Dubbi riguardo strutture algebriche.
Salve ragazzi.
Vorrei esporvi i miei dubbi circa lo svolgimento di un esercizio di matematica discreta in cui mi sono imbattuto questo pomeriggio:
Si consideri la struttura algebrica ( Z, * ) dove * è così definita:
$ AA x, y in ZZ , $ x * y = x - y + 3
a) stabilire se * è associativa e/o commutativa
b) determinare l'eventuale elemento neutro della struttura algebrica
c) se la struttura algebrica ammette elemento neutro, determinare gli eventuali elementi di Z che hanno inverso rispetto alla legge *
d) concludere se la struttura algebrica è un monoide o un gruppo (abeliano)
e) stabilire se N è chiuso rispetto a * ( data una struttura algebrica ( A, . ) si dice che un sottoinsieme K di A è chiuso rispetto a " . " se per ogni x, y appartenenti a K, x.y appartiene a K
f) stabilire se l'insieme P dei numeri pari è chiuso rispetto a *
g) stabilire se l'insieme D dei numeri dispari è chiuso rispetto a *
h) nel caso che ( Z, * ) sia un gruppo, stabilire se N, P , D ne sono sottogruppi.
Ecco lo svolgimento:
a ) Per verificare l'associatività deve essere:
$ AA x, y in ZZ , (x*y)*z = x * ( y*z) $
Dunque:
$ (x*y)*z = ( x - y + 3 ) * z = (x - y + 3) - z + 3 = x - y + z + 6 $
Mentre :
$ x * ( y*z) = x * ( y - z + 3 ) = x - ( y - z + 3 ) + 3 = x - y + z $
Poichè i due membri della uguaglianza sono differenti, ( Z, * ) non è associativa.
b ) Perchè esista elemento neutro deve $ EE e in ZZ $ tale che $ x * e = e * x = x $
Verifico che x*e = x
$ x*e rarr x - e + 3 = x rarr e = 3 $
Se e = 3
$ x * e = x * 3 = x - 3 + 3 = x $
Deve valere dunque : 3 * x = x
Ma :
$ 3 * x = 3 - x + 3 != x $
Dunque non vi è elemento neutro.
Di conseguenza:
c ) non è possibile svolgerlo
d ) nè monoide nè gruppo abeliano
Sono corretti i primi 2 passi? Nel frattempo scrivo lo svolgimento dei restanti passi.
Vorrei esporvi i miei dubbi circa lo svolgimento di un esercizio di matematica discreta in cui mi sono imbattuto questo pomeriggio:
Si consideri la struttura algebrica ( Z, * ) dove * è così definita:
$ AA x, y in ZZ , $ x * y = x - y + 3
a) stabilire se * è associativa e/o commutativa
b) determinare l'eventuale elemento neutro della struttura algebrica
c) se la struttura algebrica ammette elemento neutro, determinare gli eventuali elementi di Z che hanno inverso rispetto alla legge *
d) concludere se la struttura algebrica è un monoide o un gruppo (abeliano)
e) stabilire se N è chiuso rispetto a * ( data una struttura algebrica ( A, . ) si dice che un sottoinsieme K di A è chiuso rispetto a " . " se per ogni x, y appartenenti a K, x.y appartiene a K
f) stabilire se l'insieme P dei numeri pari è chiuso rispetto a *
g) stabilire se l'insieme D dei numeri dispari è chiuso rispetto a *
h) nel caso che ( Z, * ) sia un gruppo, stabilire se N, P , D ne sono sottogruppi.
Ecco lo svolgimento:
a ) Per verificare l'associatività deve essere:
$ AA x, y in ZZ , (x*y)*z = x * ( y*z) $
Dunque:
$ (x*y)*z = ( x - y + 3 ) * z = (x - y + 3) - z + 3 = x - y + z + 6 $
Mentre :
$ x * ( y*z) = x * ( y - z + 3 ) = x - ( y - z + 3 ) + 3 = x - y + z $
Poichè i due membri della uguaglianza sono differenti, ( Z, * ) non è associativa.
b ) Perchè esista elemento neutro deve $ EE e in ZZ $ tale che $ x * e = e * x = x $
Verifico che x*e = x
$ x*e rarr x - e + 3 = x rarr e = 3 $
Se e = 3
$ x * e = x * 3 = x - 3 + 3 = x $
Deve valere dunque : 3 * x = x
Ma :
$ 3 * x = 3 - x + 3 != x $
Dunque non vi è elemento neutro.
Di conseguenza:
c ) non è possibile svolgerlo
d ) nè monoide nè gruppo abeliano
Sono corretti i primi 2 passi? Nel frattempo scrivo lo svolgimento dei restanti passi.
Risposte
mi sembra che quello che hai scritto sia corretto..
x claw91: scusami ma non ho capito come hai determinato la proprieta' associativa, potresti indicare tutti i passaggi? Grazie 
GundamRX91:
x claw91: scusami ma non ho capito come hai determinato la proprieta' associativa, potresti indicare tutti i passaggi? Grazie :-)
Bisogna semplicemente applicare la definizione di associatività per una generica legge di composizione interna * :
$ AA x, y in ZZ , (x*y)*z = x * ( y*z) $
Quindi, bisogna svolgere per la specifica legge *, nel mio caso x - y + 3, il primo e il secondo membro dell'uguaglianza e verificare che siano effettivamente uguali.
A sinistra dell'uguaglianza:
$ (x*y)*z = ( x - y + 3 ) * z = (x - y + 3) - z + 3 = x - y + z + 6 $
Mentre a destra :
$ x * ( y*z) = x * ( y - z + 3 ) = x - ( y - z + 3 ) + 3 = x - y + z $
Poichè :
x - y + 6 $ != $ x - y + z
allora l'uguaglianza non è verificata, dunque il mio * non è associativo.
Completo inoltre lo svolgimento del punto (e) portato a termine stamattina prima della lezione di discreta:
e) N non è chiuso rispetto a *, in quanto non è vero che
$ AA $ x,y appartenenti a N, x*y appartiene a N .
E' sufficiente prendere come esempio gli elementi 0, 4 appartenenti a N per cui * opera nel modo seguente :
$ 0 * 4 = 0 - 4 + 3 = -1 !in NN $
Ho da studiare, poi vi posto la parte finale dell'esercizio.
"claw91":
A sinistra dell'uguaglianza:
$ (x*y)*z = ( x - y + 3 ) * z = (x - y + 3) - z + 3 = x - y + z + 6 $
Mentre a destra :
$ x * ( y*z) = x * ( y - z + 3 ) = x - ( y - z + 3 ) + 3 = x - y + z $
scusami, non sono stato chiaro io: volevo dire che non ho capito come hai ottenuto i passaggi sopra: da $(x - y + 3)*z$ a $(x - y + 3) -z + 3$ e da qui che mi perdo...
Devi semplicemente applicare la legge * a
$(x - y + 3)*z$
La legge * prende il primo elemento ( nel nostro caso $(x - y + 3)$ ) , sottrae il secondo elemento ( nel nostro caso è $z$ ) e aggiunge $3$ .
Devi immaginare $(x - y + 3)$ come un'unica lettera ;)
$(x - y + 3)*z$
La legge * prende il primo elemento ( nel nostro caso $(x - y + 3)$ ) , sottrae il secondo elemento ( nel nostro caso è $z$ ) e aggiunge $3$ .
Devi immaginare $(x - y + 3)$ come un'unica lettera ;)
adesso ho capito!!! Grazie
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