Dubbi sulle definizioni iniziali di algebra
Salve, spero voi possiate aiutarmi. Allora, in preparazione per l'esame di analisi 2 mi sono messo in testa di studiare un pò tutta la matematica di base che si studia nella facoltà di matematica. Ho quindi comprato un libro di algebra che usano gli studenti di matematica. Grazie all'aiuto del forum ho capito finalmente come si studia la matematica e com'è fatta (definizioni, teoremi, dimostrazioni). Tuttavia, ho ancora qualche difficoltà ad applicare questo metodo. In particolare, ho ancora dei problemi nell'interpretare le definizioni matematiche. Da quello che ci siamo detti nel topic "Definizioni matematiche" nella sezione generale, una definizione è fatta da una PROPRIETA' DEFINITA e da una PROPRIETA' DEFINENTE (usando il linguaggio di gugo). Vi riporto ora una definizione che compare sul mio libro di algebra, relativa agli insiemi.
"Si dice sottoinsieme dell'insieme $A$ un insieme $B$ tale che ogni elemento dell'insieme $B$ è anche elemento dell'insieme $A$". Io sono convinto che l'italiano è una lingua "che frega", poco adatta alla matematica. Ad esempio, per come è scritta questa definizione, io direi che la proprietà definita è "sottoinsieme di $A$". Voi che dite? Spero abbiate capito il mio dubbio. Grazie!
"Si dice sottoinsieme dell'insieme $A$ un insieme $B$ tale che ogni elemento dell'insieme $B$ è anche elemento dell'insieme $A$". Io sono convinto che l'italiano è una lingua "che frega", poco adatta alla matematica. Ad esempio, per come è scritta questa definizione, io direi che la proprietà definita è "sottoinsieme di $A$". Voi che dite? Spero abbiate capito il mio dubbio. Grazie!
Risposte
Salve lisdap,
personalmente ti consiglio di fare a meno di questi accorgimenti troppi particolari di logica... studia le definizioni come il testo te le presenta, cambiale un pò seconda il tuo modo di vedere o studiare la cosa...
Se ti fermi a questi accorgimenti linguistici non potrai cogliere il senso matematico delle cose che studi!! 
Cordiali saluti
personalmente ti consiglio di fare a meno di questi accorgimenti troppi particolari di logica... studia le definizioni come il testo te le presenta, cambiale un pò seconda il tuo modo di vedere o studiare la cosa...
Se ti fermi a questi accorgimenti linguistici non potrai cogliere il senso matematico delle cose che studi!! Cordiali saluti
"vict85":
[quote="lisdap"]Ho un'altra domanda. Subito dopo aver detto che l'insieme è un concetto primitivo il libro dà questa definizione.
Sia A un insieme. Gli oggetti che compongono A sono detti elementi di A.
In questa definizione compaiono i termini "oggetti", e "compongono". Anche questi sono concetti primitivi?
Quindi, ricapitolando, la matematica si fonda sui tre concetti primitivi "insieme", "elemento/oggetto", "compone/appartiene"?
Il tuo libro spreca parole, nell’algebra e in quasi tutta la matematica la teoria naif degli insiemi è sufficienti e in qualche modo si usa senza preoccuparsi del fatto che il tutto funzioni. Quali siano i concetti primitivi e quelli derivati poco importa, tanto si lavora come se tutto fosse primitivo e i teoremi assiomi. In alcune parti dell’algebra si dichiara espressamente però che “teoria degli insiemi” usare, ma sono parti dell’algebra che lavorano direttamente con insiemi di insiemi se non oggetti ben più ‘grandi’ per cui ZFC appare limitata o poco espressiva. Quali siano i concetti primitivi della teoria degli insiemi dipende dall’assiomatizzazione scelta (ZFC, NBG, MK, New Fondation e molti altri). Non tutti comunque sono equivalenti, anche molti accettano ciò che accetta ZFC (ne sono estensioni). Vi è poi tutta la questione su che logica usare, per esempio, vi sono teoria degli insiemi che usano la logica intuizionista invece che quella di primo grado o la teoria dei tipi.[/quote]
Ciao, ho una grande confusione in testa. Da quello che ho capito, esistono tante "versioni" della Matematica, a seconda di quale concetti si scelgono primitivi e quali assiomi si pongono a base della teoria. Precisamente, quante versioni esistono e quali sono i termini primitivi/assiomi sui quali si fonda ognuna di esse? Quale matematica devo studiare? Ad esempio, leggo una dispensa in pdf e l'insieme dei naturali viene dato come primitivo, in un'altra viene invece definito ecc....
Esiste la Matematica perfetta???
"lisdap":
Esiste la Matematica perfetta???
No.
[size=70]Credo che te l'abbiano già detto.[/size]
"gio73":
[quote="lisdap"]
Esiste la Matematica perfetta???
No.
[size=70]Credo che te l'abbiano già detto.[/size][/quote]
Perché no?
Perché se avesse un linguaggio perfetto, l'uomo sarebbe Dio (qualunque cosa significhi questa frase).
Translation: la matematica è frutto dell'intelletto umano e noi abbiamo dei limiti.
Hai mai sentito parlare del programma di Hilbert?
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