Elementi nilpotenti e isomorfismi di anelli
Ciao! Ho dei problemi con alcuni argomenti di Algebra2, tipo:
1) esistono elementi nilpotenti negli anelli Z3[x]/ (x^2 + x + 1) e R[x]/ (x^2 - 2x +1) ?
So che un elemento a si dice nilpotente se esiste n>0 t.c. a^n = 0 ma non riesco ad applicare questa definizione all'esercizio!
2) per quanto riguarda gli isomorfismi di anelli, per provare che Q[radice di 5] non è isomorfo come anello a Q[radice di 7]
è sufficiente dire che hanno diversa caratteristica ?
E come dimostro che Z6[radice di 2] non è isomorfo come anello a Z6 x Z6 ?
Se qualcuno può aiutarmi...ringrazio in anticipo!;)
1) esistono elementi nilpotenti negli anelli Z3[x]/ (x^2 + x + 1) e R[x]/ (x^2 - 2x +1) ?
So che un elemento a si dice nilpotente se esiste n>0 t.c. a^n = 0 ma non riesco ad applicare questa definizione all'esercizio!
2) per quanto riguarda gli isomorfismi di anelli, per provare che Q[radice di 5] non è isomorfo come anello a Q[radice di 7]
è sufficiente dire che hanno diversa caratteristica ?
E come dimostro che Z6[radice di 2] non è isomorfo come anello a Z6 x Z6 ?
Se qualcuno può aiutarmi...ringrazio in anticipo!;)
Risposte
Benvenut*!
Sei sicur* della prima affermazione del punto 2?
Sei sicur* della prima affermazione del punto 2?
ops...scusa...ho sbagliato a scrivere gli anelli nel punto 2) !
Z5[x] non è isomorfo come anello a Z7[x]..... basta dire che è così perchè hanno caratteristica diversa?
Z5[x] non è isomorfo come anello a Z7[x]..... basta dire che è così perchè hanno caratteristica diversa?
Sì! 
Col tempo imparerai anche a scrivere tutto ciò con le formule (click).
P.S.: meglio che leggi anche il regolamento (click).
Col tempo imparerai anche a scrivere tutto ciò con le formule (click).
P.S.: meglio che leggi anche il regolamento (click).
Quanto al primo punto io per prima cosa li scomporrei.
E poi applico la definizione scegliendo dei fattori opportuni
Alla fine basta scegliere i fattori giusti e risolvi tutto, anche perchè, poichè $n$ lo scegli tu, alla fine ti basta che compaiano tutti i fattori della fattorizzazione no?
E poi applico la definizione scegliendo dei fattori opportuni
Alla fine basta scegliere i fattori giusti e risolvi tutto, anche perchè, poichè $n$ lo scegli tu, alla fine ti basta che compaiano tutti i fattori della fattorizzazione no?
ok, quindi dato che in Z3[x] il polinomio x^2 + x + 1 = (x - 1) (x + 2) = (x - 1)^2, posso dire che l'elemento nilpotente esiste ed è proprio (x - 1) giusto? E la stessa cosa vale per l'altro anello.
Invece, per quanto riguarda l'anello Z8 x Z4, è corretto dire che esistono elementi nilpotenti dato che in Z8 si ha 2^3 = 8 = 0 e in Z4 si ha 2^2 = 4 = 0 ?
Oppure devo prendere la coppia (2,2) e dire che (2,2)^3 = (8,8) = (0,0) in Z8 x Z4?
Così facendo, in Z8 x Z3 ad esempio..non esistono nilpotenti, giusto?
Invece, per quanto riguarda l'anello Z8 x Z4, è corretto dire che esistono elementi nilpotenti dato che in Z8 si ha 2^3 = 8 = 0 e in Z4 si ha 2^2 = 4 = 0 ?
Oppure devo prendere la coppia (2,2) e dire che (2,2)^3 = (8,8) = (0,0) in Z8 x Z4?
Così facendo, in Z8 x Z3 ad esempio..non esistono nilpotenti, giusto?
Non ho capito perché [tex]$(x-1)\in\mathbb{Z}_3$[/tex] sia nilpotente. 
Sulla seconda parte vanno bene entrambi i ragionamenti.
Sulla terza parte sbagli: [tex]$(2;0)\in\mathbb{Z}_8\times\mathbb{Z}_3$[/tex] è nilpotente!
Perché?
Sulla seconda parte vanno bene entrambi i ragionamenti.
Sulla terza parte sbagli: [tex]$(2;0)\in\mathbb{Z}_8\times\mathbb{Z}_3$[/tex] è nilpotente!
Perché?
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $
Perchè dato che gli elementi di $ ZZ_3 [x] (x^2+x+1) = \{ ax + b, a,b in ZZ_3 t.c. x^2 = -x-1} $ e dato che $ (x^2+x+1) $ può essere scomposto in $ (x-1)^2 $ (o equivalentemente in $ (x+2)^2 $ ) , si ha $ (x-1)^2 = x^2-2x+1 $ e sostituendo $ x^2 $ con $ -x-1 $ si ottiene $ -x-1-2x+1 = -3x = 0 $ in $ ZZ_3 $ e quindi posso dire che (x-1) è nilpotente.
Non è giusto il procedimento?![/tex][/code]
Perchè dato che gli elementi di $ ZZ_3 [x] (x^2+x+1) = \{ ax + b, a,b in ZZ_3 t.c. x^2 = -x-1} $ e dato che $ (x^2+x+1) $ può essere scomposto in $ (x-1)^2 $ (o equivalentemente in $ (x+2)^2 $ ) , si ha $ (x-1)^2 = x^2-2x+1 $ e sostituendo $ x^2 $ con $ -x-1 $ si ottiene $ -x-1-2x+1 = -3x = 0 $ in $ ZZ_3 $ e quindi posso dire che (x-1) è nilpotente.
Non è giusto il procedimento?![/tex][/code]
scusa...sto imparando ora ad usare questa scrittura... la prima riga non c'entra niente, era una prova e mi sono dimenticata di eliminarlo!
"ste*":
ok, quindi dato che in Z3[x] il polinomio x^2 + x + 1 = (x - 1) (x + 2) = (x - 1)^2, posso dire che l'elemento nilpotente esiste ed è proprio (x - 1) giusto? E la stessa cosa vale per l'altro anello.
Sì direi che è giusto!
Che ragionamento fine.
Grazie per l'aiuto nel prio punto!
Per quanto riguarda il 2° punto...come dimostro che l'anello $ ZZ_6[sqrt[2]] $ non è isomorfo all'anello $ ZZ_6 xx ZZ_6 $ ?
Dato che credo abbiano caratteristica=6 entrambi e stessa cardinalità (=36) ... su cosa mi devo basare x verificare l'asserto?
Per quanto riguarda il 2° punto...come dimostro che l'anello $ ZZ_6[sqrt[2]] $ non è isomorfo all'anello $ ZZ_6 xx ZZ_6 $ ?
Dato che credo abbiano caratteristica=6 entrambi e stessa cardinalità (=36) ... su cosa mi devo basare x verificare l'asserto?
Quali sono le operazioni interne agli anelli riportati?
...credo $ ZZ_6 $ sia inteso come gruppo additivo!
Ma se stai lavorando con degli anelli, ti ho chiesto quali sono le operazioni interne?
Suppongo che [tex]$\mathbb{Z}_6[\sqrt{2}]$[/tex] sia una estensione quadratica di [tex]$\mathbb{Z}_6$[/tex] e che le operazioni nell'anello [tex]$\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_6$[/tex] siano somma e prodotto per componenti!
Suppongo che [tex]$\mathbb{Z}_6[\sqrt{2}]$[/tex] sia una estensione quadratica di [tex]$\mathbb{Z}_6$[/tex] e che le operazioni nell'anello [tex]$\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_6$[/tex] siano somma e prodotto per componenti!
ah si certo....ma non è sufficiente dire che non sono isomorfi solo perchè sono anelli con operazioni interne differenti..no?!
No, non basta!
Devi cercare qualche proprietà invariante per isomorfismi che l'uno soddisfa e l'altro no; purtroppo me ne vengono in mente alcune che soddisfano entrambi.
Devi cercare qualche proprietà invariante per isomorfismi che l'uno soddisfa e l'altro no; purtroppo me ne vengono in mente alcune che soddisfano entrambi.
[tex]\mathbb{Z}_6[\sqrt{2}][/tex] (chiamiamolo cosi' 
) ha un elemento il cui quadrato e' 2, mentre [tex]\mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_6[/tex] no.
) ha un elemento il cui quadrato e' 2, mentre [tex]\mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_6[/tex] no.
"Martino":E ci avevo pure pensato!
[tex]\mathbb{Z}_6[\sqrt{2}][/tex]...ha un elemento il cui quadrato e' 2, mentre [tex]\mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_6[/tex] no.
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
:smt079 
"Martino":Come altro lo si potrebbe chiamare?
[tex]\mathbb{Z}_6[\sqrt{2}][/tex] (chiamiamolo cosi'
E' vero...cavolo!!!! grazie grazie mille!!!!!;)
mi è venuto un dubbio...
in $ ZZ_6[sqrt2] $ c'è un elemento il cui quadrato è 2, infatti $ f(sqrt2)^2=f((sqrt2)^2)=f(2)=f(2*1)=f(1+1)=2f(1)=2*1=2 $
ma come faccio a far vedere che in $ ZZ_6 $x $ ZZ_6 $ non c'è?
in $ ZZ_6[sqrt2] $ c'è un elemento il cui quadrato è 2, infatti $ f(sqrt2)^2=f((sqrt2)^2)=f(2)=f(2*1)=f(1+1)=2f(1)=2*1=2 $
ma come faccio a far vedere che in $ ZZ_6 $x $ ZZ_6 $ non c'è?
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