti che si possono trovare proprio per le due ultime motivazioni date.
quindi se non sbaglio l'insieme dei maggioranti di $A$ in $NN$ sarà {36,72,108,144,180,216,252...}.
Poi per completare l'esercizio non ci sono nè massimi, ne minini in $B$.
riguardo i massimali e i minimali di $B$
2|2, 3|3, 5|5, 15|15, 20|20
in teoria non dovrei ottenere valori uguali sia come massimali che come minimali?
perchè invece essi sono rispettivamente $15,20$ e $2,3,5$?
Poi per completare l'esercizio non ci sono nè massimi, ne minini in $B$.
riguardo i massimali e i minimali di $B$
2|2, 3|3, 5|5, 15|15, 20|20
in teoria non dovrei ottenere valori uguali sia come massimali che come minimali?
perchè invece essi sono rispettivamente $15,20$ e $2,3,5$?
c'è anche 2|20, 3|15, 5|15, 5|20, dunque 2,3,5 sono divisi solo da se stessi mentre dividono anche altri (sono minimali e non massimali), al contrario 15, 20 sono divisi anche da altri ma dividono solo se stessi (sono massimali e non minimali).
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