Domande sulle operazioni
Salve ragazzi, premetto che quello che scriverò sarà poco rigoroso e poco dettagliato. Ogni tanto mi passa qualche grillo per la testa e devo per forza approfondire, per quanto mi è possibile, la questione altrimenti non mi sento felice.
Studio Ingegneria Meccanica, quindi non devo fare esami di algebra (solo di algebra lineare, però non capisco a cosa serva fare algebra lineare se prima non si è studiata per bene l'algebra "normale"), nè tantomeno possiedo un libro di algebra da cui studiare seriamente la questione di cui parlerò, però mi interessa sapere se grosso modo le cose vanno come scriverò.
Quel poco di Algebra che ho imparato l'ho imparato rileggendo il libro del liceo, leggendo qua e là sul web e facendo domande nella sezione Algebra di questo forum.
Un giorno, se avrò tempo, comprerò un libro di Algebra e lo studierò come si deve.
Tutti sappiamo (a livello intuitivo, a meno che non siamo matematici) che due più due fa quattro, che tre per due fa sei e cosi via. Io volevo cercare di essere più consapevole di queste cose.
So che cos'è un insieme, che cos'è una coppia ordinata, il prodotto cartesiano di due o più insiemi, qual è la definizione di funzione, di relazione, e di operazione.
Prendiamo un insieme numerico $A$ (uno a caso, senza entrare nei dettagli, che non conosco).
Di questo insieme ne faccio il prodotto cartesiano, ottenendo l'insieme $A xx A:=C$. Prendo poi questo insieme $C$ e ne faccio nuovamente il prodotto cartesiano con $A$, ottenendo l'insieme $(A xx A) xx A$.
Questo insieme sarà formato da moltissime coppie ordinate del tipo $((a,b),c)$ giusto?
Un'operazione binaria in $A$ è una qualunque funzione che si può ottenere dall'insieme $(A xx A) xx A$, cioè è un qualunque sottoinsieme di $(A xx A) xx A$ tale che non esistono due coppie ordinate con lo stesso primo elemento, giusto?
Ora, dall'insieme $(A xx A) xx A$ posso estrapolare vari sottoinsiemi, in particolare varie operazioni, per esempio la somma $+$, la moltiplicazione $*$ ecc...
Per esempio, se prendo il sottoinsieme del tipo $+={((1,1),2),((2,3),5),((2,2),4)...}$ ottengo un sottoinsieme (operazione) di $(A xx A) xx A$ che si chiama "somma". Stando a quello che c'è scritto su wikipedia, l'immagine corrispondente alla coppia di punti $(a,b)$ della generica coppia $((a,b),c)$, cioè $c$, si indica anche come $a+b$. Per esempio, considerando l'insieme $+$ sopra scritto, prendiamo l'elemento $((2,3),5)$. L'immagine di tale coppia, cioè il numero $5$, si può anche indicare con il simbolo $2+3$; dunque, la scrittura $2+3=5$ rappresenta un'identità, in quanto $2+3$ è $5$ e quindi non ho scritto altro che $5=5$, cioè una uguaglianza vera.
E' giusto quello che ho detto?
Grazie mille
Studio Ingegneria Meccanica, quindi non devo fare esami di algebra (solo di algebra lineare, però non capisco a cosa serva fare algebra lineare se prima non si è studiata per bene l'algebra "normale"), nè tantomeno possiedo un libro di algebra da cui studiare seriamente la questione di cui parlerò, però mi interessa sapere se grosso modo le cose vanno come scriverò.
Quel poco di Algebra che ho imparato l'ho imparato rileggendo il libro del liceo, leggendo qua e là sul web e facendo domande nella sezione Algebra di questo forum.
Un giorno, se avrò tempo, comprerò un libro di Algebra e lo studierò come si deve.
Tutti sappiamo (a livello intuitivo, a meno che non siamo matematici) che due più due fa quattro, che tre per due fa sei e cosi via. Io volevo cercare di essere più consapevole di queste cose.
So che cos'è un insieme, che cos'è una coppia ordinata, il prodotto cartesiano di due o più insiemi, qual è la definizione di funzione, di relazione, e di operazione.
Prendiamo un insieme numerico $A$ (uno a caso, senza entrare nei dettagli, che non conosco).
Di questo insieme ne faccio il prodotto cartesiano, ottenendo l'insieme $A xx A:=C$. Prendo poi questo insieme $C$ e ne faccio nuovamente il prodotto cartesiano con $A$, ottenendo l'insieme $(A xx A) xx A$.
Questo insieme sarà formato da moltissime coppie ordinate del tipo $((a,b),c)$ giusto?
Un'operazione binaria in $A$ è una qualunque funzione che si può ottenere dall'insieme $(A xx A) xx A$, cioè è un qualunque sottoinsieme di $(A xx A) xx A$ tale che non esistono due coppie ordinate con lo stesso primo elemento, giusto?
Ora, dall'insieme $(A xx A) xx A$ posso estrapolare vari sottoinsiemi, in particolare varie operazioni, per esempio la somma $+$, la moltiplicazione $*$ ecc...
Per esempio, se prendo il sottoinsieme del tipo $+={((1,1),2),((2,3),5),((2,2),4)...}$ ottengo un sottoinsieme (operazione) di $(A xx A) xx A$ che si chiama "somma". Stando a quello che c'è scritto su wikipedia, l'immagine corrispondente alla coppia di punti $(a,b)$ della generica coppia $((a,b),c)$, cioè $c$, si indica anche come $a+b$. Per esempio, considerando l'insieme $+$ sopra scritto, prendiamo l'elemento $((2,3),5)$. L'immagine di tale coppia, cioè il numero $5$, si può anche indicare con il simbolo $2+3$; dunque, la scrittura $2+3=5$ rappresenta un'identità, in quanto $2+3$ è $5$ e quindi non ho scritto altro che $5=5$, cioè una uguaglianza vera.
E' giusto quello che ho detto?
Grazie mille
Risposte
Si, scusa hai ragione 
$ZZ$ è definito come l'insieme quoziente $(NN times NN)/-=$ rispetto alla seguente relazione di equivalenza:
$(a,b)-=(c,d)<=>a-b=c-d$ , o equivalentemente $(a,b)-=(c,d)<=>a+d=c+b$ con $a,b,c,d in NN$
quindi se identifichiamo l'intero $7$ con la coppia $(9,2)$, questa coppia sarà equivalente a infinite coppie:
$(9,2)-=(8,1)-=(7,0)-=(17,10)-=(18,11)-=....$, proprio perchè la differenza tra gli elementi delle coppie è sempre $7$.
$ZZ$ è definito come l'insieme quoziente $(NN times NN)/-=$ rispetto alla seguente relazione di equivalenza:
$(a,b)-=(c,d)<=>a-b=c-d$ , o equivalentemente $(a,b)-=(c,d)<=>a+d=c+b$ con $a,b,c,d in NN$
quindi se identifichiamo l'intero $7$ con la coppia $(9,2)$, questa coppia sarà equivalente a infinite coppie:
$(9,2)-=(8,1)-=(7,0)-=(17,10)-=(18,11)-=....$, proprio perchè la differenza tra gli elementi delle coppie è sempre $7$.
Mi intrufolo nella discussione per fare un appunto:
Tutto il resto è correttissimo
"GundamRX91":Questo non lo puoi dire: nei numeri naturali la sottrazione non è ovunque definita.
$(a,b)-=(c,d)<=>a-b=c-d$
Tutto il resto è correttissimo
"Gi8":Questo non lo puoi dire: nei numeri naturali la sottrazione non è ovunque definita.
Mi intrufolo nella discussione per fare un appunto:[quote="GundamRX91"]$(a,b)-=(c,d)<=>a-b=c-d$
Tutto il resto è correttissimo[/quote]
Si si, lo so, infatti ho indicato dopo la relazione "realmente" corretta
grazie a entrambi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo