Dubbio semplice su funzione composta
Ciao, mi stavo trovando a ragionare su una cosa sulla quale non avevo mai posto troppissima attenzione non avendo mai fatto algebra, ma che trovo utile capire in modo più razionale.
Io so che la composizione di funzioni è:
$f∘g={(a,c) in AxxC| ∃b in B, g(a)=b ∧ f(b)=c}={(a,c) in AxxC|f(g(a))=c}$[nota](non sto a specificare gli insiemi per non allungare il messaggio ma è chiaro)[/nota]
Quindi per definizione si ha che $(f∘g)(a)=f(g(a))$, cioè che per avere la "funzione composta" prima opero con g sul punto a e poi sull'immagine tramite f per ogni punto [per definizione di composizione].
Questo per definizione, tuttavia so anche che può esistere una vera e propri "nuova" funzione h t.c $foralla, h(a)=(f∘g)(a)$ in questo modo h non è più la funzione data dall'azione di f sull'immagine di g, ma è una nuova funzione che opera direttamente su a.
Questo è sempre possibile farlo? (cioè che data una composizione di funzioni posso rideterminare una funziona h? e come lo dimostro?) Mi sembrano due concetti distinti dire opero prima con una e poi con l'altra su vari punti a e dire esiste una h che opera sulle a ed è uguale a f composto g, ma fose sono solo molto ignorante su questa cosa di base e scrivo perché vorrei capire meglio. Grazie.
Io so che la composizione di funzioni è:
$f∘g={(a,c) in AxxC| ∃b in B, g(a)=b ∧ f(b)=c}={(a,c) in AxxC|f(g(a))=c}$[nota](non sto a specificare gli insiemi per non allungare il messaggio ma è chiaro)[/nota]
Quindi per definizione si ha che $(f∘g)(a)=f(g(a))$, cioè che per avere la "funzione composta" prima opero con g sul punto a e poi sull'immagine tramite f per ogni punto [per definizione di composizione].
Questo per definizione, tuttavia so anche che può esistere una vera e propri "nuova" funzione h t.c $foralla, h(a)=(f∘g)(a)$ in questo modo h non è più la funzione data dall'azione di f sull'immagine di g, ma è una nuova funzione che opera direttamente su a.
Questo è sempre possibile farlo? (cioè che data una composizione di funzioni posso rideterminare una funziona h? e come lo dimostro?) Mi sembrano due concetti distinti dire opero prima con una e poi con l'altra su vari punti a e dire esiste una h che opera sulle a ed è uguale a f composto g, ma fose sono solo molto ignorante su questa cosa di base e scrivo perché vorrei capire meglio. Grazie.
Risposte
Vi ringrazio per le risposte e la pazienza. Rispondo ad entrambi in serie:
@Martino: mi scuso, il fatto è che purtroppo nella MQ le cose vengono spiegate così e male, nel senso che mi sembra che tutto sia fatto un po' nell'arrangiarsi e senza troppo rigore matematico e quindi fatico a interfacciarmi con voi che siene Matematici appunto. Quindi ho usato il modus operandi tipico da fisico (se aprite un libro di testo di MQ è così e penso vi sparereste giustamente XD), ma avete ragione voi, ovviamente ho dato moltissimo per scontato quindi cerco di ravvedermi introducendo risposte che sono mie analisi e non proprie del libro di testo.
- il cappuccio indica un operatore quindi direi che è un endomorfimso di $L^2(RR)$
- i due operatori che consideravo per un caso pragmatico erano $A':=(partial)/(partialx)$ e $B':=hat{x}/r$, uno operatore differenziale l'altro semplicmente è l'operatore posizione (cioè è l'operatore che ha per autovlaori la pozione sull'asse x 1-D, quindi equazione agli autovlaori $hat{x}psi(x)=xpsi(x)$ -volevo solo mostrare come lavorava con questa equazione-)
- con A e B e A' e B' non volevo fare derivate di alcunché, stavo solo distinguendo nei miei primi messaggi gli operatori di algebra lineare (applicazioni lineari o meglio le loro rappresentaioni matriciali A e B), poi avevo preso gli operatori della MQ e li ho chiamati A' e B' ma potevo chiamarli C e D erano demplici nomi.
L'idea di fondo era semplicemente questa: dato che $f(x)=3x$ e $g(x)=2x$ hanno una regola diciamola analitica di comportamento, so che ho anche la forma analitica per la composizione $h(x)=6x$.
E mi chiedevo è generalizzabile che date due "forme esplicite" cioè delle regole esplicite di rappresentare la mia funzione/operatore, posso trovare l'operatore composizione h che mi da in forma unica la rappresentazione della funzione/operatore composizione?
Ad esempio:
- in algebra lineare funziona se io prendo due matrici A e B ho la composizione che agisce su ogni vettore v come: $A(B(v))$, questo è ovvio dalla definizione di composizione di funzioni, ma mi è possibile anche definire una nuova matrice che fa il lavoro della composizione ed è la matrice $C=A*B$
- allo stesso modo dati $A':=(partial)/(partialx)$ e $B':=hat{x}/r$ posso scrivere $H(psi):=A'(B'(psi))=(partial)/(partialx)((hat{x}psi)/r)$.
Ma posso anche avere la forma unica H: $H(psi):=(partialpsi)/(partialx)(hat{x}/r)+hat{x}/r(partialpsi)/(partialx)$, visto come nuovo operatore che agisce su psi.
@megas_archon
Quello che chiedevo era piuttosto: quando ho due regole A' e B' è sempre possibile trovare la regola H' composizione? Il mio problema èche non so bene definire cosa sia "forma esplicita" ma quello che volevo capire era appunto: 1) come definirla meglio, 2) dagli esempi si vede che tale forma esplicita vista come "regola" esiste: regole di assegnazione, matrici, derivazioni per gli operatori e in tali casi esiste una H che determina in un colpo solo l'azione di $A(b(psi))$. Quello che vlevo chiedere era semplicemente questo, ma fin dall'inizio la mia poca chiarezza temo abbia portato fuori strada.
@Martino: mi scuso, il fatto è che purtroppo nella MQ le cose vengono spiegate così e male, nel senso che mi sembra che tutto sia fatto un po' nell'arrangiarsi e senza troppo rigore matematico e quindi fatico a interfacciarmi con voi che siene Matematici appunto. Quindi ho usato il modus operandi tipico da fisico (se aprite un libro di testo di MQ è così e penso vi sparereste giustamente XD), ma avete ragione voi, ovviamente ho dato moltissimo per scontato quindi cerco di ravvedermi introducendo risposte che sono mie analisi e non proprie del libro di testo.
- il cappuccio indica un operatore quindi direi che è un endomorfimso di $L^2(RR)$
- i due operatori che consideravo per un caso pragmatico erano $A':=(partial)/(partialx)$ e $B':=hat{x}/r$, uno operatore differenziale l'altro semplicmente è l'operatore posizione (cioè è l'operatore che ha per autovlaori la pozione sull'asse x 1-D, quindi equazione agli autovlaori $hat{x}psi(x)=xpsi(x)$ -volevo solo mostrare come lavorava con questa equazione-)
- con A e B e A' e B' non volevo fare derivate di alcunché, stavo solo distinguendo nei miei primi messaggi gli operatori di algebra lineare (applicazioni lineari o meglio le loro rappresentaioni matriciali A e B), poi avevo preso gli operatori della MQ e li ho chiamati A' e B' ma potevo chiamarli C e D erano demplici nomi.
su questo mi rendo conto perfettamente di non aver definito formalmente "forma esplicita" ma ammetto che non saprei farlo perfettamente avevo portato degli esempi solo per car capire e cercare di trovarne una definizione.
Quanto al resto, "spesso hanno una forma esplicita" ma non sempre. Inoltre, il concetto di "forma esplicita" è soggettivo e non ha un significato univoco (se vuoi che ce l'abbia, definiscilo)
L'idea di fondo era semplicemente questa: dato che $f(x)=3x$ e $g(x)=2x$ hanno una regola diciamola analitica di comportamento, so che ho anche la forma analitica per la composizione $h(x)=6x$.
E mi chiedevo è generalizzabile che date due "forme esplicite" cioè delle regole esplicite di rappresentare la mia funzione/operatore, posso trovare l'operatore composizione h che mi da in forma unica la rappresentazione della funzione/operatore composizione?
Ad esempio:
- in algebra lineare funziona se io prendo due matrici A e B ho la composizione che agisce su ogni vettore v come: $A(B(v))$, questo è ovvio dalla definizione di composizione di funzioni, ma mi è possibile anche definire una nuova matrice che fa il lavoro della composizione ed è la matrice $C=A*B$
- allo stesso modo dati $A':=(partial)/(partialx)$ e $B':=hat{x}/r$ posso scrivere $H(psi):=A'(B'(psi))=(partial)/(partialx)((hat{x}psi)/r)$.
Ma posso anche avere la forma unica H: $H(psi):=(partialpsi)/(partialx)(hat{x}/r)+hat{x}/r(partialpsi)/(partialx)$, visto come nuovo operatore che agisce su psi.
@megas_archon
"megas_archon":certamente mi è chiaro, ma in realtà mi veniva da vedere le funzioni come relazioni intese come sottoinsieme del prodotto cartesiano più che come regole. Ma a parte questola definizione di composizione mi dice che h esiste come "entità" che associa ad ogni elemento del dominio, quello del codominio in che modo?Nel modo che ti è stato detto e ripetuto: \(h = f\circ g : X\to Y\to Z\) manda $x$ in $f(g(x))$. Ora tu chiedi: ok, ma in che modo computo il valore \(f(g(x))\)?
In generale, non puoi. Questo è esattamente il momento in cui pensare le funzioni come "regole" con cui prendere un "input" e restituire un "output" si rivela una posizione deficiente: ha un sacco di vantaggi nella matematica del discreto, ma è una restrizione eccessiva nella matematica del continuo.
Quello che chiedevo era piuttosto: quando ho due regole A' e B' è sempre possibile trovare la regola H' composizione? Il mio problema èche non so bene definire cosa sia "forma esplicita" ma quello che volevo capire era appunto: 1) come definirla meglio, 2) dagli esempi si vede che tale forma esplicita vista come "regola" esiste: regole di assegnazione, matrici, derivazioni per gli operatori e in tali casi esiste una H che determina in un colpo solo l'azione di $A(b(psi))$. Quello che vlevo chiedere era semplicemente questo, ma fin dall'inizio la mia poca chiarezza temo abbia portato fuori strada.
quando ho due regole A' e B' è sempre possibile trovare la regola H' composizione?Dipende.
Dipende dal significato di "avere", "trovare" e "regola".
Esatto sono d'accordissimo. Infatti avevo portato gli esempi di funzione, matrice e operatore (anche differenizle e posizione) per cercare di trovare una definziione comune. Perché di fatto mi sembra obiettivamente (ma forse qui sbaglio ?) vero che per tutti e tre gli esempi che ho portato ci siano delle "regole" che ne permettano l'applicazione su un elemento del loro dominio: le f ,g, A, B, A', B'.
Ma il succo era che non riuscivo a trovare una definizione comune per definire questo fatto in modo rigoroso....
Fatto questo dicevo in tali casi si trova sempre l'H?
Insomma, siamo arrivati alla domanda iniziale
, era esattamente quello chehai appena detto 
Ma il succo era che non riuscivo a trovare una definizione comune per definire questo fatto in modo rigoroso....
Fatto questo dicevo in tali casi si trova sempre l'H?
Insomma, siamo arrivati alla domanda iniziale
, era esattamente quello chehai appena detto
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