Equazioni Classi Resto
Salve avrei un dubbio:
quando noi risolviamo un equazione del tipo:
$[a]n . [x]n = n$
se sappiamo che la classe [a]n è invertibile tale equazione ammette solo una classe resto come soluzione(seppur infinita),
mentre se non lo è può ammettere anche diverse classi resto diverse tra loro come soluzione giusto??
vorrei solo una conferma di quanto detto
grazie
quando noi risolviamo un equazione del tipo:
$[a]n . [x]n = n$
se sappiamo che la classe [a]n è invertibile tale equazione ammette solo una classe resto come soluzione(seppur infinita),
mentre se non lo è può ammettere anche diverse classi resto diverse tra loro come soluzione giusto??
vorrei solo una conferma di quanto detto
grazie
Risposte
Sì, a parte che immagino che la classe di [tex]b[/tex] sia sempre modulo n e non modulo x!
Sapresti anche dire con precisione quante sono le soluzioni nel caso in cui [tex]\text{gcd}(a,n) \ne 1[/tex]?
Sapresti anche dire con precisione quante sono le soluzioni nel caso in cui [tex]\text{gcd}(a,n) \ne 1[/tex]?
si scusa avevo sbagliato a scrivere..
cmq il nostro prof ci ha dato una formula che ci permette di calcolare tutte le classi resto soluzioni in cui nn sono coprimi (a,n)..
un ultima cosa
ma quindi ogni elemento invertibile in generale ammette sempre uno ed un solo inverso??
o puo averne anche piu' di uno??
parlo in generale(ovviamente anche riferendomi in questo caso).
grazie
cmq il nostro prof ci ha dato una formula che ci permette di calcolare tutte le classi resto soluzioni in cui nn sono coprimi (a,n)..
un ultima cosa
ma quindi ogni elemento invertibile in generale ammette sempre uno ed un solo inverso??
o puo averne anche piu' di uno??
parlo in generale(ovviamente anche riferendomi in questo caso).
grazie
Se siamo in ambiente commutativo sì. Mi spiego: se l'inverso è sia destro che sinistro, allora è unico. Altrimenti, può avere più inversi destri (e nessuno sinistro), o viceversa.
si ma un elemento invertibile è tale se è invertibile sia a sinistra che a destra, lo dice la definizione:
a è invertibile se esiste un a' tale che
a . a'=a'.a=u dove u è il neutro..
poi un altra cosa il nostro prof. ci ha dato una formula che ci permette di trovare il cofattore di un divisore dello zero nelle classi resto, che è questa:
MCD(a,n)
-----------
n
ma io non mi trovo.. forse ho sbagliato a scrivere??
a è invertibile se esiste un a' tale che
a . a'=a'.a=u dove u è il neutro..
poi un altra cosa il nostro prof. ci ha dato una formula che ci permette di trovare il cofattore di un divisore dello zero nelle classi resto, che è questa:
MCD(a,n)
-----------
n
ma io non mi trovo.. forse ho sbagliato a scrivere??
In situazioni più generali potresti aver bisogno di indebolire quella definizione. Comunque, in questo contesto hai ragione tu: quando non si specifica niente, si dà per scontato che l'inverso sia destro e sinistro.
In questo caso: siano [tex]a'[/tex] e [tex]a''[/tex] due inversi di [tex]a[/tex]. Allora [tex]a' = a' \cdot 1 = a'(aa'') = (a' a) a'' = 1 a'' = a''[/tex] e quindi l'inverso è unico.
Per cofattore cosa intendi?
In questo caso: siano [tex]a'[/tex] e [tex]a''[/tex] due inversi di [tex]a[/tex]. Allora [tex]a' = a' \cdot 1 = a'(aa'') = (a' a) a'' = 1 a'' = a''[/tex] e quindi l'inverso è unico.
Per cofattore cosa intendi?
il cofattore che moltiplicato per un divisore dello zero di una classe resto da appunto 0
ossia:
a . b = 0
dove a è un divisore dello zero..
grazie
ossia:
a . b = 0
dove a è un divisore dello zero..
grazie
Ah, ok. Allora hai chiaramente sbagliato a scrivere. Se [tex]a[/tex] è un divisore dello zero in [tex]\mathbb Z / n\mathbb Z[/tex] allora un suo possibile cofattore è [tex]\displaystyle \frac{n}{d}[/tex], dove [tex]d = \text{MCD}(a,n)[/tex]. Perché?
Comunque, ci si aspetta che dopo 98 messaggi tu abbia imparato a scrivere almeno le formule più elementari!
Comunque, ci si aspetta che dopo 98 messaggi tu abbia imparato a scrivere almeno le formule più elementari!
ok ti ringrazio molto 
un altra domanda scusa..
non riesco a trovare l'elemento neutro di questo esercizio:
(a,b).(c,d)= (ac,bc+ad)
io l ho svolto cosi:
(a,b).(u,v)=(a,b)
ossia:
a.u=a--->u=0 ok
b.u+a.v=b ----> qui come faccio?? come trovo l elemento neutro v qui dentro??
grazie..
non riesco a trovare l'elemento neutro di questo esercizio:
(a,b).(c,d)= (ac,bc+ad)
io l ho svolto cosi:
(a,b).(u,v)=(a,b)
ossia:
a.u=a--->u=0 ok
b.u+a.v=b ----> qui come faccio?? come trovo l elemento neutro v qui dentro??
grazie..
Innanzi tutto, [tex]a,b,c,d[/tex] che cosa sono?? Numeri interi, numeri razionali, complessi, funzioni, matrici, telefonini??
si scusami stiamo in ZxZ..
Ok. Allora da [tex]au = a[/tex] per ogni [tex]a \in \mathbb Z[/tex] segue [tex]u = 1[/tex], non [tex]u = 0[/tex].
Poi hai [tex]av + bu = b[/tex], ossia essendo [tex]u = 1[/tex], [tex]av = 0[/tex]. E siccome vale per ogni [tex]a \in \mathbb Z[/tex], segue [tex]v = 0[/tex].
Quindi [tex](u,v) = (1,0)[/tex].
Non era niente di più che risolvere un sistema...
Poi hai [tex]av + bu = b[/tex], ossia essendo [tex]u = 1[/tex], [tex]av = 0[/tex]. E siccome vale per ogni [tex]a \in \mathbb Z[/tex], segue [tex]v = 0[/tex].
Quindi [tex](u,v) = (1,0)[/tex].
Non era niente di più che risolvere un sistema...
ok grazie mille
comunque c è una cosa che non riesco proprio a capire:
prendiamo questa equazione:
[57]67 . [X]67 = [125]67
MCD(57,67)=1 sono coprimi e quindi esiste una sola classe resto come soluzione..
ma se sono coprimi non vuol dire che [57]67 . [X]67 dev essere uguale a =[1]67 poichè essa è invertibile?
ossia la classe [125]67 non dovrebbe essere equivalente alla classe [1]67??
non mi sembra..
perchè il resto della divisione tra 125/67 non è 1..
capisci..??
prendiamo questa equazione:
[57]67 . [X]67 = [125]67
MCD(57,67)=1 sono coprimi e quindi esiste una sola classe resto come soluzione..
ma se sono coprimi non vuol dire che [57]67 . [X]67 dev essere uguale a =[1]67 poichè essa è invertibile?
ossia la classe [125]67 non dovrebbe essere equivalente alla classe [1]67??
non mi sembra..
perchè il resto della divisione tra 125/67 non è 1..
capisci..??
Capisco che hai le idee confuse. E rinnovo l'invito ad utilizzare le formule. Non è così difficile!
Siccome [tex]\text{MCD}(57,67) = 1[/tex] allora [tex]57[/tex] è invertibile che è ben diverso dal dire che [tex]57 \equiv 1 \pmod{67}[/tex]. Scusa, in [tex]\mathbb R[/tex], l'elemento [tex]2[/tex] è invertibile, ma mica si ha [tex]2 = 1[/tex]!!!
Devi trovare l'elemento inverso di [tex]57[/tex] per risolvere. Ti hanno spiegato come fare?
Siccome [tex]\text{MCD}(57,67) = 1[/tex] allora [tex]57[/tex] è invertibile che è ben diverso dal dire che [tex]57 \equiv 1 \pmod{67}[/tex]. Scusa, in [tex]\mathbb R[/tex], l'elemento [tex]2[/tex] è invertibile, ma mica si ha [tex]2 = 1[/tex]!!!
Devi trovare l'elemento inverso di [tex]57[/tex] per risolvere. Ti hanno spiegato come fare?
io l'inverso di 57 l ho trovato..
mi viene 20..è giusto?
comunque non hai capito la domanda..
io intendevo quel b
non dovrebbe essere uguale a 1??
mi viene 20..è giusto?
comunque non hai capito la domanda..
io intendevo quel b
non dovrebbe essere uguale a 1??
Sì è giusto. E adesso [tex]57 x \equiv 125 \pmod{67} \Rightarrow 20 \cdot 57 x \equiv 20 \cdot 125 \pmod{67} \Rightarrow x \equiv 20 \cdot 58[/tex][tex]\equiv 21 \pmod{67}[/tex].
scusa io non faccio questi passaggi che hai scritto tu..
comunque tu mi confermi che 20 è la soluzione ma io non mi trovo:
57 . 20 = 125 (modulo 67)
è falsa poichè
67 non divide (57.20)-125
comunque tu mi confermi che 20 è la soluzione ma io non mi trovo:
57 . 20 = 125 (modulo 67)
è falsa poichè
67 non divide (57.20)-125
aspe forse devo mettere 1 al posto di 125??
proprio perchè la classe [57]67 è invertibile e quindi b=[1]67 in *??
* [57]67 . [X]67 = [125]67
proprio perchè la classe [57]67 è invertibile e quindi b=[1]67 in *??
* [57]67 . [X]67 = [125]67
cioe noi sappiamo che se [57]67 è invertibile allora
tale equazione:
$[57]67 . [X]67 = [125]67$
sarà equivalente a questa:
$[57]67 . [X]67 = [1]67 $ossia
$57 . X = 1 modulo(67)$
ma una volta che mi trovo tale soluzione essa sarà anche la soluzione di questa:
$[57]67 . [X]67 = [125]67 $??
tale equazione:
$[57]67 . [X]67 = [125]67$
sarà equivalente a questa:
$[57]67 . [X]67 = [1]67 $ossia
$57 . X = 1 modulo(67)$
ma una volta che mi trovo tale soluzione essa sarà anche la soluzione di questa:
$[57]67 . [X]67 = [125]67 $??
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