Dubbio sui quantificatori
Volevo solo dire di non prendere per oro colato quel metodo, che mi sembra solo un aiuto pratico per districarsi con gli epsilon etcSìsì, forse sono stato poco chiaro ma intendevo proprio quello!
Grazie di nuovo.
(sposto da sopra per comodità per chi avesse voglia e modo di rispondere)
[...]
Detto ciò, mi fucilate se vi chiedo altre due cosette? E' solo che ragionando su queste proposizioni mi sono venute due curiosità. Ho provato in logica ma non mi hanno considerato di striscio
. Vi assicuro che non è un ot ma più uno spin-off, poi nel prosieguo se continueremo la conversazione lo capirete 
, ma ha a che fare con la definizione di limite e i quantificatori usati.Inizio con la prima poi nei prossimi post metto la seconda in post successivi, per non allungare troppo il brodo.
Mi è sorto un dubbio ragionando su una dimostrazione e credo di avere una lacuna molto basic su questo fatto:
se io scrivo
$forall a, ∃ab:[...]$ posso scrivere $forall ab,[...]$ direttamente? dove con [...] ometto il resto non interessandomi molto, poiché vorrei un caso generale di utilizzo.
In un certo senso mi chiedo: $forall a, ∃ab: [...] <=> forall ab, [...]$?
avrei poi una domanda bonus: $forall a, ∃ab:[...]$ potrei scriverla in modo espanso come: $forall a, ∃b : ab,[...]$? Sarebbe sensato?
Spero possiate aiutarmi e vi ringrazio.
Risposte
"gandolfo_m":
Detto ciò, mi fucilate se vi chiedo altre due cosette?
se io scrivo
$forall a, ∃ab:[...]$ posso scrivere $forall ab,[...]$ direttamente? dove con [...] ometto il resto non interessandomi molto, poiché vorrei un caso generale di utilizzo.
In un certo senso mi chiedo: $forall a, ∃ab: [...] <=> forall ab, [...]$?
Non ti fuciliamo
.Hai postato la domanda in Algebra, logica etc. e non hanno risposto? Non l'ho trovata però.
Puoi fare un esempio di
$forall a, ∃ab:[...]$ posso scrivere $forall ab,[...]$ direttamente?
Ad esempio vorresti dire:
$forall a, ∃ab$ tale che [$ab$ è verde] è equivalente a $forall ab,$ [$ab$ verde]?
Per $ab$ che intendi? Il prodotto due numeri $a$ e $b$, quindi $a$ e $b$ sono numeri?
Io non sono esperta di logica, ma visto che nella sezione di logica non ti si filano
, al momento ti devi accontentare della serie B (io) .Ti chiedevo di fare un esempio per chiarire un po' la domanda, perché in primo luogo vedo che $forall a, ∃ab:[...]$ è una proposizione, cioè una frase a cui si può associare un valore di verità (vero o falso): è vero che per ogni $a$ esiste un $ab$ tale che bla bla? Sì, no, non so. Invece $forall ab,[...]$ non è una proposizione.
[edit] Scusa, non avevo visto bene, pensavo a un attributo di $ab$, intendevi forse $forall ab,$ [$ab$ è verde]?
E' rimasta un po' di giorni in logica, l'ho tolta proprio prima quando l'ho copiata di qua per non fare crossposting (o come si chiama ). Per intenderci, per non fare doppioni.
Comunque essendo un somaro in logica mi ero incastrato su quel pensiero, vedo di chiarire.
Tutto era sorto (come si intuisce) dalla definizione di limite dato che c'era il $∀epsilon, ∃delta [...]$ facilmente si intuisce perché mi fosse venuto il dubbio su quella "formulazione" della proposizione. Fatta questa introduzione, poi, il dubbio si era sviluppato in modo a sé stante.
Ordiniamo i dubbi:
1) grazie alla tua risposta ho capito che $∀a,∃ab:[...]⇔∀ab,[...]$ non ha senso. quindi ok. In un certo senso la mia idea era che vedevo simile dire: $∀a,∃ab$ tale che $[ab=c]$ con $∀ab, [ab=c]$.
2) la seconda cosa che mi chiedevo sull'utilizzo dei quantificatori era questo: $∀a,∃b : ab=d$ è equivalente (<=>) a scrivere $∀a,∃ab=d$? (questa mi pare corretta no?)
3) Dai due precedenti mi sorgeva poi questa domanda. ma se io avessi che: [$∀a,∃c : ab=c$ e che $∀c,∃a : ab=c$] allora posso concludere che $forall c <=> forall ab$ (quest'ultima biimplicazione nella mia mente è un pò come dire ab=c, che mi sembra vero)
credo di dover sistemare un po' di cose e mi sembrava un buon momento per farlo (e capisco nella sezione logica mi abbiano odiato per le scemenze dette)
PS
Sì intendevo una cosa del genere.
). Per intenderci, per non fare doppioni.Comunque essendo un somaro in logica mi ero incastrato su quel pensiero, vedo di chiarire.
Tutto era sorto (come si intuisce) dalla definizione di limite dato che c'era il $∀epsilon, ∃delta [...]$ facilmente si intuisce perché mi fosse venuto il dubbio su quella "formulazione" della proposizione. Fatta questa introduzione, poi, il dubbio si era sviluppato in modo a sé stante.
Ordiniamo i dubbi:
1) grazie alla tua risposta ho capito che $∀a,∃ab:[...]⇔∀ab,[...]$ non ha senso. quindi ok. In un certo senso la mia idea era che vedevo simile dire: $∀a,∃ab$ tale che $[ab=c]$ con $∀ab, [ab=c]$.
2) la seconda cosa che mi chiedevo sull'utilizzo dei quantificatori era questo: $∀a,∃b : ab=d$ è equivalente (<=>) a scrivere $∀a,∃ab=d$? (questa mi pare corretta no?)
3) Dai due precedenti mi sorgeva poi questa domanda. ma se io avessi che: [$∀a,∃c : ab=c$ e che $∀c,∃a : ab=c$] allora posso concludere che $forall c <=> forall ab$ (quest'ultima biimplicazione nella mia mente è un pò come dire ab=c, che mi sembra vero)
credo di dover sistemare un po' di cose e mi sembrava un buon momento per farlo (e capisco nella sezione logica mi abbiano odiato per le scemenze dette
)PS
[edit] Scusa, non avevo visto bene, pensavo a un attributo di $ab$, intendevi forse $forall ab,$ [$ab$ è verde]?
Sì intendevo una cosa del genere.
Ciao gandolfo, l'argomento che hai aperto nella sezione di Logica non avresti dovuto eliminarlo, a mio parere. A te forse sembra che nessuno abbia voglia di rispondere, la realtà però è che è difficile rispondere perché le tue domande non hanno molto senso. Voglio dire che gli utenti hanno letto il tuo messaggio ma non lo hanno capito. Per questo non hai ricevuto risposte. In altre parole l'assenza di risposte è in qualche modo una risposta. Comunque provo a rispondere qui.
Come diceva Gabriella, suppongo che tu intenda dire che $a$ e $b$ sono numeri (reali? interi? non si capisce) e che per $ab$ tu intenda il loro prodotto. Scrivi "per ogni $a$, esiste $ab$", io non scriverei così assolutamente, è molto strano. Siccome $a$ già appare nel primo quantificatore, non ha senso che riappaia nel secondo. Cioè io scriverei "per ogni $a$, esiste $b$ tale che ..." e nel prosieguo se ti serve $ab$ lo usi, se non ti serve non lo usi. Cioè siccome $a$ è dato, è inutile (e anzi molto confuso) scrivere "esiste $ab$". Sarebbe un po' come se io dicessi "esiste $3x$ tale che $x$ è pari". Come vedi il $3$ non ha nessuna rilevanza e anzi confonde solo le idee. Sarebbe molto meglio scrivere "esiste $x$ tale che $x$ è pari".
se io scrivo
$forall a, ∃ab:[...]$ posso scrivere $forall ab,[...]$ direttamente? dove con [...] ometto il resto non interessandomi molto, poiché vorrei un caso generale di utilizzo.
Come diceva Gabriella, suppongo che tu intenda dire che $a$ e $b$ sono numeri (reali? interi? non si capisce) e che per $ab$ tu intenda il loro prodotto. Scrivi "per ogni $a$, esiste $ab$", io non scriverei così assolutamente, è molto strano. Siccome $a$ già appare nel primo quantificatore, non ha senso che riappaia nel secondo. Cioè io scriverei "per ogni $a$, esiste $b$ tale che ..." e nel prosieguo se ti serve $ab$ lo usi, se non ti serve non lo usi. Cioè siccome $a$ è dato, è inutile (e anzi molto confuso) scrivere "esiste $ab$". Sarebbe un po' come se io dicessi "esiste $3x$ tale che $x$ è pari". Come vedi il $3$ non ha nessuna rilevanza e anzi confonde solo le idee. Sarebbe molto meglio scrivere "esiste $x$ tale che $x$ è pari".
In un certo senso mi chiedo: $forall a, ∃ab: [...] <=> forall ab, [...]$?No, sono cose diverse. Da una parte (1) $forall a, ∃ab$ è la stessa cosa di dire (2) $forall a, ∃b$ (solo che (1) è molto strano e va evitato). D'altra parte (3) "$forall ab$" è proprio un'altra cosa, ed è formalmente sbagliato perché se dici "per ogni $ab$" non si capisce perché tu abbia introdotto $a$, $b$ e perché non usi invece un'altra lettera $c$ e poi per esempio scrivi "per ogni $c$ tale che $c=ab$ per qualche $a,b$" eccetera. Cioè scrivere "per ogni $ab$" è proprio lontanissimo da quello che chiamerei un senso logico. Quando si introducono variabili queste vanno introdotte usando una sola lettera.
avrei poi una domanda bonus: $forall a, ∃ab:[...]$ potrei scriverla in modo espanso come: $forall a, ∃b : ab,[...]$? Sarebbe sensato?Non si capisce, cosa intendi con $forall a, ∃b : ab,[...]$ ? Cioè non si capisce proprio. Io leggo "per ogni $a$ esiste $b$ tale che $ab$" e poi la frase finisce. Se per esempio fosse "per ogni $a$ esiste $b$ tale che $ab=1$" allora sì questo ha senso, ed è molto meglio di "per ogni $a$ esiste $ab$ tale che $ab=1$", che invece è stranissima e andrebbe evitata.
"gandolfo_m":Sono due frasi diverse e hanno significati diversi. Per esempio se nell'ambito dei numeri razionali diversi da zero dico "per ogni $a$ esiste $b$ tale che $ab=1$" questo è vero perché basta scegliere $b=1//a$. Invece se dico "per ogni $ab$, $ab=1$" questo è falso perché starebbe dicendo in qualche modo che "ogni prodotto tra due numeri è uguale a $1$" che è ovviamente falso (per esempio $2*3 = 6$ non è uguale a $1$). Comunque ripeto che scrivere "per ogni $ab$" ha logicamente pochissimo senso.
vedevo simile dire: $∀a,∃ab$ tale che $[ab=c]$ con $∀ab, [ab=c]$.
2) la seconda cosa che mi chiedevo sull'utilizzo dei quantificatori era questo: $∀a,∃b : ab=d$ è equivalente (<=>) a scrivere $∀a,∃ab=d$? (questa mi pare corretta no?)Sì in un certo senso sono equivalenti, attribuendo un significato alla seconda e cercando di capire cosa vuoi dire, ma ripeto che scrivere "esiste $ab$" è stranissimo, fa solo confusione. La prima formulazione è quella corretta.
3) Dai due precedenti mi sorgeva poi questa domanda. ma se io avessi che: [$∀a,∃c : ab=c$ e che $∀c,∃a : ab=c$] allora posso concludere che $forall c <=> forall ab$ (quest'ultima biimplicazione nella mia mente è un pò come dire ab=c, che mi sembra vero)Qui non ti seguo più, no non puoi concludere quello che hai scritto, e come ripeto se provi a scrivere tutto evitando le scritture "per ogni $ab$" e "esiste $ab$" vedrai che diventerà tutto più chiaro. Sono scritture pericolose perché ti portano a sbagliare.
Riprendo questa osservazione di Martino
Consiglio da asino in logica (sempre io, cioè tanti anni fa un po' l'ho studiata ma molti anni fa): l'uso dei quantificatori non è una cosa banale, c'è una parte della logica, la logica dei predicati che se ne occupa, e quindi eviterei, come consiglia Martino, di dannarsi troppo con quantificatori e simboli logici, si fanno errori.
Ci sono regole sull'uso dei quantificatori, anche per stabilire l'equivalenza di due proposizioni.
Se vuoi provare un brivido metafisico, giusto per spaventarti un po', metto qui sotto un breve brano da dispense di logica, dove trovi alcune equivalenze, ad esempio sostituzione di quantificatore esistenziale con universale e simili.
Non è che devi leggerle o impararle, è giusto un assaggio per vedere che sono cose un po' complicate, e che se ci si impiccia non è un caso.
"Martino":
e come ripeto se provi a scrivere tutto evitando le scritture "per ogni $ab$" e "esiste $ab$" vedrai che diventerà tutto più chiaro. Sono scritture pericolose perché ti portano a sbagliare.
Consiglio da asino in logica (sempre io
, cioè tanti anni fa un po' l'ho studiata ma molti anni fa): l'uso dei quantificatori non è una cosa banale, c'è una parte della logica, la logica dei predicati che se ne occupa, e quindi eviterei, come consiglia Martino, di dannarsi troppo con quantificatori e simboli logici, si fanno errori.Ci sono regole sull'uso dei quantificatori, anche per stabilire l'equivalenza di due proposizioni.
Se vuoi provare un brivido metafisico, giusto per spaventarti un po', metto qui sotto un breve brano da dispense di logica, dove trovi alcune equivalenze, ad esempio sostituzione di quantificatore esistenziale con universale e simili.
Non è che devi leggerle o impararle, è giusto un assaggio per vedere che sono cose un po' complicate, e che se ci si impiccia non è un caso.
"Martino":
Ciao gandolfo, l'argomento che hai aperto nella sezione di Logica non avresti dovuto eliminarlo, a mio parere. A te forse sembra che nessuno abbia voglia di rispondere, la realtà però è che è difficile rispondere perché le tue domande non hanno molto senso. Voglio dire che gli utenti hanno letto il tuo messaggio ma non lo hanno capito. Per questo non hai ricevuto risposte.
...
No, sono cose diverse. Da una parte (1) $forall a, ∃ab$ è la stessa cosa di dire (2) $forall a, ∃b$ (solo che (1) è molto strano e va evitato). D'altra parte (3) "$forall ab$" è proprio un'altra cosa, ed è formalmente sbagliato perché se dici "per ogni $ab$" non si capisce perché tu abbia introdotto $a$, $b$ e perché non usi invece un'altra lettera $c$ e poi per esempio scrivi "per ogni $c$ tale che $c=ab$ per qualche $a,b$" eccetera. Cioè scrivere "per ogni $ab$" è proprio lontanissimo da quello che chiamerei un senso logico. Quando si introducono variabili queste vanno introdotte usando una sola lettera.
Ho visto il messaggio dell'OP poco dopo che l'aveva postato e d'impulso avrei risposto esattamente così ma mi sembrava troppo ovvio quindi ho pensato che intendesse qualcosa di più complicato di così e ho lasciato perdere
Ciao @Martino, grazie mille per la risposta.
volevo solo seguire le regole, tanto avevo capito che non avrei ricevuto risposta e non sapevo nemmeno come fare a stimolarne altre. Insomma, per lasciare una discussione del tutto vuota mi sembrava più utile spostarla e toglierla .
Detto ciò, ti ringrazio perché hai chiarito tutti i miei dubbi e ho capito tutti i tuoi appunti sul caso.
mi piacerebbe, sempre se avessi voglia, solo chiarire un'ultima "faccenduncola" che non ho chiarissimo in mente:
Vediamo 3 seguenti casi:
vogliono dire tutti la stessa cosa, giusto? (a me sembra di si e spero di non sbagliare)
@gabriella: grazie per i tuoi sempre interessanti link e spunti. E' qualcosa che mi incuriosisce molto la logica ma non ho mai avuto un insegnamento a riguardo e sono molto molto carente (leggasi asino appunto)
Ciao gandolfo, l'argomento che hai aperto nella sezione di Logica non avresti dovuto eliminarlo, a mio parere. A te forse sembra che nessuno abbia voglia di rispondere, la realtà però è che è difficile rispondere perché le tue domande non hanno molto senso. Voglio dire che gli utenti hanno letto il tuo messaggio ma non lo hanno capito. Per questo non hai ricevuto risposte. In altre parole l'assenza di risposte è in qualche modo una risposta. Comunque provo a rispondere qui.No, certo. Mi era chiaro che non fosse una "non voglia" di rispondere ma che probabilmente non era tanto chiara la mia domanda. Tuttavia non avendo avuto interazione non mi sembrava nemmeno utile lasciare una domanda vuota di là e avendola scritta di qua volevo evitare crossposting che so che è vietato: per quello l'ho tolta. Non era una cattiveria
volevo solo seguire le regole, tanto avevo capito che non avrei ricevuto risposta e non sapevo nemmeno come fare a stimolarne altre. Insomma, per lasciare una discussione del tutto vuota mi sembrava più utile spostarla e toglierla .Detto ciò, ti ringrazio perché hai chiarito tutti i miei dubbi e ho capito tutti i tuoi appunti sul caso.
mi piacerebbe, sempre se avessi voglia, solo chiarire un'ultima "faccenduncola" che non ho chiarissimo in mente:
Vediamo 3 seguenti casi:
1- $∀ab, ab=1$ (questo mi hai detto che non è correttissimo e sconsigliabile da utilizzare, ma dato che l'hai utilizzato nel secondo tuo post volevo capire meglio e prendiamolo per valido)
2- per ogni $c$ tale che $c=ab$ per qualche $a,b$, $c=1$ (domanda: qui per qualche a,b sembra dire per ogni a e per ogni b e quindi mi chiedo vale la seguente: 3-)
3- $foralla,forallb, ab=1$
vogliono dire tutti la stessa cosa, giusto? (a me sembra di si e spero di non sbagliare)
@gabriella: grazie per i tuoi sempre interessanti link e spunti. E' qualcosa che mi incuriosisce molto la logica ma non ho mai avuto un insegnamento a riguardo e sono molto molto carente (leggasi asino appunto)
"gandolfo_m":
Vediamo 3 seguenti casi:
1- $∀ab, ab=1$ (questo mi hai detto che non è correttissimo e sconsigliabile da utilizzare, ma dato che l'hai utilizzato nel secondo tuo post volevo capire meglio e prendiamolo per valido)
2- per ogni $c$ tale che $c=ab$ per qualche $a,b$, $c=1$ (domanda: qui per qualche a,b sembra dire per ogni a e per ogni b e quindi mi chiedo vale la seguente: 3-)
3- $foralla,forallb, ab=1$
vogliono dire tutti la stessa cosa, giusto? (a me sembra di si e spero di non sbagliare)
Sarebbe interessante capire perché sì, ossia perché, secondo te, quelle robe lì vogliono dire la stessa cosa.
La 1) e la 3) equivalgono perché dire "1) per ogni ab, ab=1" come detto da Martino (con il caveat che non è correttissimo) vuol dire che per ogni moltiplicazione di a e b scelti a caso darebbe il valore 1. D'altra parte la 3) vuol dire proprio la stessa cosa di quanto appena affermato: scelgo a e b qualsiasi e moltiplicati ab danno 1.
Martino, inoltre, ha detto che la 1) si potrebbe riscrivere in modo migliore come 2): quindi 1) e 2) equivalgono.
Ergo, per transitività, (se 1 equivale a 3 e 1 equivale a 2) direi che 1) 2) e 3) sono la stessa cosa
Martino, inoltre, ha detto che la 1) si potrebbe riscrivere in modo migliore come 2): quindi 1) e 2) equivalgono.
Ergo, per transitività, (se 1 equivale a 3 e 1 equivale a 2) direi che 1) 2) e 3) sono la stessa cosa
Sì (2) e (3) sono equivalenti, mentre invece la (1) non ha senso (come ti ho già detto).
Sì, certo, quello mi è chiarissimo (che abbia poco senso, intendo).
però dato che qui l'avevi usata (sottolinenando molte volte che fosse comunque errata)
Grazie mille per il tuo tempo e aiuto. Erano cose che mi chiedevo e non sapevo proprio come aggiustare.
però dato che qui l'avevi usata (sottolinenando molte volte che fosse comunque errata)
Sono due frasi diverse e hanno significati diversi. Per esempio se nell'ambito dei numeri razionali diversi da zero dico "per ogni $a$ esiste $b$ tale che $ab=1$" questo è vero perché basta scegliere $b=1//a$. Invece se dico "per ogni $ab$, $ab=1$" questo è falso perché starebbe dicendo in qualche modo che "ogni prodotto tra due numeri è uguale a $1$" che è ovviamente falso (per esempio $2*3 = 6$ non è uguale a $1$). Comunque ripeto che scrivere "per ogni $ab$" ha logicamente pochissimo senso.l'avevo messa solo per chiarirmi le idee, sempre molto virgolettato "equivalente" alle altre data l'insensatezza di base.
Grazie mille per il tuo tempo e aiuto. Erano cose che mi chiedevo e non sapevo proprio come aggiustare.
Posso chiedervi un chiarimento sull'equivalenza della 2 e 3 di gandolfo?
Guardando "per ogni $c$ tale che $c=ab$ per qualche $a,b$ t.c. $c=1$" mi verrebbe da rileggere il pezzo: "per qualche $a,b$" come: $∃a,b$
Quindi la rilettura completa sarebbe: "per ogni $c$ tale che $c=ab$, $∃a,b$ t.c. $c=1$" (2) e non credo di capire perché equivalga a $∀a,∀b, ab=1$ (3).
Ora,
La 2 a parole la tradurrei in linguaggio naturale con: per ogni c tale che c=ab posso trovare a e b che rendano vera quella uguaglianza.
La 3 sembra invece suggerirmi che, per ogni a e per ogni b (quindi qualunque) quando moltiplicati mi danno un c(=ab).
Dove sbaglio?
Guardando "per ogni $c$ tale che $c=ab$ per qualche $a,b$ t.c. $c=1$" mi verrebbe da rileggere il pezzo: "per qualche $a,b$" come: $∃a,b$
Quindi la rilettura completa sarebbe: "per ogni $c$ tale che $c=ab$, $∃a,b$ t.c. $c=1$" (2) e non credo di capire perché equivalga a $∀a,∀b, ab=1$ (3).
Ora,
La 2 a parole la tradurrei in linguaggio naturale con: per ogni c tale che c=ab posso trovare a e b che rendano vera quella uguaglianza.
La 3 sembra invece suggerirmi che, per ogni a e per ogni b (quindi qualunque) quando moltiplicati mi danno un c(=ab).
Dove sbaglio?
"pistacios":No, la (2) non dice quello. La (2) dice "per ogni $c$ tale che esistono $a,b$ tali che $c=ab$, si ha $c=1$". Cioè devi togliere il "t.c.".
Quindi la rilettura completa sarebbe: "per ogni $c$ tale che $c=ab$, $∃a,b$ t.c. $c=1$" (2)
Grazie per l'aiuto in primis.
Ho capito l'errore del t.c. di troppo però non riesco ancora a capire perché $∀a,∀b,ab=1$ (3) equivalga alla (2). Provo a spiegare dove mi crea confusione.
Dire "per ogni $c$ tale che esistono $a,b$ tali che $c=ab$, si ha $c=1$" mi viene da leggerla come: "per ogni $c$ ho la possibilità di trovare $a$ e $b$ tali che $c=ab$, dunque $c=ab=1$".
Quindi mi pare che io scelgo ogni c e poi esistono alcuni a,b ma non tutti, come invece richiede la (3).
Mentre la (3) dice $∀a,∀b,ab=1$, quindi questa facilmente intuisco che: preso un qualunque a e un qualunque b la moltiplicazione dà 1.
Nel primo caso a e b sono dati/quantificati come esistenti, nel secondo caso sono quantificati da per ogni, e questo mi confonde perché mi sembrano due concetti differenti.
Ora, come potrei fare a dimostrarmi inequivocabilmente che in realtà (2) e (3) si equivalgono? Mi spaventa molto questo mio non capire, e vorrei riuscire invece a non fare questo errore. Insomma, voglio comprendere
Ho capito l'errore del t.c. di troppo però non riesco ancora a capire perché $∀a,∀b,ab=1$ (3) equivalga alla (2). Provo a spiegare dove mi crea confusione.
Dire "per ogni $c$ tale che esistono $a,b$ tali che $c=ab$, si ha $c=1$" mi viene da leggerla come: "per ogni $c$ ho la possibilità di trovare $a$ e $b$ tali che $c=ab$, dunque $c=ab=1$".
Quindi mi pare che io scelgo ogni c e poi esistono alcuni a,b ma non tutti, come invece richiede la (3).
Mentre la (3) dice $∀a,∀b,ab=1$, quindi questa facilmente intuisco che: preso un qualunque a e un qualunque b la moltiplicazione dà 1.
Nel primo caso a e b sono dati/quantificati come esistenti, nel secondo caso sono quantificati da per ogni, e questo mi confonde perché mi sembrano due concetti differenti.
Ora, come potrei fare a dimostrarmi inequivocabilmente che in realtà (2) e (3) si equivalgono? Mi spaventa molto questo mio non capire, e vorrei riuscire invece a non fare questo errore. Insomma, voglio comprendere
Mi è venuta in mente una pseudo-risposta, vediamo se è valida:
Mi porto a scrivere formalmente perché mi viene più facile non commettere errori di linguaggio naturale:
$forallcinA,[(∃a,bin A : c=ab)=>(c=ab=1)]$ (2)
devo dimostrare che: <=>
$foralla,forallb,[(a in A, b in A) => (ab=1)]$ (3)
(2)=>(3)
assumo a e b qualsiasi, dunque essendo ∃ meno restrittiva so che "esistono a e b". Assumo quindi ab=c, questo verifica l'antecedente della proposizione (2) quindi proprio per la (2) che ho come ipotesi questo implica che c=ab=1 e questo dimostra (3) cvd
(3)=>(2)
assumo un qualunque c, per cui esistono a e b tali che c=ab. Dato che per la (3) per ogni a,b ho che ab=1 allora si ha che c=ab=1, che è proprio il conseguente nella (2) (questo dimostra (2)) fine.
Non mi vengono idee migliori ad ora
Mi porto a scrivere formalmente perché mi viene più facile non commettere errori di linguaggio naturale:
$forallcinA,[(∃a,bin A : c=ab)=>(c=ab=1)]$ (2)
devo dimostrare che: <=>
$foralla,forallb,[(a in A, b in A) => (ab=1)]$ (3)
(2)=>(3)
assumo a e b qualsiasi, dunque essendo ∃ meno restrittiva so che "esistono a e b". Assumo quindi ab=c, questo verifica l'antecedente della proposizione (2) quindi proprio per la (2) che ho come ipotesi questo implica che c=ab=1 e questo dimostra (3) cvd
(3)=>(2)
assumo un qualunque c, per cui esistono a e b tali che c=ab. Dato che per la (3) per ogni a,b ho che ab=1 allora si ha che c=ab=1, che è proprio il conseguente nella (2) (questo dimostra (2)) fine.
Non mi vengono idee migliori ad ora
Sì quello che hai scritto nell'ultimo messaggio è giusto, a parte che hai scambiato "<=" con "=>" e dici cose come "assumo $a$ e $b$", "assumo $c$" che non hanno molto senso. Comunque è giusto.
Sì, me ne ero accorto rileggendo e stavo correggendo le "freccette" che mi avevano incasinato la mente. Hai scritto mentre editavo, ora dovrebbe essere corretta (spero per chi leggerà in futuro eventualmente )
Ti ringrazio per esserti preso la briga di correggermi. Volevo porti una domanda, per migliorare lo stile, dato che vorrei imparare dai vostri/tuoi consigli. Dicevi che non ha senso scrivere "assumo" e mi chiedo: perché? da ignorante quale sono mi sembrava sensato... e soprattutto come potrei correggerlo?
grazie per avermi insegnato qualcosa
)Ti ringrazio per esserti preso la briga di correggermi
. Volevo porti una domanda, per migliorare lo stile, dato che vorrei imparare dai vostri/tuoi consigli. Dicevi che non ha senso scrivere "assumo" e mi chiedo: perché? da ignorante quale sono mi sembrava sensato... e soprattutto come potrei correggerlo?grazie per avermi insegnato qualcosa
Invece di "assumo $x$" scriverei "dato $x$", ma solo per una questione di grammatica: per esempio non diresti mai "assumo una mela". Invece "data una mela" ha più senso.
Chiaro, grazie . Hai perfettamente ragione direi .
Mi piacerebbe fare due ultime considerazioni, perché questa discussione è stata utile per pormi domande su cose cui non avevo mai fatto troppo caso. Poi giuro che chiudo l'OT non odiatemi vi prego.
Prima domanda stolta:
E comunque (almeno per me) molto interessante come l'idea che prendere "esiste a,b" e prendere per "ogni a,b" sembrassero due concetti diversissimi come dicevo nel post prima della dimostrazione: a intuito non ci ero proprio arrivato fossero la stessa cosa le due proposizioni. Invece è molto chiaro dimostrandolo. Questa cosa mi ha stupito.
Ma secondo te c'è un modo di capirlo a colpo d'occhio, più che altro lo chiedo perché "esiste" l'ho sempre visto come più restrittivo di "per ogni" e non capisco bene il motivo di fondo per cui qua siano pressoché intercambiabili, a livello di intuizione.
Poi avevo una domanda probabilmente più "intelligente"[nota]ma ho i miei dubbi anche qui che lo sia[/nota]:
Ho notato che la struttura di questa dimostrazione:
$(A→B)→(C→B)$ d'altra parte io l'ho riadattata come $((A→B)∧C)→B$ Qui mi sorge un dubbio, io è come se fossi riuscito a portarmi a scrivere: $((A→B)∧A)→B$ ciò lo faccio precisamente nel passaggio in cui mostro che avere "per ogni a e b" fanno si che "esistano a e b". Inizialmente mi veniva da pensarla come: $((A→B)∧(C→A))→B$ ma ho fatto la tavola ed è falsa. Quindi non capisco appieno sotto-sotto cosa succeda. E' proprio come se fossi riuscito a porre C=A (solo così avrei una tavola che dà vero), eppure a me sembrava un C→A (cioè: $forall a,b => ∃a,b)$. Secondo te come si può spiegare questa cosa in modo formalmente corretto?
. Hai perfettamente ragione direi .Mi piacerebbe fare due ultime considerazioni, perché questa discussione è stata utile per pormi domande su cose cui non avevo mai fatto troppo caso. Poi giuro che chiudo l'OT non odiatemi vi prego.
Prima domanda stolta:
E comunque (almeno per me) molto interessante come l'idea che prendere "esiste a,b" e prendere per "ogni a,b" sembrassero due concetti diversissimi come dicevo nel post prima della dimostrazione: a intuito non ci ero proprio arrivato fossero la stessa cosa le due proposizioni. Invece è molto chiaro dimostrandolo. Questa cosa mi ha stupito
.Ma secondo te c'è un modo di capirlo a colpo d'occhio, più che altro lo chiedo perché "esiste" l'ho sempre visto come più restrittivo di "per ogni" e non capisco bene il motivo di fondo per cui qua siano pressoché intercambiabili, a livello di intuizione.
Poi avevo una domanda probabilmente più "intelligente"[nota]ma ho i miei dubbi anche qui che lo sia
[/nota]:Ho notato che la struttura di questa dimostrazione:
(2)=>(3)è pressoché questa (tanto sono quantificati quindi $A(x),B(x)=A,B$):
assumo a e b qualsiasi, dunque essendo ∃ meno restrittiva so che "esistono a e b". Assumo quindi ab=c, questo verifica l'antecedente della proposizione (2) quindi proprio per la (2) che ho come ipotesi questo implica che c=ab=1 e questo dimostra (3) cvd
$(A→B)→(C→B)$ d'altra parte io l'ho riadattata come $((A→B)∧C)→B$ Qui mi sorge un dubbio, io è come se fossi riuscito a portarmi a scrivere: $((A→B)∧A)→B$ ciò lo faccio precisamente nel passaggio in cui mostro che avere "per ogni a e b" fanno si che "esistano a e b". Inizialmente mi veniva da pensarla come: $((A→B)∧(C→A))→B$ ma ho fatto la tavola ed è falsa. Quindi non capisco appieno sotto-sotto cosa succeda. E' proprio come se fossi riuscito a porre C=A (solo così avrei una tavola che dà vero), eppure a me sembrava un C→A (cioè: $forall a,b => ∃a,b)$. Secondo te come si può spiegare questa cosa in modo formalmente corretto?
Non ti seguo più. In ogni caso siamo proprio fuori tema, per favore apri un nuovo argomento grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo