Equazione Diofantea
Sto provando a risolvere la seguente equazione negli interi:
$a^3+1=2b^3$
Ho trovato le soluzioni $(-1;0)$ e $(1;1)$ ma non riesco a dimostrare l'unicità
Ho notato che $(-1;0)mod9$ e $(1;1)mod9$ sono le uniche soluzioni possibili(poichè i residui cubici del 9 sono 0, 1 e -1)
Come posso riuscire a dimostrare che non esistono soluzioni del tipo:
$(9m-1, 9n)$ e $(9m+1, 9n+1)$ ??
Ho provato a sostituire algebricamente, ma ricavo espressioni molto più difficili da gestire dell'originale..
$a^3+1=2b^3$
Ho trovato le soluzioni $(-1;0)$ e $(1;1)$ ma non riesco a dimostrare l'unicità
Ho notato che $(-1;0)mod9$ e $(1;1)mod9$ sono le uniche soluzioni possibili(poichè i residui cubici del 9 sono 0, 1 e -1)
Come posso riuscire a dimostrare che non esistono soluzioni del tipo:
$(9m-1, 9n)$ e $(9m+1, 9n+1)$ ??
Ho provato a sostituire algebricamente, ma ricavo espressioni molto più difficili da gestire dell'originale..
Risposte
Un teorema di Th. Skolem dice che per ogni $d\in ZZ$, l’equazione
$X^3+dY^3=1$ ha al piu' una soluzione $X,Y\in ZZ$ con $Y!=0$.
Per $d=2$ si tratta del tuo problema.
Il teorema di Skolem appare come il teorema 10.1
nel libretto "Local fields” di J.W.S. Cassels.
Come il tuo tentativo, la dimostrazione e’ "$3$-adica”.
$X^3+dY^3=1$ ha al piu' una soluzione $X,Y\in ZZ$ con $Y!=0$.
Per $d=2$ si tratta del tuo problema.
Il teorema di Skolem appare come il teorema 10.1
nel libretto "Local fields” di J.W.S. Cassels.
Come il tuo tentativo, la dimostrazione e’ "$3$-adica”.
Se hai dimestichezza con i campi puoi studiare gli elementi di $QQ(\root[3]{2})$ che hanno norma 1. Un altro modo è con le curve ellittiche ma è più complesso e ci vogliono delle conoscenze di base.
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