Equazioni congruenziali

[Bizio591]

Salve a tutti.
Ho un problemino con le equazioni congruenziali. Prendiamo per esempio questo esercizio che sto svolgendo:
$ 135x ≡ 60(mod. 620) $

Trovo l' MCD quindi:
$ 620=135*4+80 $
$ 135=80*1+55 $
$ 80=55*1+25 $
$ 55=25*2+5 $
$ 25=5*5 $

Dopo di che applico il teroma di Bezout.
$ 5=55−(25⋅2)$
$=55−((80−55)⋅2)$
$=55−(80⋅2−55⋅2)$
$=55⋅3−80⋅2$
$=((135−80)⋅3)−80⋅2$
$=135⋅3−80⋅5$
$=135⋅3−((620−135⋅4)⋅5)$
$=135⋅3−(620⋅5−135⋅20)$
$=135⋅23−620⋅5 $
Dopo aver applicato il teroma, non mi è ben chiaro cosa devo fare. Qualcuno sa spiegarmi? Grazie mille

[Gi81]

Prima di tutto, i calcoli fatti mi sembrano corretti. Effettivamente $135*23-620*5=5$
Cosa vuol dire questo? Vuol dire che $135*23-= 5 (mod 620)$

Dunque $135*(23*12)-=5*12 (mod 620)$

[Bizio591]

$ 135⋅(23⋅12)≡5⋅12(mod620) $ perchè quei 12? E perchè sostituisco beta al posto di 60 e alpha al posto della x? Questo non mi è molto chiaro. Inoltre l'esercizio chiede: "Si determinino tutte le soluzioni intere dell'equazione congruenziale". Cosa intende?

[Gi81]

Ho moltiplicato entrambi i membri per $12$ per far tornare $60$ a sinistra.
Dato che $23*12= 276$, abbiamo $135*276-=60 (mod 620)$, quindi la soluzione è $x-=276 (mod 620)$
Quest'ultima scrittura descrive tutte le possibili soluzioni (cioè $276+k*620$, $k in ZZ$)

[Bizio591]

Quindi devo moltiplicare per 12 per far tornare 60, quindi abbiamo che $x=276(mod 620)$ e quindi come dovrei scrivere per dire quali sono le soluzioni precisamente? Come faccio a dire a quale classe di resto appartiene? E ultima domanda, scusami, ma quando scrivo $x=276(mod 620)$ che fine fanno il 60 ed il 135?