Dubbio semplice su funzione composta
Ciao, mi stavo trovando a ragionare su una cosa sulla quale non avevo mai posto troppissima attenzione non avendo mai fatto algebra, ma che trovo utile capire in modo più razionale.
Io so che la composizione di funzioni è:
$f∘g={(a,c) in AxxC| ∃b in B, g(a)=b ∧ f(b)=c}={(a,c) in AxxC|f(g(a))=c}$[nota](non sto a specificare gli insiemi per non allungare il messaggio ma è chiaro)[/nota]
Quindi per definizione si ha che $(f∘g)(a)=f(g(a))$, cioè che per avere la "funzione composta" prima opero con g sul punto a e poi sull'immagine tramite f per ogni punto [per definizione di composizione].
Questo per definizione, tuttavia so anche che può esistere una vera e propri "nuova" funzione h t.c $foralla, h(a)=(f∘g)(a)$ in questo modo h non è più la funzione data dall'azione di f sull'immagine di g, ma è una nuova funzione che opera direttamente su a.
Questo è sempre possibile farlo? (cioè che data una composizione di funzioni posso rideterminare una funziona h? e come lo dimostro?) Mi sembrano due concetti distinti dire opero prima con una e poi con l'altra su vari punti a e dire esiste una h che opera sulle a ed è uguale a f composto g, ma fose sono solo molto ignorante su questa cosa di base e scrivo perché vorrei capire meglio. Grazie.
Io so che la composizione di funzioni è:
$f∘g={(a,c) in AxxC| ∃b in B, g(a)=b ∧ f(b)=c}={(a,c) in AxxC|f(g(a))=c}$[nota](non sto a specificare gli insiemi per non allungare il messaggio ma è chiaro)[/nota]
Quindi per definizione si ha che $(f∘g)(a)=f(g(a))$, cioè che per avere la "funzione composta" prima opero con g sul punto a e poi sull'immagine tramite f per ogni punto [per definizione di composizione].
Questo per definizione, tuttavia so anche che può esistere una vera e propri "nuova" funzione h t.c $foralla, h(a)=(f∘g)(a)$ in questo modo h non è più la funzione data dall'azione di f sull'immagine di g, ma è una nuova funzione che opera direttamente su a.
Questo è sempre possibile farlo? (cioè che data una composizione di funzioni posso rideterminare una funziona h? e come lo dimostro?) Mi sembrano due concetti distinti dire opero prima con una e poi con l'altra su vari punti a e dire esiste una h che opera sulle a ed è uguale a f composto g, ma fose sono solo molto ignorante su questa cosa di base e scrivo perché vorrei capire meglio. Grazie.
Risposte
Questo è sempre possibile farlo? (cioè che data una composizione di funzioni posso rideterminare una funziona h? e come lo dimostro?)La definizione, essendo una definizione, ha definito $h$. Che problema hai? Cosa vuoi dimostrare?
Il fatto è che mi sembra che definisca in modo operativo quanto segue: prendi un qualunque punto a, fai agire g su a: g(a); a questo punto dice che se esiste b tale per cui g(a)=b e tale che f(b)=c allora hai definito f(g(a)), però questo richiede appunto che prima agisca la funzione g e poi la f, ma non mi pare che definisca una nuova entità h tale che h(a)=c.
Mi sembrano non so perché due concetti distinti, uno dice operi con una e poi con l'altra, mentre io cerco una h che opera unicamente su a.
Mi sembrano non so perché due concetti distinti, uno dice operi con una e poi con l'altra, mentre io cerco una h che opera unicamente su a.
$h$ "opera su $a$" (che non significa niente se codifichi le funzioni in set theory) precisamente come hai definito: dato $a$, prendi $f(g(a))$. Viceversa,
Definizione. Una relazione \(R\subseteq A\times B\) si dice "funzionale" se per ogni \(a\in A\) l'intersezione \((\{a\}\times B)\cap R\) ha esattamente un elemento.
Definizione. Data una relazione funzionale \(g \subseteq A\times B\), per ogni \(a\in A\) scriviamo \((\{a\}\times B)\cap g =: \{g(a)\}\).
Ora, la relazione composta (un concetto che ha senso definire per ogni coppia di relazioni $f : B\to C,g : A\to B$) tra due relazioni funzionali, è a sua volta una relazione funzionale: questo perché (nelle notazioni di prima) \((\{a\}\times C)\cap (f\circ g) = (\{g(a)\}\times C)\cap f = \{f(g(a))\}\).
Definizione. Una relazione \(R\subseteq A\times B\) si dice "funzionale" se per ogni \(a\in A\) l'intersezione \((\{a\}\times B)\cap R\) ha esattamente un elemento.
Definizione. Data una relazione funzionale \(g \subseteq A\times B\), per ogni \(a\in A\) scriviamo \((\{a\}\times B)\cap g =: \{g(a)\}\).
Ora, la relazione composta (un concetto che ha senso definire per ogni coppia di relazioni $f : B\to C,g : A\to B$) tra due relazioni funzionali, è a sua volta una relazione funzionale: questo perché (nelle notazioni di prima) \((\{a\}\times C)\cap (f\circ g) = (\{g(a)\}\times C)\cap f = \{f(g(a))\}\).
Per chiarire meglio il dubbio era nato da un discorso fisico:
io ho due operatori: $A':=∂/(∂x)$ e $B':=(x/r)$
In algebra lineare so che dati due operatori A e B che sono matrici che applicano a moltiplicare e v è il vettore colonna ho che:
Fare $ABvecv$ equivale a svolgere (per associatività):
1) $(AB)vecv$
2) $A(B(vecv))$
il primo è l'"h" che chiedevo io, la seconda è la definizione che davo nel primo messaggio di composizione, di fatto: svolgi Bv e poi applichi in seconda battuta A su quanto ne esce.
Qui esiste un H che è $H:=AB$ che fa le veci di $H(vecv)=A(B(vecv))$.
Se ora riprendiamo A' e B' e vogliamo svolgere $A'B'psi$
1) $(A'B')vecv$ è $[∂/(∂x)(x/r)]psi$
2) $A'(B'(vecv))$ è $∂/(∂x)[(x/r)(psi)]$
Solo che qui la 1) è sbagliata, la 2) è la giusta. Sembra quindi che qui non esista un operatore H tale che $H=A'B'$ infatti $Hpsi$ è un risultato errato, tuttavia esiste la "composizione" infatti $∂/(∂x)[(x/r)(psi)]$ è corretta ed esprime: $A'(B'(psi))$ che volevo.
Qui quindi non esiste la "funzione" H composta, sono costretto ad operare prima con uno e poi con l'altro.
PS: ho visto che nel mentre hai scritto anche tu, intanto me lo leggo. però credo questo mio ultimo messaggio chiarisca meglio il mio dubbio con un esempio. Se hai tempo e voglia di leggerlo
io ho due operatori: $A':=∂/(∂x)$ e $B':=(x/r)$
In algebra lineare so che dati due operatori A e B che sono matrici che applicano a moltiplicare e v è il vettore colonna ho che:
Fare $ABvecv$ equivale a svolgere (per associatività):
1) $(AB)vecv$
2) $A(B(vecv))$
il primo è l'"h" che chiedevo io, la seconda è la definizione che davo nel primo messaggio di composizione, di fatto: svolgi Bv e poi applichi in seconda battuta A su quanto ne esce.
Qui esiste un H che è $H:=AB$ che fa le veci di $H(vecv)=A(B(vecv))$.
Se ora riprendiamo A' e B' e vogliamo svolgere $A'B'psi$
1) $(A'B')vecv$ è $[∂/(∂x)(x/r)]psi$
2) $A'(B'(vecv))$ è $∂/(∂x)[(x/r)(psi)]$
Solo che qui la 1) è sbagliata, la 2) è la giusta. Sembra quindi che qui non esista un operatore H tale che $H=A'B'$ infatti $Hpsi$ è un risultato errato, tuttavia esiste la "composizione" infatti $∂/(∂x)[(x/r)(psi)]$ è corretta ed esprime: $A'(B'(psi))$ che volevo.
Qui quindi non esiste la "funzione" H composta, sono costretto ad operare prima con uno e poi con l'altro.
PS: ho visto che nel mentre hai scritto anche tu, intanto me lo leggo. però credo questo mio ultimo messaggio chiarisca meglio il mio dubbio con un esempio. Se hai tempo e voglia di leggerlo
La derivata è un operatore lineare che agisce su uno spazio di funzioni, $B$ invece cos'è? Come è definito? La tua domanda ovviamente non ha niente a che fare con l'algebra lineare, ma nello specifico contesto che ti interessa stai mescolando funzioni "di ordine zero", cioè funzioni definite su dei raw types \(X,Y,\dots\), con funzioni "di ordine superiore", cioè definite su/verso domini che sono spazi/insiemi di funzioni (un esempio è la derivata).
Ho letto la tua risposta sopra la mia e mi pare di averla compresa.
però data la mia profonda ignoranza (nel senso che non ho mai studiato purtroppo essendo un ingengere ste cose) non riesco a vedere il problema nel discorso che facevo nell'ultimo messaggio.
So che sarà sicuramente palloso spiegare a un ingegnere[nota]tonto per definizione[/nota] fisico, però vorrei capire più a fondo e potendone finalmente parlare con un matematico (o più d'uno, grazie al forum) ci provo.
B è una applicazione lineare, quindi una funzione tra spazi vettoriali su campo che soddisfi la condizione di linearità.
A' come dici tu è una derivata, tuttavia essendo A' essa stessa una "particolare funzione" con dominio e codominio che non sono gli spazi vettoriali di A e B pensavo che potessi comunque parlare di composizione nel senso dato nel tuo penultimo messaggio. Quindi il mio intento era trovare H come composizione di A'B', in poche parole; proprio come potevo trovare h per ogni composizione di f e g.
In algebra lineare come cercavo di dire la composizione è garantita dal fatto che il prodotto matriciale è associativo, quindi appunto ABv=(AB)v=A(B(v)) dove le ultime due sono le scritture da te spiegate per le relazioni funzionali. Perché però per A' e B' che di fatto sono anche loro relazioni funzionali la composizione esiste solo come applicazione successiva di B' e poi A' e non come nuovo operatore H=(A'B'). Di fondo era questa la ignornate domanda.
Ti ringrazio
.
PS:
$({a}×C)∩(f∘g)=({g(a)}×C)∩f={f(g(a))}$
però data la mia profonda ignoranza (nel senso che non ho mai studiato purtroppo essendo un ingengere ste cose) non riesco a vedere il problema nel discorso che facevo nell'ultimo messaggio.
So che sarà sicuramente palloso spiegare a un ingegnere[nota]tonto per definizione[/nota] fisico
, però vorrei capire più a fondo e potendone finalmente parlare con un matematico (o più d'uno, grazie al forum) ci provo.B è una applicazione lineare, quindi una funzione tra spazi vettoriali su campo che soddisfi la condizione di linearità.
A' come dici tu è una derivata, tuttavia essendo A' essa stessa una "particolare funzione" con dominio e codominio che non sono gli spazi vettoriali di A e B pensavo che potessi comunque parlare di composizione nel senso dato nel tuo penultimo messaggio. Quindi il mio intento era trovare H come composizione di A'B', in poche parole; proprio come potevo trovare h per ogni composizione di f e g.
In algebra lineare come cercavo di dire la composizione è garantita dal fatto che il prodotto matriciale è associativo, quindi appunto ABv=(AB)v=A(B(v)) dove le ultime due sono le scritture da te spiegate per le relazioni funzionali. Perché però per A' e B' che di fatto sono anche loro relazioni funzionali la composizione esiste solo come applicazione successiva di B' e poi A' e non come nuovo operatore H=(A'B'). Di fondo era questa la ignornate domanda.
Ti ringrazio
.PS:
$({a}×C)∩(f∘g)=({g(a)}×B)∩f={f(g(a))}$solo una domanda: non dovrebbe essere g(a)xC?
$({a}×C)∩(f∘g)=({g(a)}×C)∩f={f(g(a))}$
Ho parlato a persone peggiori. Almeno, quando ti spiego le cose, tu sembri ascoltare.
Non mi hai ancora detto che dominio ha $B$ e come è definita. Cos'è, la moltiplicazione per \(1/r\)? Ed $r$ è una costante oppure è \(x\mapsto \sqrt{\|x\|}\)? Nel secondo caso, sto**** che è lineare.
Non mi hai ancora detto che dominio ha $B$ e come è definita. Cos'è, la moltiplicazione per \(1/r\)? Ed $r$ è una costante oppure è \(x\mapsto \sqrt{\|x\|}\)? Nel secondo caso, sto**** che è lineare.
non dovrebbe essere g(a)xC?Sì.
[ot]
[/ot]
Quindi non mi sembrano uguali le duple
, però avrei bisogno di quell'uguale perché è proprio ciò che mi mostra quello che desideravo, ossia che $(f∘g)=f(g(a))$. Quindi mi chiedo come effettivamente fa valere "=".
$B'=X/r$ intende con r in effetti proprio $r:=sqrt(x^2+y^2+z^2)$, mentre X è l'operatore posizione cioè quello che dà come autovalore x: $Xpsi(x)=xpsi(x)$. Il suo dominio è quindi lo spazio di Hilbert delle $psi(x)$
Anche per l'operatore A' ho per dominio lo spazio delle $psi(x)$, nel senso che derivo quelle.
B' non è lineare per 1/r però essendo sia A' che B' di fatto delle "relazioni funzionali" non potrei comporle? Qui soggiaceva la mia domanda, perché mi sembra di poter esattamente fare quel discorso $({a}×C)∩(f∘g)=({g(a)}×C)∩f={f(g(a))}$, ma se ciò è fattibile allora (A'B')=H è proprio analogo a f∘g=h mi dicevo. Ma....
Forse, quello che stai cercando di dirmi è che, effettivamente data la composizione $A'(B'(psi))$ effettivamente per definizione esiste $H$ tale che $H(psi)=A'(B'(psi))$, tuttavia non avendo la linearità non è come mi aspetterei (come per le matrici) $H=A'B'$, quindi H esiste in effetti ma non è dato come: A' che "opera" su B', detto in modo volgare.
Sono un po' confuso su queste cose, ma è forse questo?
Però più di questo non riesco a tirar fuori dal mio vuoto sacco
Ho parlato a persone peggiori.Mi rincuora, non tutto è perduto
[/ot]$ ({a}×C)∩(f∘g)=({g(a)}×C)∩f={f(g(a))} $Ok perfetto, però non mi è chiarissima questa uguaglianza $({a}×C)∩(f∘g)=({g(a)}×C)∩f$, che è fondamentale per capire la composizione, a me smbrano due insiemi diversi: da una parte ho $(a,c) in AxxC$ dall'altra $(g(a),c) in B xx C$ ove $g(a) in AxxB$.
Quindi non mi sembrano uguali le duple
, però avrei bisogno di quell'uguale perché è proprio ciò che mi mostra quello che desideravo, ossia che $(f∘g)=f(g(a))$. Quindi mi chiedo come effettivamente fa valere "=".Non mi hai ancora detto che dominio ha BAh il dominio di B', scusa non avevo capito. Perché ti avevo risposto sul dominio di $A$ e $B$ (non primati), ma intendevi B' (nella mia notazione settata all'inizio)... non avevo compreso.
$B'=X/r$ intende con r in effetti proprio $r:=sqrt(x^2+y^2+z^2)$, mentre X è l'operatore posizione cioè quello che dà come autovalore x: $Xpsi(x)=xpsi(x)$. Il suo dominio è quindi lo spazio di Hilbert delle $psi(x)$
Anche per l'operatore A' ho per dominio lo spazio delle $psi(x)$, nel senso che derivo quelle.
B' non è lineare per 1/r però essendo sia A' che B' di fatto delle "relazioni funzionali" non potrei comporle? Qui soggiaceva la mia domanda, perché mi sembra di poter esattamente fare quel discorso $({a}×C)∩(f∘g)=({g(a)}×C)∩f={f(g(a))}$, ma se ciò è fattibile allora (A'B')=H è proprio analogo a f∘g=h mi dicevo. Ma....
Forse, quello che stai cercando di dirmi è che, effettivamente data la composizione $A'(B'(psi))$ effettivamente per definizione esiste $H$ tale che $H(psi)=A'(B'(psi))$, tuttavia non avendo la linearità non è come mi aspetterei (come per le matrici) $H=A'B'$, quindi H esiste in effetti ma non è dato come: A' che "opera" su B', detto in modo volgare.
Sono un po' confuso su queste cose, ma è forse questo?
Però più di questo non riesco a tirar fuori dal mio vuoto sacco
Per esser forse piu chiaro, Quello che voglio dire è che dati due operatori generici A' e B' la loro composizione H non è (A'B') "A' che opera su B' " come invece mi ero persuaso. H che rappresenta la composizione di A' e B' esiste come unico operatore, ma non è H=A'B', e si dovrebbe determinare in altro modo. Mentre in modo tonto mi ero persuaso che non potendo avere H=A'B' => H non esistesse e quindi non c'era composizione.
Non vorrei però essere frainteso: con A'B' non intendo però una moltiplicazione matriciale, ovviamente impossibile se non sono A' e B' lineari, quello che voglio dire è che io posso applicare A' a B' : $[∂/(∂x)(x/r)]$ questa derivata esiste ed è fattibile ed è [A'B'] appunto, però non è come sprerei la H'=(A'∘B').
Dunque la composizione di A' e B' non posso ottenerla - come spererei - facendo agire A' su B' (quindi nel nostro esempio derivando (x/r)).
Insomma, le cose vanno così: $H'=(A'∘B')$ esiste ma $(A'∘B'):=H'!=H:=A'B'$, mentre per le matrici sussiste l'uguaglianza.
Spero sia giusto, altrimenti menami pure
Non vorrei però essere frainteso: con A'B' non intendo però una moltiplicazione matriciale, ovviamente impossibile se non sono A' e B' lineari, quello che voglio dire è che io posso applicare A' a B' : $[∂/(∂x)(x/r)]$ questa derivata esiste ed è fattibile ed è [A'B'] appunto, però non è come sprerei la H'=(A'∘B').
Dunque la composizione di A' e B' non posso ottenerla - come spererei - facendo agire A' su B' (quindi nel nostro esempio derivando (x/r)).
Insomma, le cose vanno così: $H'=(A'∘B')$ esiste ma $(A'∘B'):=H'!=H:=A'B'$, mentre per le matrici sussiste l'uguaglianza.
Spero sia giusto, altrimenti menami pure
questa derivata esiste ed è fattibile ed è [A'B'] appunto, però non è come sprerei la H'=(A'∘B').Quello che non capisco è come mai continui a voler vedere una certa operazione (applicare un operatore differenziale a un elemento del suo dominio e trattare poi questo come una funzione), con la composizione di funzioni; le due cose non c'entrano nulla l'una con l'altra, e tu stai confondendo comporre due funzioni con valutare una funzione in un input -che a sua volta, in questo caso specifico, restituisce una funzione-... Detto terra terra, la derivata in $dx$ di \(x/\|x\|\) segue le leggi date dalla regola della catena; la composizione di funzioni qui non c'entra assolutamente nulla. La derivata in $dx$ è una mappa lineare \(\frac d{dx} : C^\infty(\mathbb R^n) \to C^\infty(\mathbb R^n)\), mentre quello che chiami \(\frac xr\) è una funzione \(\mathbb R^n \to \mathbb R^n\), proprio quella che manda $x$ in \(\frac xr\), cioè un elemento di \(C^\infty(\mathbb R^n)\). Puoi applicare \(\frac d{dx}\) a \(frac xr\), cioè vedere quanto fa \(\frac d{dx}\frac xr\), usando la regola della derivazione di funzioni composte, rapporti, eccetera; questo è un elemento di \(C^\infty(\mathbb R^n)\), per definizione.
Ok ho capito il fraintendimento dopo questo tuo messaggio.
Giustamente se applicassi $d/(dx)$ a $x/||x||$ questa non è una composizione è semplicmente come dire $f(x)$ ove f è d/(dx) e x l'elemento del suo dominio x/||x||.
In realtà quello che cercavo di definire era: [idiota me che non ho messo il cappuccio] $[∂/(∂x)(\hat{x}_z/r)]$ che mi aveva confuso anche all'inizio.
Quindi $\hat{x}$ è un operatore infatti sulla sua autofunzione restituisce: $\hat{x}psi(x)=xpsi(x)$
Per questo motivo volevo fare una composizione. La tua spiegazione mi è chiara, e vista come elemento $R^n→R^n$ ovviametne non ha alcun senso parlare di composizione. però parlando di operatori sì, ha senso. Io avevo in mente un operatore x, ma poi ho mischiato i piani.
Detto cio,
Quando quindi faccio $A'(B'(psi(x)))$ io ho $(partial)/(partialx)((\hat{x}psi)/||x||)=(partial)/(partialx)((xpsi)/||x||)$
messa così mi pare ora giusto dire
Sei d'accordo o sbaglio ancora secondo te? perché mi sembra ora tornare ma vorrei esserne sicuro.
Non so se sono stato più chiaro, in caso contrario dimmelo che provo a riesprimermi... perché mi importa avere la tua approvazione di correttezza
Giustamente se applicassi $d/(dx)$ a $x/||x||$ questa non è una composizione è semplicmente come dire $f(x)$ ove f è d/(dx) e x l'elemento del suo dominio x/||x||.
In realtà quello che cercavo di definire era: [idiota me che non ho messo il cappuccio] $[∂/(∂x)(\hat{x}_z/r)]$ che mi aveva confuso anche all'inizio.
Quindi $\hat{x}$ è un operatore infatti sulla sua autofunzione restituisce: $\hat{x}psi(x)=xpsi(x)$
Per questo motivo volevo fare una composizione. La tua spiegazione mi è chiara, e vista come elemento $R^n→R^n$ ovviametne non ha alcun senso parlare di composizione. però parlando di operatori sì, ha senso. Io avevo in mente un operatore x, ma poi ho mischiato i piani.
Detto cio,
Quando quindi faccio $A'(B'(psi(x)))$ io ho $(partial)/(partialx)((\hat{x}psi)/||x||)=(partial)/(partialx)((xpsi)/||x||)$
messa così mi pare ora giusto dire
Insomma, le cose vanno così dati A' e B' operatori qualsiasi (non per forza lineari): $H'=(A'∘B')$ esiste ma $(A'∘B'):=H'!=H:=A'B'$, mentre per le matrici sussiste l'uguaglianza.il mio errore era cioè dire dato che nell'algbra lineare la composizione di due operatori A e B è ottenibile facendo agire uno sull'altro a moltiplicare, ossia: (AB):=(A*B), perché si può scrivere per l'associatività del prodotto: $(AB)(v)=A(B(v))$ io quindi pensavo in modo errato che dato che nel caso dei nostri operatori derivazione e posizione NON possiamoscrivere $(A'B')(psi)$ (perché applicare A' a B' non mi dà la composizione, mentre nelle matrici si grazie alla moltiplicazione) allora concludevo a torto che non potesse esistere la composizione $H=A'∘B'$. Ma in realtà il punto è che esiste $H=A'∘B'$ solo che non è ottenuta come $H=A'B'$, intendendo di far agire A' su B' così come in A.L facevo agire tramite *: A*B. Il mio errore era generalizzare questa cosa che succede in algebra lineare a ogni operatore possibile. Ma quello è vero solo per quelli liineari (che hanno appunto una matrice che li rappresenta).
Sei d'accordo o sbaglio ancora secondo te? perché mi sembra ora tornare ma vorrei esserne sicuro.
Non so se sono stato più chiaro, in caso contrario dimmelo che provo a riesprimermi... perché mi importa avere la tua approvazione di correttezza
Rileggendo mi sono accorto di aver dimenticato di richiedere anche (lo riporto qui per comodità di lettrura)
Quindi non mi sembrano uguali le duple , però avrei bisogno di quell'uguale perché è proprio ciò che mi mostra quello che desideravo, ossia che $(f∘g)=f(g(a))$. Quindi mi chiedo come effettivamente fa valere "=".[/quote]
Spero avrai tempo da dedicarmi su questi ultimi due post, perché mi sembra ormai di aver capito e vorrei chiudere l'argomento in sicurezza
Ok perfetto, però non mi è chiarissima questa uguaglianza $({a}×C)∩(f∘g)=({g(a)}×C)∩f$, che è fondamentale per capire la composizione, a me smbrano due insiemi diversi: da una parte ho $(a,c) in AxxC$ dall'altra $(g(a),c) in B xx C$ ove $g(a) in AxxB$.
[quote]$ ({a}×C)∩(f∘g)=({g(a)}×C)∩f={f(g(a))} $
Quindi non mi sembrano uguali le duple
, però avrei bisogno di quell'uguale perché è proprio ciò che mi mostra quello che desideravo, ossia che $(f∘g)=f(g(a))$. Quindi mi chiedo come effettivamente fa valere "=".[/quote]Spero avrai tempo da dedicarmi su questi ultimi due post, perché mi sembra ormai di aver capito e vorrei chiudere l'argomento in sicurezza
Data \(g : A\to B, f : B\to C\), \((\{a\}\times C)\cap (f\circ g)\) è l'insieme degli elementi di $C$ con cui $a$ è in relazione mediante \(f\circ g\); per definizione di composizione di relazioni, \((\{a\}\times C)\cap (f\circ g) := \{(a,x)\in A\times C\mid \exists b\in B.(b,x)\in f\land(a,b)\in g\}\). Esiste solo un tale $b$ (lo chiami "\(g(a)\)"). Quindi \((\{a\}\times C)\cap (f\circ g) = \{(a,x)\in A\times C\mid (g(a),x)\in f\}\). Esiste un solo tale $x$ (lo chiami \(f(g(a))\)).
Sì, certo, scritta così mi torna, che poi era quello che ho scritto nel mio primissimo messaggio.
Più che altro volevo capire la scrittura $ ({a}×C)∩(f∘g)=({g(a)}×C)∩f$ volevo cioè solamente dire che non mi sembrava un vero e proprio uguale, perché erano insiemi diversi (contendndo per definizione oggetti diversi). peril resto quello che hai scritto ora mi pare molto chiaro invece.
per quanto riguarda invece l'altro argomento, cioè il mio penultimo messaggio prima del tuo second te va bene? Perché ora mi sembra di esserci abbastanza ma volevo chiederti conferma.
Grazie ancora.
Più che altro volevo capire la scrittura $ ({a}×C)∩(f∘g)=({g(a)}×C)∩f$ volevo cioè solamente dire che non mi sembrava un vero e proprio uguale, perché erano insiemi diversi (contendndo per definizione oggetti diversi). peril resto quello che hai scritto ora mi pare molto chiaro invece.
per quanto riguarda invece l'altro argomento, cioè il mio penultimo messaggio prima del tuo second te va bene? Perché ora mi sembra di esserci abbastanza ma volevo chiederti conferma.
Grazie ancora.
EDITO svista
Credo di potermi spiegare meglio di quanto fato prima, perché secondo me ci siam avvitati su due concetti diversi, a mente fredda.
Comunque sia forse sono stato poco chiaro fin dall'inizio sulla faccenda ma quello che volevo dire era che quando scrivo \((\{a\}\times C)\cap (f\circ g) := \{(a,x)\in A\times C\mid \exists b\in B.(b,x)\in f\land(a,b)\in g\}\) io sto dicendo che la relazione f composto g è data prendnendo ogni punto di A e trovando il b in B relativo, fatto ciò prendo f e trovo il c realtivo a quel g(a). mentre io volevo trovare una nuova regola h, cioè una nuova funzone che non sfruttasse più f e g in modo separato.
Cercavo una "ricetta" di come trovare una nuova relazione h ma non capivo se in sostanza il discorso fosse questo:
essendo g funzione: $forall a in A ∃! b in B : g(a)=b$
esendo f funzione: $forall b in B ∃! c in C : f(b)=c$
da cio discende che: definisco h come la relazione: $forall a ∃! c in C : f(g(a))=c$ e io volevo trovare una forma esplicita di $h(a)=c$ senza sfruttare i passaggi intermedi di g(a) e f(g(a)).
Va quindi posta una distinzione tra esistenza di h come come funzione composta nel senso che esiste ovviamente la regola per associare all'elemento di A quello in C unico, con l'esistenza di una regola esplicita (e la domanda verteva su questo) che opera unicamente su a per trovare c senza passare per le regole di assegnazione g e poi f.
D'altra parte anche con le funzioni da R in R data $f(x)=3x$ e $g(x)=2x$ posso trovare la regola di assegnazione "totale " $h(x)=6x$ oppure dire opero prima con g trovando $2x$ e poi opero con f trovando $f(g(x))=3(2x)$ (che è quella garantita da ), ecco il mio intento è capire se la forma esplicita h sia sempre possibile trovarla in senso generale con gli operatori.
ma forse un esempio fondamentale spiega meglio:
dati $A:=(partial)/(partialx)$ e $B:=hat{x}/r$
Dato che sono funzioni e mettiamo di avere i domini come si deve l'essere funzioni ci garantisce come da formula generica sopra con f e g che esiste la funzione composizione (relazione come sottoinsieeme del prodotto cartesiano): $A(B(psi))$. Ci garantisce che esiste come funzione che si traduce nella regola esplicita prendi psi agisci con B e poi con A
$A(B(psi))=(partial)/(partialx)((hat{x}psi)/r)$
La composizione ci dice quindi che esiste un H inteso come nuova funzione che associa elemento del dominio con unico elemento del codominio. ma ci garantisce che esiste una forma esplicita di H per il calcolo immediato su $psi in A$? Cioè vista come regola che ci dice come agire sulla generica psi per trovare in automatico il risultato? Senza passare per i passi intermedi di B e A?
In questo caso mi pare di si, applicando infatti la regola del prodotto e dall'arbitrarietà di psi:
$H:=partial/(partialx)(hat{x}/r)+hat{x}/rpartial/(partialx)$
ma è in generale possibile trovare questa "formula esplicita" che opera unicamente su psi come un nuovo operatore H esplicito? E' quindi sempre fattibile con le composizioni di funzioni (intese in ogni senso: operatori ecc) o è un caso fortuito? Questo mi chiedo
Volevo solo chiarire questa faccenda che secondo me ho spiegato maluccio.
Credo di potermi spiegare meglio di quanto fato prima, perché secondo me ci siam avvitati su due concetti diversi, a mente fredda.
Comunque sia forse sono stato poco chiaro fin dall'inizio sulla faccenda ma quello che volevo dire era che quando scrivo \((\{a\}\times C)\cap (f\circ g) := \{(a,x)\in A\times C\mid \exists b\in B.(b,x)\in f\land(a,b)\in g\}\) io sto dicendo che la relazione f composto g è data prendnendo ogni punto di A e trovando il b in B relativo, fatto ciò prendo f e trovo il c realtivo a quel g(a). mentre io volevo trovare una nuova regola h, cioè una nuova funzone che non sfruttasse più f e g in modo separato.
Cercavo una "ricetta" di come trovare una nuova relazione h ma non capivo se in sostanza il discorso fosse questo:
essendo g funzione: $forall a in A ∃! b in B : g(a)=b$
esendo f funzione: $forall b in B ∃! c in C : f(b)=c$
da cio discende che: definisco h come la relazione: $forall a ∃! c in C : f(g(a))=c$ e io volevo trovare una forma esplicita di $h(a)=c$ senza sfruttare i passaggi intermedi di g(a) e f(g(a)).
Va quindi posta una distinzione tra esistenza di h come come funzione composta nel senso che esiste ovviamente la regola per associare all'elemento di A quello in C unico, con l'esistenza di una regola esplicita (e la domanda verteva su questo) che opera unicamente su a per trovare c senza passare per le regole di assegnazione g e poi f.
D'altra parte anche con le funzioni da R in R data $f(x)=3x$ e $g(x)=2x$ posso trovare la regola di assegnazione "totale " $h(x)=6x$ oppure dire opero prima con g trovando $2x$ e poi opero con f trovando $f(g(x))=3(2x)$ (che è quella garantita da ), ecco il mio intento è capire se la forma esplicita h sia sempre possibile trovarla in senso generale con gli operatori.
ma forse un esempio fondamentale spiega meglio:
dati $A:=(partial)/(partialx)$ e $B:=hat{x}/r$
Dato che sono funzioni e mettiamo di avere i domini come si deve l'essere funzioni ci garantisce come da formula generica sopra con f e g che esiste la funzione composizione (relazione come sottoinsieeme del prodotto cartesiano): $A(B(psi))$. Ci garantisce che esiste come funzione che si traduce nella regola esplicita prendi psi agisci con B e poi con A
$A(B(psi))=(partial)/(partialx)((hat{x}psi)/r)$
La composizione ci dice quindi che esiste un H inteso come nuova funzione che associa elemento del dominio con unico elemento del codominio. ma ci garantisce che esiste una forma esplicita di H per il calcolo immediato su $psi in A$? Cioè vista come regola che ci dice come agire sulla generica psi per trovare in automatico il risultato? Senza passare per i passi intermedi di B e A?
In questo caso mi pare di si, applicando infatti la regola del prodotto e dall'arbitrarietà di psi:
$H:=partial/(partialx)(hat{x}/r)+hat{x}/rpartial/(partialx)$
ma è in generale possibile trovare questa "formula esplicita" che opera unicamente su psi come un nuovo operatore H esplicito? E' quindi sempre fattibile con le composizioni di funzioni (intese in ogni senso: operatori ecc) o è un caso fortuito? Questo mi chiedo
Volevo solo chiarire questa faccenda che secondo me ho spiegato maluccio.
Levo mio contributo inutlie: seguo discussione.
Cosa è $psi$?
Cosa indica il cappuccio?
La composizione esiste per definizione, non ha bisogno di una "forma esplicita" (qualunque cosa questo voglia dire). Se componi $f$ e $g$ ottieni $h=f circ g$ e questa è la formula che definisce $h$, non c'è altro da dire.
Cosa indica il cappuccio?
La composizione esiste per definizione, non ha bisogno di una "forma esplicita" (qualunque cosa questo voglia dire). Se componi $f$ e $g$ ottieni $h=f circ g$ e questa è la formula che definisce $h$, non c'è altro da dire.
Ciao grazie per la risposta Martino.
Avevo solamente concretizzato il dubbio nel caso di operatori (cappucci) e funzioni d'onda (psi).
Ad esemio $hat{x}psi(x)=xpsi(x)$ è l'operatore che ha come autovalore la posizione, dato l'autovettore funzione d'onda.
Come hai giustamente detto avevo mischiato nel mio esprimermi due piani e quindi ho creato un malinteso con MA che ha portato più post inutili del dovuto, l'idea chiara fin dall'inizio è che come dici tu "se compongo f e g ottieni h=f∘g e questa è la formula che definisce h". Il punto era che la definizione di composizione mi dice che h esiste come "entità" che associa ad ogni elemento del dominio, quello del codominio in che modo? Semplicemente prendendo l'elemento del dominio, e agendo con la prima funzione e con la seconda: questo crea una nuova relazione (o meglio funzione) che è il solito sottoinsieme del prodotto cartesiano.
Spesso però, nella pratica, le funzioni hanno una forma "esplicita" cioè ci sono delle regole (analitiche per funzioni da R in R) oppure ad esempio operazioni di derivazione come quella del mio esempio $A:=(partial)/(partialx)$ e anche altri operatori come $B:=hat{x}/r$.
Sempre rimanendo nel nostro esempio, la composizione $A(B(psi))$ esiste nel senso che posso far agire A su quanto è il risultato di B su una qualunque psi (come da definizione di composizione), cioè: $H(psi):=A(B(psi))=(partial)/(partialx)((hat{x}psi)/r)$.
Tuttavia esiste anche la possibilità di definire la forma esplicita dell'operatore H senza passare per B e A, cioè: $H:=partial/(partialx)(hat{x}/r)+hat{x}/rpartial/(partialx)$
D'altra parte anche con le funzioni da R in R data $f(x)=3x$ e $g(x)=2x$ posso trovare la regola di assegnazione "totale " $h(x)=6x$ oppure dire opero prima con g trovando $2x$ e poi opero con f trovando $f(g(x))=3(2x)$, ecco il mio intento è capire se la forma esplicita h "6x" sia sempre possibile trovarla in senso generale con gli operatori.
Insomma, era una domanda molto più semplice di quello che poi è venuto fuori.
Avevo solamente concretizzato il dubbio nel caso di operatori (cappucci) e funzioni d'onda (psi).
Ad esemio $hat{x}psi(x)=xpsi(x)$ è l'operatore che ha come autovalore la posizione, dato l'autovettore funzione d'onda.
Come hai giustamente detto avevo mischiato nel mio esprimermi due piani e quindi ho creato un malinteso con MA che ha portato più post inutili del dovuto, l'idea chiara fin dall'inizio è che come dici tu "se compongo f e g ottieni h=f∘g e questa è la formula che definisce h". Il punto era che la definizione di composizione mi dice che h esiste come "entità" che associa ad ogni elemento del dominio, quello del codominio in che modo? Semplicemente prendendo l'elemento del dominio, e agendo con la prima funzione e con la seconda: questo crea una nuova relazione (o meglio funzione) che è il solito sottoinsieme del prodotto cartesiano.
Spesso però, nella pratica, le funzioni hanno una forma "esplicita" cioè ci sono delle regole (analitiche per funzioni da R in R) oppure ad esempio operazioni di derivazione come quella del mio esempio $A:=(partial)/(partialx)$ e anche altri operatori come $B:=hat{x}/r$.
Sempre rimanendo nel nostro esempio, la composizione $A(B(psi))$ esiste nel senso che posso far agire A su quanto è il risultato di B su una qualunque psi (come da definizione di composizione), cioè: $H(psi):=A(B(psi))=(partial)/(partialx)((hat{x}psi)/r)$.
Tuttavia esiste anche la possibilità di definire la forma esplicita dell'operatore H senza passare per B e A, cioè: $H:=partial/(partialx)(hat{x}/r)+hat{x}/rpartial/(partialx)$
D'altra parte anche con le funzioni da R in R data $f(x)=3x$ e $g(x)=2x$ posso trovare la regola di assegnazione "totale " $h(x)=6x$ oppure dire opero prima con g trovando $2x$ e poi opero con f trovando $f(g(x))=3(2x)$, ecco il mio intento è capire se la forma esplicita h "6x" sia sempre possibile trovarla in senso generale con gli operatori.
Insomma, era una domanda molto più semplice di quello che poi è venuto fuori.
Ciao
E poi nella formula $hat{x}psi(x)=xpsi(x)$ cosa è $x$? Le due cose scritte sono moltiplicazioni?
Se dai un milione di cose per scontate non si capisce.
Quanto al resto, "spesso hanno una forma esplicita" ma non sempre. Inoltre, il concetto di "forma esplicita" è soggettivo e non ha un significato univoco (se vuoi che ce l'abbia, definiscilo).
"singazio":Però ti ho chiesto cosa significa il cappuccio e questa non mi sembra una risposta. Quindi lo chiedo di nuovo: cosa significa il cappuccio? Se capisco bene il dominio contiene le $psi$, ma riesci a scrivere chi è il dominio? E chi è il codominio? E come opera ciascuna delle funzioni $A$ e $B$? E cosa significa $A'$? Derivata di $A$? Sono tutte cose che fino adesso non hai spiegato.
Avevo solamente concretizzato il dubbio nel caso di operatori (cappucci) e funzioni d'onda (psi).
Ad esemio $hat{x}psi(x)=xpsi(x)$ è l'operatore che ha come autovalore la posizione, dato l'autovettore funzione d'onda.
E poi nella formula $hat{x}psi(x)=xpsi(x)$ cosa è $x$? Le due cose scritte sono moltiplicazioni?
Se dai un milione di cose per scontate non si capisce.
Quanto al resto, "spesso hanno una forma esplicita" ma non sempre. Inoltre, il concetto di "forma esplicita" è soggettivo e non ha un significato univoco (se vuoi che ce l'abbia, definiscilo).
la definizione di composizione mi dice che h esiste come "entità" che associa ad ogni elemento del dominio, quello del codominio in che modo?Nel modo che ti è stato detto e ripetuto: \(h = f\circ g : X\to Y\to Z\) manda $x$ in $f(g(x))$. Ora tu chiedi: ok, ma in che modo computo il valore \(f(g(x))\)?
In generale, non puoi. Questo è esattamente il momento in cui pensare le funzioni come "regole" con cui prendere un "input" e restituire un "output" si rivela una posizione deficiente: ha un sacco di vantaggi nella matematica del discreto, ma è una restrizione eccessiva nella matematica del continuo.
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