eq. funzionale della z esplicitata

[Simone Masini]

è possibile scrivere l'eq. funzionale della z in una parte dedicata all'insieme dei reali ed un'altra agli immaginari nel senso che:

z(a+ib)=z(1-a-ib)gamma(1-a-ib)2^(a+ib)pigreco^(a+ib-1)sin(pigreco(a+ib)/2)

voglio ricavare un'eq. funzionale del tipo z(a)=F(a) per la parte reale ed una z(b)=G(b) per la parte immaginaria

come posso fare?

[apatriarca]

La formula non mi è del tutto chiara, ma direi che, in generale, non è possibile scrivere una funzione complessa come somma di una funzione nella sola parte reale e un'altra solo nella parte complessa.

[Simone Masini]

Ti porto subito un controesempio:

e^z=e^(x+iy)=e^x(cosy+isiny)=(e^xcosy)+i(e^xsiny) dalle formule di Eulero!!! certo è un caso molto speciale ma con opportune manipolazioni si fa per molti tipi di g=f(z)

[Callan]

Simone Masini ha scritto:

è possibile scrivere l'eq. funzionale della z in una parte dedicata all'insieme dei reali ed un'altra agli immaginari nel senso che:

z(a+ib)=z(1-a-ib)gamma(1-a-ib)2^(a+ib)pigreco^(a+ib-1)sin(pigreco(a+ib)/2)

voglio ricavare un'eq. funzionale del tipo z(a)=F(a) per la parte reale ed una z(b)=G(b) per la parte immaginaria

come posso fare?

In generale, per una funzione complessa come la funzione zeta di Bernhard Riemann, non è possibile separare l'equazione funzionale in una parte puramente reale e un'altra puramente immaginaria, poiché le due componenti rimangono accoppiate analiticamente.

[Callan]

È ovviamente possibile scrivere e sviluppare ogni termine (gamma, seno, potenze complesse), ma si ottiene così un sistema dipendente simultaneamente, non due equazioni indipendenti.

[ingres]

Come evidenziato da Callan, in generale le parti reali e quelle immaginarie di una funzione di variabile complessa sono ciascuna dipendente da entrambe le parti reali e immaginarie della variabile. In particolare parte reale e parte immaginaria della funzione di Riemann sono esplicitate in questo riferimento:

https://math.stackexchange.com/questions/1892423/zeta-function-in-real-and-imaginary-parts

Il risultato deriva direttamente dalla definizione, dall'uso dell'identità x=e^(lnx) e quindi dall'applicazione della formula di Eulero.