Doppia implicazione
Buongiorno a tutti, sto avendo difficoltà nel risolvere una doppia implicazione di un problema.
Sia $R$ un anello con identità e $End(R)$ l'anello degli endomorfismi del gruppo abeliano $(R,+)$.
Sono date la applicazioni:
$phi_r:R rightarrow R$, definita da $phi_r(x)=rx$, $forall x in R$.
$phi:R rightarrow End(R)$, definita da $phi(r)=phi_r$.
So che $phi$ è isomorfismo di anelli se e solo se $f(x)=f(1_R)x$ per ogni $f in End(R)$ e per ogni $x in R$.
Dimostrare che: $End(R)$ è commutativo se e solo se $R$ è anello commutativo e $End(R)$ è isomorfo a $R$.
Provo a dimostrare $' lArr '$:
Se $End(r) cong R$, so che $Im(phi)=End(R)$, e pertanto presi due endomorfismi:$f,g in End(R)$ si ha:
$ f(g(x))=f(g(1_R)x)=g(1_R)f(x)=g(1_r)f(1_r)x $
$ g(f(x))=g(f(1_R)x)=f(1_R)g(x)=f(1_r)g(1_r)x $
Ma se l'anello $R$ è commutativo, allora le ultime due espressioni sono uguali e pertanto $End(r)$ è commutativo.
-----
Per l'altra implicazione non saprei proprio da dove cominciare.
Ho come l'impressioni che dovrei tirare in ballo ancora l'isomorfismo $phi$, ma non so in che modo.
Più che altro non so come ricavare informazione dalla commutatività di due endomorfismi.
Grazie mille a chiunque voglia darmi una mano
Sia $R$ un anello con identità e $End(R)$ l'anello degli endomorfismi del gruppo abeliano $(R,+)$.
Sono date la applicazioni:
$phi_r:R rightarrow R$, definita da $phi_r(x)=rx$, $forall x in R$.
$phi:R rightarrow End(R)$, definita da $phi(r)=phi_r$.
So che $phi$ è isomorfismo di anelli se e solo se $f(x)=f(1_R)x$ per ogni $f in End(R)$ e per ogni $x in R$.
Dimostrare che: $End(R)$ è commutativo se e solo se $R$ è anello commutativo e $End(R)$ è isomorfo a $R$.
Provo a dimostrare $' lArr '$:
Se $End(r) cong R$, so che $Im(phi)=End(R)$, e pertanto presi due endomorfismi:$f,g in End(R)$ si ha:
$ f(g(x))=f(g(1_R)x)=g(1_R)f(x)=g(1_r)f(1_r)x $
$ g(f(x))=g(f(1_R)x)=f(1_R)g(x)=f(1_r)g(1_r)x $
Ma se l'anello $R$ è commutativo, allora le ultime due espressioni sono uguali e pertanto $End(r)$ è commutativo.
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Per l'altra implicazione non saprei proprio da dove cominciare.
Ho come l'impressioni che dovrei tirare in ballo ancora l'isomorfismo $phi$, ma non so in che modo.
Più che altro non so come ricavare informazione dalla commutatività di due endomorfismi.
Grazie mille a chiunque voglia darmi una mano
Risposte
Se $r$ e $s$ sono elementi di $R$ allora siccome $End(R)$ è commutativo hai $phi_r phi_s = phi_s phi_r$, prova a calcolare $phi_r phi_s (1)$. Adesso prendi un endomorfismo $f$, se $End(R)$ è commutativo allora $f phi_r = phi_r f$ per ogni $r in R$, di nuovo applicalo a $1$.
Buongiorno ! Grazie mille per la risposta innanzitutto 
Poiché deve essere che $phi_r phi_s(1)=phi_s phi_r(1)$, allora si ha $rs=sr$, e, dato che queste due espressioni devono essere uguali visto che $End(R)$ è commutativo, allora $R$ deve necessariamente essere un anello commutativo.
Ora come da Lei suggerito, considero il seguente fatto:
Se $End(R)$ è commutativo, allora $fphi_r=phi_(r) f$.
Applicando a $1$:
$f(phi_r(1))=phi_r(f(1))$
Questo significa che deve esistere un'applicazione $phi$ biettiva (posso già dire che è un omomorfismo dato che $f$ è endomorfismo?), o meglio un isomorfismo di anelli $ R rightarrowEnd(R) $. Pertanto $End(R) cong R$.
Può essere corretto ?
Grazie mille per la pazienza
Poiché deve essere che $phi_r phi_s(1)=phi_s phi_r(1)$, allora si ha $rs=sr$, e, dato che queste due espressioni devono essere uguali visto che $End(R)$ è commutativo, allora $R$ deve necessariamente essere un anello commutativo.
Ora come da Lei suggerito, considero il seguente fatto:
Se $End(R)$ è commutativo, allora $fphi_r=phi_(r) f$.
Applicando a $1$:
$f(phi_r(1))=phi_r(f(1))$
Questo significa che deve esistere un'applicazione $phi$ biettiva (posso già dire che è un omomorfismo dato che $f$ è endomorfismo?), o meglio un isomorfismo di anelli $ R rightarrowEnd(R) $. Pertanto $End(R) cong R$.
Può essere corretto ?
Grazie mille per la pazienza
La prima parte va bene, la seconda no. Puoi darmi del tu per favore?
Ricorda che quello che devi mostrare è che $phi$ è biiettiva. L'iniettività è facile quindi ora ti stai concentrando sulla suriettività. La condizione $f phi_r = phi_r f$ applicata a un generico $x$ ti dice (per definizione di $phi_r$) che $f(rx) = r f(x)$ ora applicandolo a $x=1$ ottieni...
Ricorda che quello che devi mostrare è che $phi$ è biiettiva. L'iniettività è facile quindi ora ti stai concentrando sulla suriettività. La condizione $f phi_r = phi_r f$ applicata a un generico $x$ ti dice (per definizione di $phi_r$) che $f(rx) = r f(x)$ ora applicandolo a $x=1$ ottieni...
Certo volentieri !
Applicandolo per $x=1$ ottengo $f(r)=r f(1)$, che significa che $ forallfinEnd(R) EE r inR | f(r)=r cdotf(x) , x in R$, e quindi l'applicazione è suriettiva. L'iniettività è vero, si prova velocemente.
Pertanto $phi$ è isomorfismo di anelli e quindi $End(R) cong R$.
Spero di esserci arrivato
Applicandolo per $x=1$ ottengo $f(r)=r f(1)$, che significa che $ forallfinEnd(R) EE r inR | f(r)=r cdotf(x) , x in R$, e quindi l'applicazione è suriettiva. L'iniettività è vero, si prova velocemente.
Pertanto $phi$ è isomorfismo di anelli e quindi $End(R) cong R$.
Spero di esserci arrivato
Ancora non capisco come mai scrivi $x$ dopo che hai posto $x=1$ ma a parte questo è giusto ciao!
pensa che l'avevo pure modificato, che scemo !
Grazie mille per l'aiuto Martino !
Grazie mille per l'aiuto Martino !
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