Equivalenza proposizioni sui gruppi

[nato_pigro1]

Sia $G$ un gruppo non banale. Provare che sono equivalenti le seguenti affermazioni:
a) Ogni sottogruppo non banale di $G$ è isomorfo a $G$
b) $G$ è un gruppo ciclico e il suo ordine è un numero primo oppure infinito.

a)$=>$b): se $G$ ha ordine $p$ primo allora, per Lagrange, non ha sottogruppi non banali, quindi a)
b)$=>$a): Se un sottogruppo $H$ è ismorfo a $G$ allora hanno la stessa cardinalità. Se $G$ è finito allora $H=G$, e quindi $H$ non è non banale.

Mi manca il caso $G$ infinito e dire che è ciclico...

[Ale_112]

Ciao, sono nuovo e questa è la prima risposta che do quindi ne approfitto per salutare.

Venendo al punto, mi pare che tu faccia un po' di confusione (o sono io che non riesco a capire bene) quindi andrò piano. La cosa dovrebbe funzionere più o meno così:
Cominciamo con (b)=>(a). Abbiamo due casi, o G è ciclico di ordine primo, oppure è ciclico infinito. Nel primo caso, come hai osservato tu il teorema di Lagrange garantisce che G non abbia sottogruppi non banali e quindi abbiamo finito. Supponiamo allora che sia ciclico infinito: per un teorema che penso tu conosca ogni gruppo ciclico infinito è isomorfo a Z - e l'isomorfiso è quello ovvio, se =G, f:Z->G è dato da z|->g^z (ogni elemento di z viene mandato in "g elevato alla z"). Sia ora H sottogruppo di G non banale. Poiché ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico esso stesso (altro teorema) H deve essere infinito ( Z non ha sottogruppi finiti non banali, ed è isomorfo a G come abbiamo appena detto). Sia ora h un generatore di H e k la funzione k: Z->H che manda come prima z|->h^z anche questo è un isomorfismo. Allora la composizione kf : G->H è un isomorfismo in quanto composizione di isomorfismi. Abbiamo ottenuto ciò che volevamo.
Per la parte (a)=>(b) non dovresti avere grosse difficoltà se hai capito questa parte.

Spero di non aver sparato qualche grossa scemenza...nel qual caso correggetemi senza pietà.
Ale

[klarence1]

a)$=>$b) sia $g$ elemento non banale di $G$, allora $$ è isomorfo a $G$. Da questo segue subito che $G$ è ciclico. Ammettiamo che (per assurdo) la cardinalità di $G$ sia un numero $m$ non primo allora, detto $d$ un divisore di $m$, esiste un sottogruppo ciclico $D$ di ordine $d$ che, per l'ipotesi a), è isomorfo a $G$. Qui si ha un assurdo, perchè due gruppi di ordine diverso dovrebbero essere isomorfi.
b)$=>$a) se $G$ ha ordine $p$ si ha quello che hai detto tu (forse tu hai invertito le frecce però). Se $G$ ha ordine infinito ed è ciclico allora è isomorfo a $ZZ$, quindi senza perdere di generalità posso prendere $ZZ=G$ . In $ZZ$ i suoi sottogruppi infinito sono solo del tipo $mZZ$ con $m in ZZ\{0}$ (l'unico finito è quello banale, che escludiamo), ed è facile verificare che $mZZ$ e $ZZ$ sono isomorfi (basta prendere l'omomorfismo $f:ZZ->mZZ$ tale che $f(1)=m$).

edit: mentre scrivevo ha risposto un altro utente, scusate.

[nato_pigro1]

ho sbglait oa scrivere le freccie che volevo dimostrare.
Comunque per b=>a basta considerare un caso, non occorre prenderli in considerazione entrambi... no?

però in b)=>a) non hai considerato il caso in cui G ha ordine infinito...

[klarence1]

Ti riferisci a me o ad Ale_? Entrambi lo abbiamo considerato il caso G infinito...

[klarence1]

"nato_pigro":Comunque per b=>a basta considerare un caso, non occorre prenderli in considerazione entrambi... no?
...

Invece si, Se hai $A$ e $B$ due proposizioni e devi dimostrare che 'se vale $A$ o $B$ allora vale $C$' devi metterti sia nel caso in cui valga $A$ che nel caso in cui valga $B$ (che nel nostro caso sarebbero A=gruppo ciclico infinito e B=gruppo ciclico di cardinalità un numero primo).

[Ale_112]

Sì, in fondo mi sembra che io e klarence abbiamo dato più o meno la stessa dimostrazione, anche se la sua è un tantino più elegante XD

[nato_pigro1]

"klarence":[quote="nato_pigro"]Comunque per b=>a basta considerare un caso, non occorre prenderli in considerazione entrambi... no?
...

Invece si, Se hai $A$ e $B$ due proposizioni e devi dimostrare che 'se vale $A$ o $B$ allora vale $C$' devi metterti sia nel caso in cui valga $A$ che nel caso in cui valga $B$ (che nel nostro caso sarebbero A=gruppo ciclico infinito e B=gruppo ciclico di cardinalità un numero primo).[/quote]

ok per il resto ma per questo non sono convinto.
Se io ho che $A=>C$ allora vale anche $AuuB=>C$ quindi mi basta provare $A=>C$

[klarence1]

"nato_pigro":
Se io ho che $A=>C$ allora vale anche $AuuB=>C$ quindi mi basta provare $A=>C$

Ma non vale il viceversa, cioè che se $AuuB=>C$ allora $A=>C$. Se valesse anche questo allora sarebbe come dici tu.

[nato_pigro1]

eh ma stavamo parlando di b=>a, no?

[klarence1]

"nato_pigro":eh ma stavamo parlando di b=>a, no?

Appunto per questo, devi dimostrare che $AuuB => C$ (cioè che se $G$ è un gruppo ciclico infinito (proposizione $A$) o ciclico di cardinalità p (proposizione $B$) allora ogni..... (proposizione $C$) ).
Se dimostri solo che $A=>C$ può succedere che se mi trovo in una situazione in cui non vale $A$ e vale $B$ non è detto che $C$ sia vera.