Dubbio sui quantificatori
Volevo solo dire di non prendere per oro colato quel metodo, che mi sembra solo un aiuto pratico per districarsi con gli epsilon etcSìsì, forse sono stato poco chiaro ma intendevo proprio quello!
Grazie di nuovo.
(sposto da sopra per comodità per chi avesse voglia e modo di rispondere)
[...]
Detto ciò, mi fucilate se vi chiedo altre due cosette? E' solo che ragionando su queste proposizioni mi sono venute due curiosità. Ho provato in logica ma non mi hanno considerato di striscio
. Vi assicuro che non è un ot ma più uno spin-off, poi nel prosieguo se continueremo la conversazione lo capirete 
, ma ha a che fare con la definizione di limite e i quantificatori usati.Inizio con la prima poi nei prossimi post metto la seconda in post successivi, per non allungare troppo il brodo.
Mi è sorto un dubbio ragionando su una dimostrazione e credo di avere una lacuna molto basic su questo fatto:
se io scrivo
$forall a, ∃ab:[...]$ posso scrivere $forall ab,[...]$ direttamente? dove con [...] ometto il resto non interessandomi molto, poiché vorrei un caso generale di utilizzo.
In un certo senso mi chiedo: $forall a, ∃ab: [...] <=> forall ab, [...]$?
avrei poi una domanda bonus: $forall a, ∃ab:[...]$ potrei scriverla in modo espanso come: $forall a, ∃b : ab,[...]$? Sarebbe sensato?
Spero possiate aiutarmi e vi ringrazio.
Risposte
Risponderti sta diventando un lavoro, quindi magari ti rispondo solo a una cosa (che dovrebbe chiarire tutto). Se questo non ti aiuta, credo che mi fermerò qui.
Come si dimostra invece quello che hai scritto? Come segue. Sappiamo che valgono $P_1$ e $P_2$ dove
$P_1$ è $∀a,b,(aRb => bRa)$
$P_2$ è $∀a,b,((aRb and bRa) => a=b)$.
Dobbiamo mostrare che
$∀a,b,(aRb => a=b)$ (che chiamerò $P_3$).
Prendiamo quindi $a,b$ qualsiasi. Dobbiamo mostrare che $aRb => a=b$.
Supponiamo quindi $aRb$ e mostriamo che $a=b$.
Siccome $aRb$, per $P_1$ sappiamo che $bRa$.
Quindi abbiamo che $aRb$ e $bRa$ sono entrambe vere.
Quindi per $P_2$ deduciamo che $a=b$.
Abbiamo quindi dimostrato che, se $aRb$, allora $a=b$, e cioè abbiamo dimostrato $P_3$.
E' così che si fa a dimostrare quello che hai detto. Non lo puoi dimostrare continuando a riformulare e spostando i quantificatori di qua e di là.
"pistacios":Dopo aver scritto questo, parti con un argomento involuto pieno di formule in cui praticamente cerchi di fare una "dimostrazione per riformulazione", cioè riformuli (e poi riformuli ancora e ancora) quello che vuoi dimostrare sperando che si semplifichi. Questa è una pessima idea. Ripeto di nuovo che le tabelle di verità non bastano per fare dimostrazioni.
nel punto D) io voglio mostrare logicamente (ho capito che di solito non funziona ma qui in effetti anche solo con la tavola di verità dovrebbe riuscire) che
$[ (∀a,b,(aRb => bRa)) and ( ∀a,b,((aRb and bRa) => a=b)) ] => ∀a,b,(aRb => a=b)$
Come si dimostra invece quello che hai scritto? Come segue. Sappiamo che valgono $P_1$ e $P_2$ dove
$P_1$ è $∀a,b,(aRb => bRa)$
$P_2$ è $∀a,b,((aRb and bRa) => a=b)$.
Dobbiamo mostrare che
$∀a,b,(aRb => a=b)$ (che chiamerò $P_3$).
Prendiamo quindi $a,b$ qualsiasi. Dobbiamo mostrare che $aRb => a=b$.
Supponiamo quindi $aRb$ e mostriamo che $a=b$.
Siccome $aRb$, per $P_1$ sappiamo che $bRa$.
Quindi abbiamo che $aRb$ e $bRa$ sono entrambe vere.
Quindi per $P_2$ deduciamo che $a=b$.
Abbiamo quindi dimostrato che, se $aRb$, allora $a=b$, e cioè abbiamo dimostrato $P_3$.
E' così che si fa a dimostrare quello che hai detto. Non lo puoi dimostrare continuando a riformulare e spostando i quantificatori di qua e di là.
A(x')=>B(x') vera, ossia A(x') vera e B(x') vera.In realtà questo è impreciso, o meglio va bene ma devi dire che stai anche usando che A(x') è vera per ipotesi (perché A(x) è vera per ogni x, per ipotesi). Per il resto, va bene.
Hai ragione, il fatto è che siccome voglio dare più informazioni possibili all'interlocutore finisco per infarcire il discorso di talmente tante info che poi rimango così convoluto da rendere impossibile ascoltarmi.
La dimostrazione che fai è quella che mi ero proposto anche io e la condivido. Però per via del mio essere convoluto non credo di aver espresso bene la domanda. Ovviamente non ti disturbo oltre se non avessi voglia, però magari riducendo all'osso posso essere meglio compreso e per questo scrivo il post attuale. Vediamo...
1) Quello che vorrei fare è solo capire perché in questo specifico caso la:
[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)
che scritta in modo più preciso è:
[(∀a,b,(aRb⇒bRa))and(∀a,b,((aRbandbRa)⇒a=b))]⇒∀a,b,(aRb⇒a=b)
[ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z) (che essendo tautologia rende vero)
stop e mi mordo la lingua , non voglio aggiungere altro perché la domanda è solo questa.
Unica nota: come dicevo mi "incasina" il fatto che: ∀a,b,(aRb⇒bRa) non può essere scritta come X=>Y (perché è del tipo: ∀x,(P(x)⇒Q(x)) che non è P=>Q per tutti i discorsi fatti), allora perché la tautologia della tavola dovrebbe implicare che vale l'affermazione, io questo chiedo.
2) data $∀x,((P(x)and¬Q(x))⇒R(x))$ (assumendo però che R(x) sia sempre falsa) trovare che equivale a $∀x,(P(x)⇒(Q(x))$, il suggerimento è stato: "semplicemente perché se R(x) è sempre falsa allora (P(x)and¬Q(x))⇒R(x) è equivalente a ¬(P(x)and¬Q(x)) (per vederlo basta fare una tabella di verità)".
Domanda, anche qui molto breve: perché (ossia come si mostra) che "per vederlo basta fare una tabella di verità"? Dovrei dimostrare una uguaglianza delle due scritture.
Come vedi la domanda era molto breve ma ho contribuito a creare un casino megastellare.
La dimostrazione che fai è quella che mi ero proposto anche io e la condivido. Però per via del mio essere convoluto non credo di aver espresso bene la domanda. Ovviamente non ti disturbo oltre se non avessi voglia, però magari riducendo all'osso posso essere meglio compreso e per questo scrivo il post attuale. Vediamo...
1) Quello che vorrei fare è solo capire perché in questo specifico caso la:
[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)
che scritta in modo più preciso è:
[(∀a,b,(aRb⇒bRa))and(∀a,b,((aRbandbRa)⇒a=b))]⇒∀a,b,(aRb⇒a=b)
[ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z) (che essendo tautologia rende vero
, non voglio aggiungere altro perché la domanda è solo questa.Unica nota: come dicevo mi "incasina" il fatto che: ∀a,b,(aRb⇒bRa) non può essere scritta come X=>Y (perché è del tipo: ∀x,(P(x)⇒Q(x)) che non è P=>Q per tutti i discorsi fatti), allora perché la tautologia della tavola dovrebbe implicare che vale l'affermazione
2) data $∀x,((P(x)and¬Q(x))⇒R(x))$ (assumendo però che R(x) sia sempre falsa) trovare che equivale a $∀x,(P(x)⇒(Q(x))$, il suggerimento è stato: "semplicemente perché se R(x) è sempre falsa allora (P(x)and¬Q(x))⇒R(x) è equivalente a ¬(P(x)and¬Q(x)) (per vederlo basta fare una tabella di verità)".
Domanda, anche qui molto breve: perché (ossia come si mostra) che "per vederlo basta fare una tabella di verità"? Dovrei dimostrare una uguaglianza delle due scritture.
Come vedi la domanda era molto breve ma ho contribuito a creare un casino megastellare.
"pistacios":Per prima cosa, non è "scritta in modo più preciso", la seconda cosa che hai scritto non è una riformulazione della prima e nemmeno una formulazione più precisa, è semplicemente un'altra proposizione.
Quello che vorrei fare è solo capire perché in questo specifico caso la:
[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)che scritta in modo più preciso è:
[(∀a,b,(aRb⇒bRa))and(∀a,b,((aRbandbRa)⇒a=b))]⇒∀a,b,(aRb⇒a=b)
può essere resa come:
[ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z) (che essendo tautologia rende vero) stop e mi mordo la lingua
Te l'avevo già detto, ma lo ripeto in questo caso: tu vuoi dimostrare che
(1) [(∀a,b, (aRb⇒bRa)) and (∀a,b, ((aRbandbRa)⇒a=b))] ⇒ ∀a,b, (aRb⇒a=b)
Per fare questo, tu decidi di dimostrare invece la seguente proposizione:
(2) ∀a,b, [ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)
Perché puoi fare questo? Perché (2) implica (1) (prova a dimostrare che (2) implica (1)).
Perché fare questo? Perché dimostrare (2) è più facile che dimostrare (1), infatti, dopo aver fissato $a,b$ qualsiasi, basta una tavola logica, infatti dopo aver fissato $a,b$ qualsiasi, quello che devi fare è dimostrare una proposizione del tipo $(A and B) => C$. Osserva che, ripeto, dimostri (2) fissando $a,b$ qualsiasi e POI scrivendo una tavola logica. Non capisco perché questo ti crei confusione.
In tutto questo, il punto fondamentale è che (2) implica (1), e quindi invece di dimostrare (1) decidi di dimostrare (2).
Unica nota: come dicevo mi "incasina" il fatto che: ∀a,b,(aRb⇒bRa) non può essere scritta come X=>Y, per tutti i discorsi fatti, allora perché quelle due scritture sono equivalenti, vorrei solo dimostrarlo.Quelle due scritture (quelle che ho chiamato (1) e (2) sopra) NON sono equivalenti. Più precisamente, come ho detto sopra (2) implica (1), tuttavia (1) non implica (2). Prova a pensare a questo: secondo te perché (1) non implica (2)?
data $∀x,((P(x)and¬Q(x))⇒R(x))$ (assumendo però che R(x) sia sempre falsa) trovare che equivale a $∀x,(P(x)⇒(Q(x))$, il suggerimento è stato: "semplicemente perché se R(x) è sempre falsa allora (P(x)and¬Q(x))⇒R(x) è equivalente a ¬(P(x)and¬Q(x)) (per vederlo basta fare una tabella di verità)".Qui ti giuro che non ti seguo: dato un qualsiasi $x$, siccome $R(x)$ è sempre falsa, le due scritture
Domanda, anche qui molto breve: perché (ossia come si mostra) che "per vederlo basta fare una tabella di verità"? Dovrei dimostrare una uguaglianza delle due scritture.
$(P(x) and ¬Q(x))⇒R(x)$
$P(x)⇒Q(x)$
sono equivalenti. Dubbi su questo? Penso di no. E' la dipendenza da $x$ che ti confonde? Ma la dipendenza da $x$ è irrilevante perché hai già "risolto" il quantificatore perché hai già fissato un $x$ qualsiasi. Più in generale, se $W$ è una proposizione falsa, allora scrivere $P => W$ è equivalente a scrivere $not P$. Penso che siamo d'accordo su questo. Ma allora dove sta la tua confusione? Non l'ho ancora capito.
Se hai due proposizioni $A(x)$ e $B(x)$ che sono equivalenti per ogni $x$, allora è chiaro che $AA x A(x)$ e $AA x B(x)$ sono equivalenti. Questo ti dovrebbe essere chiaro. Ci sono dubbi su questo?
[editato errore 2=>1]
.
Mi sembra qui tanto tanto simile, perché (mettiamo sia riuscito a dimostrarmi quello che suggerisci) allora mi trovo ad avere (2) (se poi dimostro che (2) è vera e (2)=>(1) allora ho finito. Il punto è però che parto da:
(2) ∀a,b, [ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b) e di istinto non mi pare possa rendersi come [ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z) proprio per gli stessi motivi per cui non vale.
Per il secondo dubbio: molto semplice, come dicevo nel momento di mega-dubbi sono andato a leggermi credo un centinaio di thread qui sul forum e avevo selezionato una domanda che era interessante (perché ci rivedevo un mio dubbio):
(cito)
E la risposta era:
Perché puoi fare questo? Perché (2) implica (1) (prova a dimostrare che (2) implica (1)).ok il discorso mi è chiaro, devo però capire come dimostrare quella cosetta (mi viene meno naturale dell'altra dim. che ho fatto) e capire perché 1 non implica 2. Ora ci rifletto.
...
Quelle due scritture (quelle che ho chiamato (1) e (2) sopra) NON sono equivalenti. Più precisamente, come ho detto sopra (2) implica (1), tuttavia (1) non implica (2). Prova a pensare a questo: secondo te perché (1) non implica (2)?
Osserva che, ripeto, dimostri (2) fissando a,b qualsiasi e POI scrivendo una tavola logica. Non capisco perché questo ti crei confusione.mi crea confusione perché mi ricorda la questione $forallx,(P(x)=>Q(x))$ che sappiamo non poter rendere come proposizione P e Q e costruire la tavola $P=>Q$
Mi sembra qui tanto tanto simile, perché (mettiamo sia riuscito a dimostrarmi quello che suggerisci) allora mi trovo ad avere (2) (se poi dimostro che (2) è vera e (2)=>(1) allora ho finito. Il punto è però che parto da:
(2) ∀a,b, [ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b) e di istinto non mi pare possa rendersi come [ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z) proprio per gli stessi motivi per cui non vale
Per il secondo dubbio: molto semplice, come dicevo nel momento di mega-dubbi sono andato a leggermi credo un centinaio di thread qui sul forum e avevo selezionato una domanda che era interessante (perché ci rivedevo un mio dubbio):
(cito)
come dovrei gestire la riformulazione del teorema: ∀x,((P(x)and¬Q(x))⇒R(x)), con R sempre falsa? Non riesco a vedere perche' sto dimostrando la solita ∀x,(P(x)⇒(Q(x)).
E la risposta era:
Beh semplicemente perché se $R(x)$ è sempre falsa allora $(P(x) and ¬Q(x))=>R(x)$ è equivalente a $¬ (P(x) and ¬Q(x))$ (per vederlo basta fare una tabella di verità).e io non ho capito come giungere a quella tavola di verità avendo i quantificatori tra i piedi, che come avrai capito fatico a gestire ancora.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8608869
Continui a ripetere le stesse cose, e anch'io, quindi mi sa che non ci capiamo purtroppo.
Per il resto, mi arrendo. Buona fortuna
"pistacios":Dopo aver fissato un $x$ qualsiasi, la puoi rendere sì come implicazione normale. Non capisco quale sia il problema.
mi crea confusione perché mi ricorda la questione $forallx,(P(x)=>Q(x))$ che sappiamo non poter rendere come proposizione P e Q e costruire la tavola $P=>Q$
Per il resto, mi arrendo. Buona fortuna
"Martino":Dopo aver fissato un $x$ qualsiasi, la puoi rendere sì come implicazione normale.[/quote]Ma forse ho travisato una tua risposta allora:
[quote="pistacios"]mi crea confusione perché mi ricorda la questione $forallx,(P(x)=>Q(x))$ che sappiamo non poter rendere come proposizione P e Q e costruire la tavola $P=>Q$
"Martino":
[quote="pistacios"]$forallx, (P(x)=>Q(x))$ qui posso scrivere $P=>Q$ poiché quantificati.
No, non puoi. Osserva come prima cosa che in questa frase che hai scritto non hai specificato cosa intendi per $P$ e per $Q$. Cercando di interpretare il tuo pensiero, tu chiami $P$ la proposizione "$forall x, P(x)$". Giusto? E analogamente chiami $Q$ la proposizione "$forall x, Q(x)$". Dando questo significato ai simboli, ti sorprenderà sapere che le due proposizioni seguenti
(1) $(forall x, P(x)) => (forall x, Q(x))$
(2) $forall x, (P(x) => Q(x))$
NON sono equivalenti. E nota che la (1) si può scrivere appunto come $P => Q$ (dando il significato di cui sopra ai simboli).[/quote] avevo interpretato il "no non puoi" come no.
Mi pare fin qui di aver capito che $∀x,(P(x)⇒Q(x))$ non equivale, dopo aver quantificato x, a $P⇒Q$ ma che solo $(forall x, P(x)) => (forall x, Q(x))$ è equivalente a $P => Q$.
Detto ciò io so che $∀x(P(x)⇒Q(x))$ implica $(∀xP(x))⇒(∀xQ(x))$ (dimostrato), quindi posso dire che $∀x(P(x)⇒Q(x))$ => $P=>Q$, ma non vale il "viceversa" diciamo non vale <=.
Se sbaglio qualcosa qui non ho capito dove
Io quindi mi ritrovo questo: (2) ∀a,b, [ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b) [**] che mi suggerisci avere tavola logica [ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z) che invece a me sembra essere equivalente a quella di:
[ (∀a,b, aRb => ∀a,b, bRa) and ( ∀a,b, (aRb and bRa) => ∀a,b, a=b) ] => (∀a,b, aRb => ∀a,b, a=b) che non è [**] (per quanto scritto proprio qui sopra).
Se tutto giusto quanto fin qui detto io credo di arenarmi in una cavolata che non vedo, ossia mostrare che ∀a,b, [ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b) implica avere la tavola [ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z).
"pistacios":Non è questo che ho detto. Ho detto che data la proposizione
Mi pare fin qui di aver capito che $∀x,(P(x)⇒Q(x))$ non equivale, dopo aver quantificato x, a $P⇒Q$
(*) $∀x,(P(x)⇒Q(x))$
tu non la puoi rendere come implicazione unica. Questo significa che non esistono (in generale) due proposizioni $A$ e $B$ tali che (*) è equivalente a $A => B$.
Ma è ovvio che, per dimostrare (*), fissi un $x$ qualsiasi e dimostri $P(x) => Q(x)$, e quest'ultima è un'implicazione normale.
A me sembra che tu non abbia ben chiaro cosa significhi "per ogni $x$". Facciamo un esempio semplice così ci capiamo. Quando si scrive $AA x$ ("per ogni $x$") questo significa che la proposizione che segue vale per ogni scelta di $x$ in un dato insieme (che a volte viene sottinteso).
Ora supponiamo che $x$ vari nell'insieme ${x_1,x_2}$.
Allora dire $AA x (P(x) => Q(x))$ equivale a dire la seguente cosa:
(**) $(P(x_1) => Q(x_1)) and (P(x_2) => Q(x_2))$
Lo vedi che (**) non è un'implicazione? Cos'è invece? E' un AND di due implicazioni. Ok? Un AND di due implicazioni non si può rendere come una unica implicazione $A => B$. Cioè non esistono proposizioni $A$ e $B$ tali che (**) è equivalente a $A => B$. E' questo che voglio dire quando dico che $AA x (P(x) => Q(x))$ non si può rendere come implicazione $A => B$ (scrivo $A => B$ invece di $P => Q$ perché mi sembra che tu colleghi in qualche modo $P(x)$ a $P$, ma sono cose diverse che, finché non decidi cosa significano, non significano niente).
Toriamo un po' sul filosofico. Tu (mi sembra) sei convinto che le scritture $P(x)$ e $P$ siano in qualche modo collegate, ma la cosa interessante è che non le vedi collegate da decisioni tue, ma collegate da qualche entità notazionale esterna che ti obbliga a dare un certo significato a $P$ che dipende da $P(x)$. La realtà, invece, è che decidi tu cosa significa $P$. Lo decidi tu. Se decidi che $P$ significa $P(x)$, va bene, significa $P(x)$. Se decidi che $P$ significa $AA x P(x)$ va bene, significa quello, ma capisci che sono decisioni tue? E' difficile dialogare se quando vedi $P$ gli associ un significato o un altro a seconda di cosa ti sembra più sensato in quel momento, in logica si dà un significato ai simboli e si segue quel significato fino alla fine.
Detto ciò io so che $∀x(P(x)⇒Q(x))$ implica $(∀xP(x))⇒(∀xQ(x))$ (dimostrato), quindi posso dire che $∀x(P(x)⇒Q(x))$ => $P=>Q$Lo vedi? Anche qui scrivi $P$ e $Q$, ma cosa intendi con $P$ e $Q$? Se intendi che $P$ è uguale a $AA x P(x)$ e $Q$ è uguale a $AA x Q(x)$ allora sì, quello che hai scritto è vero. Ma capisci che non posso continuare a tirare a indovinare? Devi dirmi tu cosa intendi con i simboli che scrivi.
Io quindi mi ritrovo questo: (2) ∀a,b, [ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b) [**] che mi suggerisci avere tavola logica [ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z) che invece a me sembra essere equivalente a quella di:E siamo tornati al punto in cui sposti i quantificatori, li metti a caso di qua e di là, non lo puoi fare. E non imparerai ad usarli in un giorno. Devi seguire un corso di logica, parlare con qualcuno, è impossibile spiegarsi solo scrivendo.
[ (∀a,b, aRb => ∀a,b, bRa) and ( ∀a,b, (aRb and bRa) => ∀a,b, a=b) ] => (∀a,b, aRb => ∀a,b, a=b) che non è [**] (per quanto scritto proprio qui sopra).
La scrittura
(1) ∀a,b, [ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)
si dimostra fissando $a,b$ qualsiasi e dimostrando
(2) [ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)
In particolare, la (1) NON è un'implicazione logica, è un AND di un sacco di implicazioni logiche (vedi l'esempio sopra con $x_1,x_2$). Ci siamo? Invece la (2) è un'implicazione logica. Ok?
In ogni caso, l'altra cosa che scrivi:
(3) [ (∀a,b, aRb => ∀a,b, bRa) and ( ∀a,b, (aRb and bRa) => ∀a,b, a=b) ] => (∀a,b, aRb => ∀a,b, a=b)
non c'entra niente con (1), è proprio un altro universo. Hai messo i quantificatori dappertutto. A me sembra che, nella tua testa, aggiungere un quantificatore (o più di uno) non sia una cosa così grave, che non cambi molto la situazione. Invece cambia proprio tutto.
Per esempio dire "∀a,b, aRb" significa dire che due elementi qualsiasi sono in relazione. Quindi dire "∀a,b, aRb => ∀a,b, bRa" significa dire che se tutti gli elementi sono due a due in relazione (tutti, a due a due, tutti in relazione! Presi due elementi qualsiasi, sono in relazione) allora lo sono anche nell'altro verso (tutti! A due a due). Non c'entra niente col dire "∀a,b, (aRb => bRa)", che invece vuol dire che se due elementi qualsiasi sono in relazione in un verso allora lo sono anche nell'altro. Capisci la differenza? Sono due universi distinti, non c'entrano niente uno con l'altro.
Pensa, rileggi tutto dall'inizio, fai un corso di logica.
Sto rileggendo tutto daccapo e ho visto la tua ultima risposta che nel mentre è apparsa e ti ringrazio. Prima voglio rileggere bene tutto tutto e poi rispondere. Già rileggendo credo di aver capito il punto fondamentale che mi ha confuso e prima di rispondere vorrei avere bene organiche le idee in mente. Penso però di essere giunto a un dunque, finalmente.
Mi piacerebbe solo poi chiederti conferma (se avrai voglia di leggermi ancora), mi basterebbe solo un "hai capito" o "no", perché vorrei essere certo delle conclusioni senza disturbarti con altre super spiegazioni.
Comunque ora ci rifletto un altro bel po', poi ti dico
Mi piacerebbe solo poi chiederti conferma (se avrai voglia di leggermi ancora), mi basterebbe solo un "hai capito" o "no", perché vorrei essere certo delle conclusioni senza disturbarti con altre super spiegazioni.
Comunque ora ci rifletto un altro bel po', poi ti dico
Sì, ti avviso io quando raggiungo il limite
Bene, devo dire che da quando ho letto
Ci ho messo un po' perché ho riguardato tutte le domande in questa nuova visione e comprensione acquisita. Penso di esserci perché mi sembrano tornare bene e quando non c'è qualcosa che stona vuol dire che l'impalcatura c'è.
Confermo quanto dicevo prima e che leggo nel tuo ultimo post, ossia che il mio errore è stato nel mal interpretarti e da lì ho costruito una commedia delle incomprensioni. Perché tutto si giocava su quello, e la visione con l'and rende chiarissimo il concetto.
Avevo capito malissimo la frase:
Quindi non ero capace ad affibbiare un valore a P, in particolare (ripeto) ero convinto che solo ∀x,P(x) potessi "farlo diventare" P e che come tale avesse un valore "vero o falso".
Ora capisco che, una volta che quantifico, nel senso che scelgo una x del "per ogni" a quel punto sia 1) che 2) diventano formalmente P=>Q, ma con significati diversi appunto delle proposizioni P e Q da me assegnati e quindi conseguenti valori diversi.
A questo punto diventa chiaro che fissando a,b qualsiasi e avendo la
[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)
X Y e Z diventano proposizioni fissate con quegli a e b da me scelti.
Insomma, si ha: [ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z).
In realtà qui vorrei potermi spiegare meglio, non volevo aggiungerli a caso e mi era chiaro che
[ (∀a,b, aRb => ∀a,b, bRa) and ( ∀a,b, (aRb and bRa) => ∀a,b, a=b) ] => (∀a,b, aRb => ∀a,b, a=b)
è un "mondo diverso" da
∀a,b, {[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)}
quello che volevo dire era piuttosto, questo:
Voglio partire proprio da una proposizione diversa, la seguente:
[ (∀a,b, aRb => ∀a,b, bRa) and ( ∀a,b, (aRb and bRa) => ∀a,b, a=b) ] => (∀a,b, aRb => ∀a,b, a=b)
a questo punto per mia scelta posso fissare ∀a,b, aRb = A, ∀a,b, bRa = B, idem con C.
con queste proposizioni posso creare la relativa: [ (A => B) and ( (A and B) => C) ] => (A => C)
e la tabella variando i valori di ABC.
Osservavo però che curiosamente questa era uguale alla [ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z) e componendo una tavola di verità si ha la medesima tautologia. Perché alla fine mi sembra che i valori veri e falsi che possono avere siano in entrambi i casi: tutti. Quindi ho una tavola logica identica per le due situazioni.
A questo punto ero incuriosito dal fatto che essendo A, B, C proposizioni diverse da X, Y, Z io avessi una "dimostrazione logica" identica. Cioè la stessa tavola logica mi descrive due "teoremi diversi" e non riesco bene a interpretare questo fatto. Era banalmente questa la considerazione che volevo fare lì.
Se io quindi voglio dimostrare ∀a,b, {[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)},
fisso a,b; da qui avendosi [ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b) posso dimostrare la precedente con la tabella di [ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z) (cioè facendo variare man mano a,b scelti di volta in volta), ma questa è la tavola identica a una situazione completamente diversa, non dimostra un granché vista così.
PS:
Ormai so che mi odierai, non posterò mai più in algebra e logica per la vergogna, dopo questa immensa rottura che sono stato
Però mi hai fatto appassionare a una cosa che mi rendo conto mi piaccia proprio, sebbene lontano dal mio campo e forse anche dalle mie capacità cerebrali (come avrai/avrete intuito).
Dopo aver fissato un x qualsiasi, la puoi rendere sì come implicazione normale. Non capisco quale sia il problema.mi hai acceso un campanello d'allarme.
Ci ho messo un po' perché ho riguardato tutte le domande in questa nuova visione e comprensione acquisita. Penso di esserci perché mi sembrano tornare bene e quando non c'è qualcosa che stona vuol dire che l'impalcatura c'è.
Confermo quanto dicevo prima e che leggo nel tuo ultimo post, ossia che il mio errore è stato nel mal interpretarti e da lì ho costruito una commedia delle incomprensioni. Perché tutto si giocava su quello, e la visione con l'and rende chiarissimo il concetto.
Avevo capito malissimo la frase:
(1) (∀x,P(x))⇒(∀x,Q(x))da cui avevo capito che quando avessi avuto una scrittura del tipo potevo tradurla come P=>Q. Cioè che fossero proprio equivalenti e avessero una tabella di verità che si costruiva con questa semplice "riscrittura". Per quello non specificavo mai cosa fossero P e Q quando mi trovavo davanti a casi come (1).
(2) ∀x,(P(x)⇒Q(x)).
E nota che la (1) si può scrivere appunto come P⇒Q,
Quindi non ero capace ad affibbiare un valore a P, in particolare (ripeto) ero convinto che solo ∀x,P(x) potessi "farlo diventare" P e che come tale avesse un valore "vero o falso".
Ora capisco che, una volta che quantifico, nel senso che scelgo una x del "per ogni" a quel punto sia 1) che 2) diventano formalmente P=>Q, ma con significati diversi appunto delle proposizioni P e Q da me assegnati e quindi conseguenti valori diversi.
A questo punto diventa chiaro che fissando a,b qualsiasi e avendo la
[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)
X Y e Z diventano proposizioni fissate con quegli a e b da me scelti.
Insomma, si ha: [ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z).
A me sembra che, nella tua testa, aggiungere un quantificatore (o più di uno) non sia una cosa così grave, che non cambi molto la situazione.
In realtà qui vorrei potermi spiegare meglio, non volevo aggiungerli a caso e mi era chiaro che
[ (∀a,b, aRb => ∀a,b, bRa) and ( ∀a,b, (aRb and bRa) => ∀a,b, a=b) ] => (∀a,b, aRb => ∀a,b, a=b)
è un "mondo diverso" da
∀a,b, {[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)}
quello che volevo dire era piuttosto, questo:
Voglio partire proprio da una proposizione diversa, la seguente:
[ (∀a,b, aRb => ∀a,b, bRa) and ( ∀a,b, (aRb and bRa) => ∀a,b, a=b) ] => (∀a,b, aRb => ∀a,b, a=b)
a questo punto per mia scelta posso fissare ∀a,b, aRb = A, ∀a,b, bRa = B, idem con C.
con queste proposizioni posso creare la relativa: [ (A => B) and ( (A and B) => C) ] => (A => C)
e la tabella variando i valori di ABC.
Osservavo però che curiosamente questa era uguale alla [ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z) e componendo una tavola di verità si ha la medesima tautologia. Perché alla fine mi sembra che i valori veri e falsi che possono avere siano in entrambi i casi: tutti. Quindi ho una tavola logica identica per le due situazioni.
A questo punto ero incuriosito dal fatto che essendo A, B, C proposizioni diverse da X, Y, Z io avessi una "dimostrazione logica" identica. Cioè la stessa tavola logica mi descrive due "teoremi diversi" e non riesco bene a interpretare questo fatto. Era banalmente questa la considerazione che volevo fare lì.
Se io quindi voglio dimostrare ∀a,b, {[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)},
fisso a,b; da qui avendosi [ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b) posso dimostrare la precedente con la tabella di [ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z) (cioè facendo variare man mano a,b scelti di volta in volta), ma questa è la tavola identica a una situazione completamente diversa, non dimostra un granché vista così.
PS:
Sì, ti avviso io quando raggiungo il limite
Ormai so che mi odierai, non posterò mai più in algebra e logica per la vergogna, dopo questa immensa rottura che sono stato
Però mi hai fatto appassionare a una cosa che mi rendo conto mi piaccia proprio, sebbene lontano dal mio campo e forse anche dalle mie capacità cerebrali (come avrai/avrete intuito).
"pistacios":Sì, e quindi? Dopo aver dato dei nomi alle varie componenti, due proposizioni diverse ti portano alla stessa tavola logica. E quindi? Non vedo contraddizioni in questo.
Quindi ho una tavola logica identica per le due situazioni.
No, no, sia chiaro, non volevo dire fosse una contraddizione XD, volevo solo capire in primis se avevo capito... dato che finora ho detto tante di quelle castronerie. E almeno so che finalmente ho detto giusto! 
Poi mi aveva solo in qualche modo "stupito", nel senso che potendo dimostrare
∀a,b, {[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)} (*)
con quella tavola logica (dopo aver fissato a,b e facendoli variare per comporre poi la tavola). E notando che quella tavola corrispondeva anche a un'altra proposizione distinta (di un altro universo come dicevi tu), allora mi dicevo, ok la tavola dimostra (*) però non in modo unico, perché può dimostrare anche l'altra proposizione che non centra un tubo: cioè ho due tavole che dimostravano due proposizioni diverse e in qualche modo mi lasciava semplicemente "stupito" perché mi attendevo una sorta di legame 1:1 (la tavola dimostra quella proposizione e quella proposizione è correlata solo e soltanto a quella tavola). Però, una volta capito che è così ne prendo atto, solo non volevo che fosse segnale di qualche mio errore.
Per spiegare meglio il ragionamento che mi portava fuori strada:
∀a,b, {[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)}
la dimostro con ("<=>"[nota]metto tra virgolette perché non è un se e solo se, ma era per segnalare che le vedevo in qualche modo legate[/nota])
[ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z) (**)
che dimostra anche ("<=>")
[ (∀a,b, aRb => ∀a,b, bRa) and ( ∀a,b, (aRb and bRa) => ∀a,b, a=b) ] => (∀a,b, aRb => ∀a,b, a=b)
quindi sembrava che le due proposizioni fossero la stessa, applicavo una sorta di "transitività" passando per la tavola logica (**)
cosa che come ribadito è falso dato che sono proposizioni diverse, quindi la "contraddizione" se vogliamo chiamarla così era questa nella mia mente.
Poi mi aveva solo in qualche modo "stupito", nel senso che potendo dimostrare
∀a,b, {[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)} (*)
con quella tavola logica (dopo aver fissato a,b e facendoli variare per comporre poi la tavola). E notando che quella tavola corrispondeva anche a un'altra proposizione distinta (di un altro universo come dicevi tu), allora mi dicevo, ok la tavola dimostra (*) però non in modo unico, perché può dimostrare anche l'altra proposizione che non centra un tubo: cioè ho due tavole che dimostravano due proposizioni diverse e in qualche modo mi lasciava semplicemente "stupito" perché mi attendevo una sorta di legame 1:1 (la tavola dimostra quella proposizione e quella proposizione è correlata solo e soltanto a quella tavola). Però, una volta capito che è così ne prendo atto, solo non volevo che fosse segnale di qualche mio errore.
Per spiegare meglio il ragionamento che mi portava fuori strada:
∀a,b, {[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)}
la dimostro con ("<=>"[nota]metto tra virgolette perché non è un se e solo se, ma era per segnalare che le vedevo in qualche modo legate[/nota])
[ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z) (**)
che dimostra anche ("<=>")
[ (∀a,b, aRb => ∀a,b, bRa) and ( ∀a,b, (aRb and bRa) => ∀a,b, a=b) ] => (∀a,b, aRb => ∀a,b, a=b)
quindi sembrava che le due proposizioni fossero la stessa, applicavo una sorta di "transitività" passando per la tavola logica (**)
cosa che come ribadito è falso dato che sono proposizioni diverse, quindi la "contraddizione" se vogliamo chiamarla così era questa nella mia mente.
Ok perfetto, quindi adesso è tutto chiaro mi sembra.
Sisi, col precedente:
Però direi che ogni dubbio mi sembra ora chiarito e ti ringrazio molto per avermi dato questa GROSSA mano, non sapevo proprio a chi chiedere altrimenti. Mi hai introdotto a un argomento che ho deciso di mettere nel mio piano carriera (e sicuramente se non avessi avuto questa discussione non mi sarebbe passato manco per l'anticamera del cervello, a fisica ne vediamo meno di zero), mi hai risolto tutti i dubbi sui vari ragionamenti dei primi passi che ho mosso in questo campo (logica) e non posso che essertene profondamente grato. Grazie mille Martino per il tuo aiuto e scusami per il disturbo .
Buon WE! : DD
"pistacios":avevo solo riportato il ragionamento che mi aveva confuso.
Per spiegare meglio il ragionamento che mi portava fuori strada:
∀a,b, {[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)}
la dimostro con ("<=>"[nota]metto tra virgolette perché non è un se e solo se, ma era per segnalare che le vedevo in qualche modo legate[/nota])
[ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z) (**)
che dimostra anche ("<=>")
[ (∀a,b, aRb => ∀a,b, bRa) and ( ∀a,b, (aRb and bRa) => ∀a,b, a=b) ] => (∀a,b, aRb => ∀a,b, a=b)
quindi sembrava che le due proposizioni fossero la stessa, applicavo una sorta di "transitività" passando per la tavola logica (**)
cosa che come ribadito è falso dato che sono proposizioni diverse, quindi la "contraddizione" se vogliamo chiamarla così era questa nella mia mente.
Però direi che ogni dubbio mi sembra ora chiarito e ti ringrazio molto per avermi dato questa GROSSA mano, non sapevo proprio a chi chiedere altrimenti. Mi hai introdotto a un argomento che ho deciso di mettere nel mio piano carriera (e sicuramente se non avessi avuto questa discussione non mi sarebbe passato manco per l'anticamera del cervello, a fisica ne vediamo meno di zero), mi hai risolto tutti i dubbi sui vari ragionamenti dei primi passi che ho mosso in questo campo (logica) e non posso che essertene profondamente grato. Grazie mille Martino per il tuo aiuto
e scusami per il disturbo .Buon WE! : DD
Grazie, buon fine settimana! Mi fa piacere di averti dato questo "input". Alla prossima.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo