Dubbi sulle definizioni iniziali di algebra
Salve, spero voi possiate aiutarmi. Allora, in preparazione per l'esame di analisi 2 mi sono messo in testa di studiare un pò tutta la matematica di base che si studia nella facoltà di matematica. Ho quindi comprato un libro di algebra che usano gli studenti di matematica. Grazie all'aiuto del forum ho capito finalmente come si studia la matematica e com'è fatta (definizioni, teoremi, dimostrazioni). Tuttavia, ho ancora qualche difficoltà ad applicare questo metodo. In particolare, ho ancora dei problemi nell'interpretare le definizioni matematiche. Da quello che ci siamo detti nel topic "Definizioni matematiche" nella sezione generale, una definizione è fatta da una PROPRIETA' DEFINITA e da una PROPRIETA' DEFINENTE (usando il linguaggio di gugo). Vi riporto ora una definizione che compare sul mio libro di algebra, relativa agli insiemi.
"Si dice sottoinsieme dell'insieme $A$ un insieme $B$ tale che ogni elemento dell'insieme $B$ è anche elemento dell'insieme $A$". Io sono convinto che l'italiano è una lingua "che frega", poco adatta alla matematica. Ad esempio, per come è scritta questa definizione, io direi che la proprietà definita è "sottoinsieme di $A$". Voi che dite? Spero abbiate capito il mio dubbio. Grazie!
"Si dice sottoinsieme dell'insieme $A$ un insieme $B$ tale che ogni elemento dell'insieme $B$ è anche elemento dell'insieme $A$". Io sono convinto che l'italiano è una lingua "che frega", poco adatta alla matematica. Ad esempio, per come è scritta questa definizione, io direi che la proprietà definita è "sottoinsieme di $A$". Voi che dite? Spero abbiate capito il mio dubbio. Grazie!
Risposte
\(A\) è inteso come sottoinsieme generico; non puoi essere un sottoinsieme senza un insieme che ti contiene. Senza \(A\), l’insieme \(B\) è solo un insieme.
Ciao vict, non ho capito, puoi essere più preciso?
Ripeto il mio dubbio. Sul libro leggo questa definizione.
Si dice sottoinsieme di $A$ un insieme $B$ tale che ogni elemento di $B$ è anche elemento di $A$.
Qual è la proprietà definita espressa da questa definizione?
Thanks
Ripeto il mio dubbio. Sul libro leggo questa definizione.
Si dice sottoinsieme di $A$ un insieme $B$ tale che ogni elemento di $B$ è anche elemento di $A$.
Qual è la proprietà definita espressa da questa definizione?
Thanks
Salve lisdpap,
la proprietà è "... è sottoinsieme di ..." ove al posto dei punti metti gli insiemi, nel tuo caso avremo "$A$ è sottoinsieme di $B$", che poi tanto proprietà non è se non soltanto una scrittura, come \( A \subseteq B \), che si è leciti usare quando "$x \in B $ preso un qualunque $x \in A$..
Cordiali saluti
P.S.= Comunque sulle definizioni puoi avere un pò più di liberta a riguardo della lora impostazione, io per esempio avrei detto per quella definizione così:
"siano dati \( A \) e \( B \) due insiemi, dicesi "\( A \) è sottoinsieme (improprio) di \( B \)", ed indicasi con la scrittura \( A \subseteq B \), se "\( x \in B \) preso un qualunque \( x \in A \)".
"lisdap":
Ripeto il mio dubbio. Sul libro leggo questa definizione.
Si dice sottoinsieme di $A$ un insieme $B$ tale che ogni elemento di $B$ è anche elemento di $A$.
Qual è la proprietà definita espressa da questa definizione?
Thanks
la proprietà è "... è sottoinsieme di ..." ove al posto dei punti metti gli insiemi, nel tuo caso avremo "$A$ è sottoinsieme di $B$", che poi tanto proprietà non è se non soltanto una scrittura, come \( A \subseteq B \), che si è leciti usare quando "$x \in B $ preso un qualunque $x \in A$..
Cordiali saluti
P.S.= Comunque sulle definizioni puoi avere un pò più di liberta a riguardo della lora impostazione, io per esempio avrei detto per quella definizione così:
"siano dati \( A \) e \( B \) due insiemi, dicesi "\( A \) è sottoinsieme (improprio) di \( B \)", ed indicasi con la scrittura \( A \subseteq B \), se "\( x \in B \) preso un qualunque \( x \in A \)".
Come fa notare garnak.olegovitc, il concetto chiave è la relazione d’ordine “è sottoinsieme di” \(\subseteq\).
In questo senso, dati due insiemi \(A\) e \(B\), allora \(A\) è sottoinsieme di \(B\) (scritto \(A\subseteq B\)) se e solo se \(x\in A\Rightarrow x\in B\).
La tua frase, scritta in formule sarebbe:
\[ \forall A,\,\forall B,\; B\subseteq A \Leftrightarrow \bigl[ x\in B\Rightarrow x\in A \bigr]\]
Qualche dubbio con questa formula?
In questo senso, dati due insiemi \(A\) e \(B\), allora \(A\) è sottoinsieme di \(B\) (scritto \(A\subseteq B\)) se e solo se \(x\in A\Rightarrow x\in B\).
La tua frase, scritta in formule sarebbe:
\[ \forall A,\,\forall B,\; B\subseteq A \Leftrightarrow \bigl[ x\in B\Rightarrow x\in A \bigr]\]
Qualche dubbio con questa formula?
Ciao, allora se ho capito bene mi state dicendo che la "proprietà definita" da quella definizione è "$A$ è sottoinsieme di $B$", giusto?
Consideriamo però ora le due definizioni:
1) Si definisce matrice quadrata una matrice che ha tante righe quante colonne;
2) Si dice che una matrice è quadrata se ha tante righe quante colonne.
Gugo mi aveva detto tempo fa che queste due definizioni sono identiche. Dalla definizione 1 si evince chiaramente che la proprietà definita è "matrice quadrata" e la proprietà definente è "matrice che ha tante righe quante colonne". Visto che gugo mi ha detto che le due definizioni sono uguali, anche per la definizione 2 la proprietà definita è "matrice quadrata" e la proprietà definente "matrice che ha tante righe quante colonne".
Osserviamo ora che la struttura della definizione 2 è uguale alla struttura della definizione3 "si dice che $A$ è sottoinsieme di $B$ se ogni elemento di $A$ è anche elemento di $B$". Quindi, se la proprietà definita della definizione 2 è "MATRICE QUADRATA", allora deduco che la proprietà definita dalla definizione 3 è "$A$ SOTTOINSIEME DI $B$" e non $A$ E' SOTTOINSIEME DI $B$".
Voi mi avete detto che la proprietà definita è "$A$ è sottoinsieme di $B$", tuttavia, in base alle osservazioni precedenti dovrebbe essere "$A$ sottoinsieme di $B$". Vi trovate?
Consideriamo però ora le due definizioni:
1) Si definisce matrice quadrata una matrice che ha tante righe quante colonne;
2) Si dice che una matrice è quadrata se ha tante righe quante colonne.
Gugo mi aveva detto tempo fa che queste due definizioni sono identiche. Dalla definizione 1 si evince chiaramente che la proprietà definita è "matrice quadrata" e la proprietà definente è "matrice che ha tante righe quante colonne". Visto che gugo mi ha detto che le due definizioni sono uguali, anche per la definizione 2 la proprietà definita è "matrice quadrata" e la proprietà definente "matrice che ha tante righe quante colonne".
Osserviamo ora che la struttura della definizione 2 è uguale alla struttura della definizione3 "si dice che $A$ è sottoinsieme di $B$ se ogni elemento di $A$ è anche elemento di $B$". Quindi, se la proprietà definita della definizione 2 è "MATRICE QUADRATA", allora deduco che la proprietà definita dalla definizione 3 è "$A$ SOTTOINSIEME DI $B$" e non $A$ E' SOTTOINSIEME DI $B$".
Voi mi avete detto che la proprietà definita è "$A$ è sottoinsieme di $B$", tuttavia, in base alle osservazioni precedenti dovrebbe essere "$A$ sottoinsieme di $B$". Vi trovate?
Salve lisdap,
io non mi trovo, ma forse perchè non ho capito!!!
Cordiali saluti
P.S.=Ti ricordo solamente che alcune proprietà sono valide in un determinato universo di oggetti, ovvero se una proprietà è valida per insiemi non è detto che è valida anche per matrici...poi non saprei che dirti!!
io non mi trovo, ma forse perchè non ho capito!!!
Cordiali saluti
P.S.=Ti ricordo solamente che alcune proprietà sono valide in un determinato universo di oggetti, ovvero se una proprietà è valida per insiemi non è detto che è valida anche per matrici...poi non saprei che dirti!!
Sinceramente stai facendo ragionamenti un po’ eccessivamente contorti su una definizione piuttosto semplice. Ti assicuro che troverai definizioni ben più complesse di questa.
Secondo la lingua italiana dire “A è sottoinsieme di B” e dire “A sottoinsieme di B” sono la stessa cosa, con la differenza che nelle seconda il verbo è omesso. Se non sbaglio si dice che è un frase nominale. Capirai quindi che hai nostri occhi stai chiedendo di vedere una differenza tra due frasi che sono, secondo la lingua italiana, assolutamente intercambiabili.
Secondo la lingua italiana dire “A è sottoinsieme di B” e dire “A sottoinsieme di B” sono la stessa cosa, con la differenza che nelle seconda il verbo è omesso. Se non sbaglio si dice che è un frase nominale. Capirai quindi che hai nostri occhi stai chiedendo di vedere una differenza tra due frasi che sono, secondo la lingua italiana, assolutamente intercambiabili.
Concordo in pieno ciò detto da vict85!!
"lisdap":
Ciao, allora se ho capito bene mi state dicendo che la "proprietà definita" da quella definizione è "$A$ è sottoinsieme di $B$", giusto?
Consideriamo però ora le due definizioni:
1) Si definisce matrice quadrata una matrice che ha tante righe quante colonne;
2) Si dice che una matrice è quadrata se ha tante righe quante colonne.
Gugo mi aveva detto tempo fa che queste due definizioni sono identiche. Dalla definizione 1 si evince chiaramente che la proprietà definita è "matrice quadrata" e la proprietà definente è "matrice che ha tante righe quante colonne". Visto che gugo mi ha detto che le due definizioni sono uguali, anche per la definizione 2 la proprietà definita è "matrice quadrata" e la proprietà definente "matrice che ha tante righe quante colonne".
Osserviamo ora che la struttura della definizione 2 è uguale alla struttura della definizione3 "si dice che $A$ è sottoinsieme di $B$ se ogni elemento di $A$ è anche elemento di $B$". Quindi, se la proprietà definita della definizione 2 è "MATRICE QUADRATA", allora deduco che la proprietà definita dalla definizione 3 è "$A$ SOTTOINSIEME DI $B$" e non $A$ E' SOTTOINSIEME DI $B$".
Voi mi avete detto che la proprietà definita è "$A$ è sottoinsieme di $B$", tuttavia, in base alle osservazioni precedenti dovrebbe essere "$A$ sottoinsieme di $B$". Vi trovate?
Lisdap... Matrice quadrata è un sostantivo (accompagnato da un'attributo), quindi come diavolo fa ad essere una "proprietà"?
Questa è grammatica delle scuole elementari/medie proprio... Perché si studia ancora la differenza tra sostantivi ed attributi, vero?
Quelle due definizioni, seppur in modo diverso, definiscono la proprietà "essere quadrata" (cioè stanno entrambe definendo la proprietà individuata dal solo attributo nella prima definizione) limitatamente all'oggetto "matrice", cioè nell'insieme delle matrici.
Esempio più terra-terra (se così si può dire):
Un fiore giallo è di questo colore:
in cui, chiaramente sto definendo la proprietà "essere giallo" (ossia l'attributo "giallo") limitatamente all'oggetto "fiore", cioè nell'insieme dei fiori.
Possiamo discutere anni sullo stile (come già ti dicevo altrove, la prima definizione non mi piace), ma la sostanza non cambia.
"vict85":
Secondo la lingua italiana dire “A è sottoinsieme di B” e dire “A sottoinsieme di B” sono la stessa cosa, con la differenza che nelle seconda il verbo è omesso.
Ok perfetto, è quello che volevo sapere!
Ho un'altra domanda. Subito dopo aver detto che l'insieme è un concetto primitivo il libro dà questa definizione.
Sia A un insieme. Gli oggetti che compongono A sono detti elementi di A.
In questa definizione compaiono i termini "oggetti", e "compongono". Anche questi sono concetti primitivi?
Quindi, ricapitolando, la matematica si fonda sui tre concetti primitivi "insieme", "elemento/oggetto", "compone/appartiene"?
Sia A un insieme. Gli oggetti che compongono A sono detti elementi di A.
In questa definizione compaiono i termini "oggetti", e "compongono". Anche questi sono concetti primitivi?
Quindi, ricapitolando, la matematica si fonda sui tre concetti primitivi "insieme", "elemento/oggetto", "compone/appartiene"?
Ciao Lis, ti consiglio di leggere qualcosa di B. Russell: penso ti piacerà.
[size=80]Ma alla fine la definizione di sottoinsieme l'hai capita?[/size]
[size=80]Ma alla fine la definizione di sottoinsieme l'hai capita?[/size]
"lisdap":
Ho un'altra domanda. Subito dopo aver detto che l'insieme è un concetto primitivo il libro dà questa definizione.
Sia A un insieme. Gli oggetti che compongono A sono detti elementi di A.
In questa definizione compaiono i termini "oggetti", e "compongono". Anche questi sono concetti primitivi?
Quindi, ricapitolando, la matematica si fonda sui tre concetti primitivi "insieme", "elemento/oggetto", "compone/appartiene"?
Il tuo libro spreca parole, nell’algebra e in quasi tutta la matematica la teoria naif degli insiemi è sufficienti e in qualche modo si usa senza preoccuparsi del fatto che il tutto funzioni. Quali siano i concetti primitivi e quelli derivati poco importa, tanto si lavora come se tutto fosse primitivo e i teoremi assiomi. In alcune parti dell’algebra si dichiara espressamente però che “teoria degli insiemi” usare, ma sono parti dell’algebra che lavorano direttamente con insiemi di insiemi se non oggetti ben più ‘grandi’ per cui ZFC appare limitata o poco espressiva. Quali siano i concetti primitivi della teoria degli insiemi dipende dall’assiomatizzazione scelta (ZFC, NBG, MK, New Fondation e molti altri). Non tutti comunque sono equivalenti, anche molti accettano ciò che accetta ZFC (ne sono estensioni). Vi è poi tutta la questione su che logica usare, per esempio, vi sono teoria degli insiemi che usano la logica intuizionista invece che quella di primo grado o la teoria dei tipi.
Salve lisdap,
bhè sì, ricordati però che "compone/appartiene" è un predicato primitivo se vogliamo essere proprio rigorosi..
L'importante è che tu ne abbia un'idea intuitiva di questi concetti... soprattutto del concetto di "oggetto"... Intuitivamente cosa puoi dire su di esso??
Cordiali saluti
"lisdap":
In questa definizione compaiono i termini "oggetti", e "compongono". Anche questi sono concetti primitivi?
Quindi, ricapitolando, la matematica si fonda sui tre concetti primitivi "insieme", "elemento/oggetto", "compone/appartiene"?
bhè sì, ricordati però che "compone/appartiene" è un predicato primitivo se vogliamo essere proprio rigorosi..
L'importante è che tu ne abbia un'idea intuitiva di questi concetti... soprattutto del concetto di "oggetto"... Intuitivamente cosa puoi dire su di esso??
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
Salve lisdap,
[quote="lisdap"]
In questa definizione compaiono i termini "oggetti", e "compongono". Anche questi sono concetti primitivi?
Quindi, ricapitolando, la matematica si fonda sui tre concetti primitivi "insieme", "elemento/oggetto", "compone/appartiene"?
bhè sì, ricordati però che "compone/appartiene" è un predicato primitivo se vogliamo essere proprio rigorosi..
L'importante è che tu ne abbia un'idea intuitiva di questi concetti... soprattutto del concetto di "oggetto"... Intuitivamente cosa puoi dire su di esso??
Cordiali saluti[/quote]
Ciao, ok grazie! Quanto al termine oggetto, beh, direi che mi viene in mente qualunque cosa! Direi che ogni cosa è un oggetto, quindi si tratta di un termine che abbraccia tutto l'esistente direi!
Salve lisdap,
bhè sì è giusto... in effetti un oggetto può essere anche un insieme...!!!
Cordiali saluti
"lisdap":[/quote]
[quote="garnak.olegovitc"]Salve lisdap,
Ciao, ok grazie! Quanto al termine oggetto, beh, direi che mi viene in mente qualunque cosa! Direi che ogni cosa è un oggetto, quindi si tratta di un termine che abbraccia tutto l'esistente direi!
bhè sì è giusto... in effetti un oggetto può essere anche un insieme...!!!
Cordiali saluti
Ok, grazie garnak. Quanto alla definizione che apre il thread, e cioé "si dice che un insieme $A$ è sottoinsieme di un insieme $B$ (in simboli, $A sube B$) se ogni elemento di $A$ è anche elemento di $B$", in base a quanto detto da gugo, si ha che la proprietà definita è "sottoinsieme di $B$ (in simboli, $sube B$)", limitatamente all'insieme $A$, giusto?
Salve lisdap,
non mi pare che gugo82 abbia detto ciò, la proprietà \( P(x,y) \) è "\( x \) (è) sottoinsieme (improprio) di \( y \)"...
Cordiali saluti
"lisdap":
Ok, grazie garnak. Quanto alla definizione che apre il thread, e cioé "si dice che un insieme $A$ è sottoinsieme di un insieme $B$ (in simboli, $A sube B$) se ogni elemento di $A$ è anche elemento di $B$", in base a quanto detto da gugo, si ha che la proprietà definita è "sottoinsieme di $B$ (in simboli, $sube B$)", limitatamente all'insieme $A$, giusto?
non mi pare che gugo82 abbia detto ciò, la proprietà \( P(x,y) \) è "\( x \) (è) sottoinsieme (improprio) di \( y \)"...
Cordiali saluti
Ummm, gugo ha detto che ad esempio, data la definizione "si definisce matrice quadrata una matrice che ha tante righe quante colonne", la proprietà definita è quadrata, limitatamente ad una matrice. Inoltre, mi aveva anche detto via mp che questa definizione può anche essere formulata nel seguente modo: "si dice che una matrice è quadrata se ha tante righe quante colonne". Quest'ultima definizione è strutturalmente identica a quella relativa ai sottoinsiemi che ho scritto sopra, di conseguenza ho dedotto che in quel caso la proprietà definita è "sottoinsieme di $y$" e non "$x$ è sottoinsieme di $y$". Non so se mi sono spiegato:) Ciao!
Salve lisdap,
non saprei come dire... ma nel caso della matrice la proprietà si riferisce soltanto ad essa, mentre nel caso dei sottoinsiemi la proprietà si riferisce a due insiemi, quindi, se non faccio errori, nel caso della matrice la proprietà/predicato è unario mentre nel caso degli insiemi la proprietà/predicato è binario...ovvero la proprietà "(è) quadrata" ha una sola variabile mentre la proprietà "(è) sottoinsieme" ha due variabili".... Altro non saprei che dirti!!
Cordiali saluti
"lisdap":
Ummm, gugo ha detto che ad esempio, data la definizione "si definisce matrice quadrata una matrice che ha tante righe quante colonne", la proprietà definita è quadrata, limitatamente ad una matrice. Inoltre, mi aveva anche detto via mp che questa definizione può anche essere formulata nel seguente modo: "si dice che una matrice è quadrata se ha tante righe quante colonne". Quest'ultima definizione è strutturalmente identica a quella relativa ai sottoinsiemi che ho scritto sopra, di conseguenza ho dedotto che in quel caso la proprietà definita è "sottoinsieme di $y$" e non "$x$ è sottoinsieme di $y$". Non so se mi sono spiegato:) Ciao!
non saprei come dire... ma nel caso della matrice la proprietà si riferisce soltanto ad essa, mentre nel caso dei sottoinsiemi la proprietà si riferisce a due insiemi, quindi, se non faccio errori, nel caso della matrice la proprietà/predicato è unario mentre nel caso degli insiemi la proprietà/predicato è binario...ovvero la proprietà "(è) quadrata" ha una sola variabile mentre la proprietà "(è) sottoinsieme" ha due variabili".... Altro non saprei che dirti!!
Cordiali saluti
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