Equazioni Classi Resto
Salve avrei un dubbio:
quando noi risolviamo un equazione del tipo:
$[a]n . [x]n = n$
se sappiamo che la classe [a]n è invertibile tale equazione ammette solo una classe resto come soluzione(seppur infinita),
mentre se non lo è può ammettere anche diverse classi resto diverse tra loro come soluzione giusto??
vorrei solo una conferma di quanto detto
grazie
quando noi risolviamo un equazione del tipo:
$[a]n . [x]n = n$
se sappiamo che la classe [a]n è invertibile tale equazione ammette solo una classe resto come soluzione(seppur infinita),
mentre se non lo è può ammettere anche diverse classi resto diverse tra loro come soluzione giusto??
vorrei solo una conferma di quanto detto
grazie
Risposte
NO!
Non ho detto che la soluzione è 20. Ho detto che l'inverso di 57 è 20. Che significa [tex]20 \cdot 57 \equiv 1 \pmod{67}[/tex].
Scusa, mi togli una curiosità? In [tex]\mathbb R[/tex], se ti chiedo di risolvere [tex]3 x = 4[/tex], quali sono i passaggi che applichi?
Non ho detto che la soluzione è 20. Ho detto che l'inverso di 57 è 20. Che significa [tex]20 \cdot 57 \equiv 1 \pmod{67}[/tex].
Scusa, mi togli una curiosità? In [tex]\mathbb R[/tex], se ti chiedo di risolvere [tex]3 x = 4[/tex], quali sono i passaggi che applichi?
si ok e questo lo so
20 è l inverso di 57 quindi tale equazione:
57 x = 1(modulo 67 ) è soddisfatta..
ed ora cosa faccio per risolvere questa:
[57]67 . [X]67 = [125]67
??
grazie
ps: x=4/3
20 è l inverso di 57 quindi tale equazione:
57 x = 1(modulo 67 ) è soddisfatta..
ed ora cosa faccio per risolvere questa:
[57]67 . [X]67 = [125]67
??
grazie
ps: x=4/3
Sì, [tex]x = \frac{4}{3}[/tex]. E come hai fatto a risolverla? Cioè, quali proprietà hai applicato?
l'inverso..
ascolta io ho capito cosa tu vuoi dire.. quello che però voglio capire è
[57]67 . [X]67 = [125]67
la soluzione di questa qual è??
ascolta io ho capito cosa tu vuoi dire.. quello che però voglio capire è
[57]67 . [X]67 = [125]67
la soluzione di questa qual è??
Ma guarda... non mi sembra che tu abbia proprio capito, altrimenti applicheresti lo stesso procedimento qui.
Là hai moltiplicato per l'inverso di 3. Qui moltiplichi per l'inverso di 57. Che è 20. E, guarda un po', fai esattamente i miei passaggi.
Là hai moltiplicato per l'inverso di 3. Qui moltiplichi per l'inverso di 57. Che è 20. E, guarda un po', fai esattamente i miei passaggi.
scusa facciamo chiarezza sto entrando in confusione:
[57]67 . [X]67 = [125]67
io ho quest equazione e so che è invertibile la classe [57]67
quindi mi trovo l'inverso, ossia [20]67
ed infatti [57]20 . [20]67 =[1]67
ma ora questa X come me la trovo.. non riesco a capire..per piacere..
forse devo moltiplicare 20 con 125??
[57]67 . [X]67 = [125]67
io ho quest equazione e so che è invertibile la classe [57]67
quindi mi trovo l'inverso, ossia [20]67
ed infatti [57]20 . [20]67 =[1]67
ma ora questa X come me la trovo.. non riesco a capire..per piacere..
forse devo moltiplicare 20 con 125??
Certo!
[tex]3x = 4 \Rightarrow \frac{1}{3} \cdot 3 x = \frac{1}{3} \cdot 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3}[/tex]
[tex]57 x \equiv 125 \pmod{67} \Rightarrow 20 \cdot 57 x \equiv 20 \cdot 125 \pmod{67} \Rightarrow x \equiv 21 \pmod{67}[/tex].
Lo vedi che è la stessa cosa?
[tex]3x = 4 \Rightarrow \frac{1}{3} \cdot 3 x = \frac{1}{3} \cdot 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3}[/tex]
[tex]57 x \equiv 125 \pmod{67} \Rightarrow 20 \cdot 57 x \equiv 20 \cdot 125 \pmod{67} \Rightarrow x \equiv 21 \pmod{67}[/tex].
Lo vedi che è la stessa cosa?
si ok ma io non riesco ancora a capire questa cosa pero guarda:
[57]67 . [X]67 = [125]67
se [57]67 è invertibile ci sara un inverso tale che il prodotto tra a ed x sia 1 ti trovi??
e allora quest equazione dovrebbe avere un b ossia [125]67 che soddisfi questa equazione.. invece non la soddisfa
perchè se io metto l inverso al posto della x non il risultato fa 1 e non [125]67 che è diversa da [1]67 capisci quello che voglio dire??
[57]67 . [X]67 = [125]67
se [57]67 è invertibile ci sara un inverso tale che il prodotto tra a ed x sia 1 ti trovi??
e allora quest equazione dovrebbe avere un b ossia [125]67 che soddisfi questa equazione.. invece non la soddisfa
perchè se io metto l inverso al posto della x non il risultato fa 1 e non [125]67 che è diversa da [1]67 capisci quello che voglio dire??
No, non capisco. E ripeto una terza volta che se tu usassi le formule gioverebbe ad entrambi.
Poi: [tex]57 \cdot 21 = 1197[/tex], sei d'accordo? E su [tex]16 \cdot 67 + 125 = 1197[/tex] sei d'accordo? Basta una calcolatrice.
Se sei d'accordo su queste due cose, allora devi convenire sul fatto che [tex]57 \cdot 21 - 125 = 1197 - 125 = 16 \cdot 67[/tex]. Ok?
Beh, ma a questo punto [tex][57 \cdot 21]_{67} = [125]_{67}[/tex] per definizione di uguaglianza tra classi di equivalenza.
Quindi [tex]21[/tex] è la soluzione dell'equazione di partenza.
Se non hai capito nemmeno adesso, sinceramente non so più cosa dire. Aspetta che qualcuno con più doti da insegnante delle mie passi di qui.
Poi: [tex]57 \cdot 21 = 1197[/tex], sei d'accordo? E su [tex]16 \cdot 67 + 125 = 1197[/tex] sei d'accordo? Basta una calcolatrice.
Se sei d'accordo su queste due cose, allora devi convenire sul fatto che [tex]57 \cdot 21 - 125 = 1197 - 125 = 16 \cdot 67[/tex]. Ok?
Beh, ma a questo punto [tex][57 \cdot 21]_{67} = [125]_{67}[/tex] per definizione di uguaglianza tra classi di equivalenza.
Quindi [tex]21[/tex] è la soluzione dell'equazione di partenza.
Se non hai capito nemmeno adesso, sinceramente non so più cosa dire. Aspetta che qualcuno con più doti da insegnante delle mie passi di qui.
ok quindi in definitiva la soluzione dell equazione
[57]67 . [X]67 = [125]67
è [2500]67 ossia [21]67??
ed è l unica classe resto soluzione di tale equazione poichè è invertibile giusto??
[57]67 . [X]67 = [125]67
è [2500]67 ossia [21]67??
ed è l unica classe resto soluzione di tale equazione poichè è invertibile giusto??
Sì.
ok ma sapresti dirmi perchè per trovare la soluzione di queste equazioni in generale sia che [a]n sia o meno invertibile
si riporta tale equazione ad una forma tale in modo tale che [a]n diventi invertibile??
cioè perchè l invertibilità di [a]n permette di determinare una soluzione dell equazione??
ps: 57 x = 125 (modulo 76) non ha soluzioni ti trovi?
si riporta tale equazione ad una forma tale in modo tale che [a]n diventi invertibile??
cioè perchè l invertibilità di [a]n permette di determinare una soluzione dell equazione??
ps: 57 x = 125 (modulo 76) non ha soluzioni ti trovi?
Sì. Perché [tex]\text{MCD}(57,76) = 19[/tex] e [tex]19[/tex] non divide [tex]125[/tex].
Che cosa c'è di oscuro in tutto questo?
Che cosa c'è di oscuro in tutto questo?
io vorrei capire perchè il fatto che [a]n sia invertibile permette di trovare la soluzione di una generica equazione congruenziale..
tanto che se [a]n non è invertibile si deve portare la generica equazione con questo [a]n non invertibile dividendo tutto per MCD(a,n)=d
in poche parole perchè l invertibilità ci permette di trovare la soluzione??
tanto che se [a]n non è invertibile si deve portare la generica equazione con questo [a]n non invertibile dividendo tutto per MCD(a,n)=d
in poche parole perchè l invertibilità ci permette di trovare la soluzione??
Perché l'equazione [tex]0 x = 4[/tex] non ha soluzioni?
Perché l'equazione [tex]a x = 4[/tex] ha soluzioni se e solo se [tex]a \ne 0[/tex]?
Vogliamo il coefficiente invertibile perché in questo caso siamo in grado di risolvere algoritmicamente l'equazione. Cioè, abbiamo una procedura semplice ed efficace che sputa fuori il risultato.
E' naturale cercare di ricondursi a questa situazione!
Perché l'equazione [tex]a x = 4[/tex] ha soluzioni se e solo se [tex]a \ne 0[/tex]?
Vogliamo il coefficiente invertibile perché in questo caso siamo in grado di risolvere algoritmicamente l'equazione. Cioè, abbiamo una procedura semplice ed efficace che sputa fuori il risultato.
E' naturale cercare di ricondursi a questa situazione!
ok..
quindi bisogna sempre moltiplicare per b ogni volta che mi trovo l'inverso..
sia [a]n invertibile oppure non invertibile(dopo naturalmente averlo pero' reso invertibile in questo caso dividendo tutto per d)
giusto??
quindi bisogna sempre moltiplicare per b ogni volta che mi trovo l'inverso..
sia [a]n invertibile oppure non invertibile(dopo naturalmente averlo pero' reso invertibile in questo caso dividendo tutto per d)
giusto??
post errato.
forse va fatto cosi vedi:
(3^a,3^b).(3^c,3^d)=(3^a . 3^c, 3^b . 3^c + 3^a . 3^d)
giusto??
(3^a,3^b).(3^c,3^d)=(3^a . 3^c, 3^b . 3^c + 3^a . 3^d)
giusto??
$a*u=a \ \ => \ \u=1$ e non $u=0$ come hai scritto tu
post errato
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