Domande sulle operazioni
Salve ragazzi, premetto che quello che scriverò sarà poco rigoroso e poco dettagliato. Ogni tanto mi passa qualche grillo per la testa e devo per forza approfondire, per quanto mi è possibile, la questione altrimenti non mi sento felice.
Studio Ingegneria Meccanica, quindi non devo fare esami di algebra (solo di algebra lineare, però non capisco a cosa serva fare algebra lineare se prima non si è studiata per bene l'algebra "normale"), nè tantomeno possiedo un libro di algebra da cui studiare seriamente la questione di cui parlerò, però mi interessa sapere se grosso modo le cose vanno come scriverò.
Quel poco di Algebra che ho imparato l'ho imparato rileggendo il libro del liceo, leggendo qua e là sul web e facendo domande nella sezione Algebra di questo forum.
Un giorno, se avrò tempo, comprerò un libro di Algebra e lo studierò come si deve.
Tutti sappiamo (a livello intuitivo, a meno che non siamo matematici) che due più due fa quattro, che tre per due fa sei e cosi via. Io volevo cercare di essere più consapevole di queste cose.
So che cos'è un insieme, che cos'è una coppia ordinata, il prodotto cartesiano di due o più insiemi, qual è la definizione di funzione, di relazione, e di operazione.
Prendiamo un insieme numerico $A$ (uno a caso, senza entrare nei dettagli, che non conosco).
Di questo insieme ne faccio il prodotto cartesiano, ottenendo l'insieme $A xx A:=C$. Prendo poi questo insieme $C$ e ne faccio nuovamente il prodotto cartesiano con $A$, ottenendo l'insieme $(A xx A) xx A$.
Questo insieme sarà formato da moltissime coppie ordinate del tipo $((a,b),c)$ giusto?
Un'operazione binaria in $A$ è una qualunque funzione che si può ottenere dall'insieme $(A xx A) xx A$, cioè è un qualunque sottoinsieme di $(A xx A) xx A$ tale che non esistono due coppie ordinate con lo stesso primo elemento, giusto?
Ora, dall'insieme $(A xx A) xx A$ posso estrapolare vari sottoinsiemi, in particolare varie operazioni, per esempio la somma $+$, la moltiplicazione $*$ ecc...
Per esempio, se prendo il sottoinsieme del tipo $+={((1,1),2),((2,3),5),((2,2),4)...}$ ottengo un sottoinsieme (operazione) di $(A xx A) xx A$ che si chiama "somma". Stando a quello che c'è scritto su wikipedia, l'immagine corrispondente alla coppia di punti $(a,b)$ della generica coppia $((a,b),c)$, cioè $c$, si indica anche come $a+b$. Per esempio, considerando l'insieme $+$ sopra scritto, prendiamo l'elemento $((2,3),5)$. L'immagine di tale coppia, cioè il numero $5$, si può anche indicare con il simbolo $2+3$; dunque, la scrittura $2+3=5$ rappresenta un'identità, in quanto $2+3$ è $5$ e quindi non ho scritto altro che $5=5$, cioè una uguaglianza vera.
E' giusto quello che ho detto?
Grazie mille
Studio Ingegneria Meccanica, quindi non devo fare esami di algebra (solo di algebra lineare, però non capisco a cosa serva fare algebra lineare se prima non si è studiata per bene l'algebra "normale"), nè tantomeno possiedo un libro di algebra da cui studiare seriamente la questione di cui parlerò, però mi interessa sapere se grosso modo le cose vanno come scriverò.
Quel poco di Algebra che ho imparato l'ho imparato rileggendo il libro del liceo, leggendo qua e là sul web e facendo domande nella sezione Algebra di questo forum.
Un giorno, se avrò tempo, comprerò un libro di Algebra e lo studierò come si deve.
Tutti sappiamo (a livello intuitivo, a meno che non siamo matematici) che due più due fa quattro, che tre per due fa sei e cosi via. Io volevo cercare di essere più consapevole di queste cose.
So che cos'è un insieme, che cos'è una coppia ordinata, il prodotto cartesiano di due o più insiemi, qual è la definizione di funzione, di relazione, e di operazione.
Prendiamo un insieme numerico $A$ (uno a caso, senza entrare nei dettagli, che non conosco).
Di questo insieme ne faccio il prodotto cartesiano, ottenendo l'insieme $A xx A:=C$. Prendo poi questo insieme $C$ e ne faccio nuovamente il prodotto cartesiano con $A$, ottenendo l'insieme $(A xx A) xx A$.
Questo insieme sarà formato da moltissime coppie ordinate del tipo $((a,b),c)$ giusto?
Un'operazione binaria in $A$ è una qualunque funzione che si può ottenere dall'insieme $(A xx A) xx A$, cioè è un qualunque sottoinsieme di $(A xx A) xx A$ tale che non esistono due coppie ordinate con lo stesso primo elemento, giusto?
Ora, dall'insieme $(A xx A) xx A$ posso estrapolare vari sottoinsiemi, in particolare varie operazioni, per esempio la somma $+$, la moltiplicazione $*$ ecc...
Per esempio, se prendo il sottoinsieme del tipo $+={((1,1),2),((2,3),5),((2,2),4)...}$ ottengo un sottoinsieme (operazione) di $(A xx A) xx A$ che si chiama "somma". Stando a quello che c'è scritto su wikipedia, l'immagine corrispondente alla coppia di punti $(a,b)$ della generica coppia $((a,b),c)$, cioè $c$, si indica anche come $a+b$. Per esempio, considerando l'insieme $+$ sopra scritto, prendiamo l'elemento $((2,3),5)$. L'immagine di tale coppia, cioè il numero $5$, si può anche indicare con il simbolo $2+3$; dunque, la scrittura $2+3=5$ rappresenta un'identità, in quanto $2+3$ è $5$ e quindi non ho scritto altro che $5=5$, cioè una uguaglianza vera.
E' giusto quello che ho detto?
Grazie mille
Risposte
Salve lisdap,
purtroppo wikipedia in certe cose non è ben ferrato, come rigorosità matematica, ma comunque può andare bene, io preferisco leggere sempre testi o almeno qualche appunto di un prof....
Cordiali saluti
"lisdap":
Ciao garnak, le definizioni che so io sono quelle che ho letto su wikipedia.
L'ho letto da wikipedia.
purtroppo wikipedia in certe cose non è ben ferrato, come rigorosità matematica, ma comunque può andare bene, io preferisco leggere sempre testi o almeno qualche appunto di un prof....
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
Salve lisdap,
questa è una legge di composizione (o operazione) esterna... quindi ti basta la def. di ciò
Ok, grazie!
"garnak.olegovitc":
ma non saprei, se una simile costruzione l' hai letta in qualche libro posta magari il titolo...
Cordiali saluti
No, non l'ho letta da nessuna parte (anche perchè non ho nessun libro di tal tipo), me la sono inventata coerentemente con quanto so.
Salve lisdap,
potrebbe funzionare...
l'intuito serve, ma, a mio parere, è più elegante e giusto formalizzarlo in termini matematici...
Studi fisica?
Cordiali saluti
"lisdap":
Non saprei, insieme delle freccette va bene?
potrebbe funzionare...
"lisdap":
Sui libri di fisica c'è scritto che la somma di due segmenti orientati gode della proprietà commutativa, quindi io mi sono chiesto: perchè? E ho dato la risposta che ho scritto, a intuito.
l'intuito serve, ma, a mio parere, è più elegante e giusto formalizzarlo in termini matematici...
Studi fisica?
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
Salve lisdap,
purtroppo wikipedia in certe cose non è ben ferrato, come rigorosità matematica, ma comunque può andare bene, io preferisco leggere sempre testi o almeno qualche appunto di un prof....
Cordiali saluti
Si, hai ragione, però per quelli che sono i miei obiettivi al momento va più che bene. Quando avrò del tempo da impiegare studierò seriamente un testo di algebra.
"garnak.olegovitc":
Studi fisica?
Cordiali saluti
Come c'è scritto nella firma, ingegneria meccanica
Salve lisdap,
condivido, come input non è male.
Cordiali saluti
"lisdap":
Si, hai ragione, però per quelli che sono i miei obiettivi al momento va più che bene. Quando avrò del tempo da impiegare studierò seriamente un testo di algebra.
condivido, come input non è male.
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
Salve lisdap,
condivido, come input non è male.
Cordiali saluti
Mi fa piacere
Salve lisdap,
hai ragione, sono stato distratto... scusami
Cordiali saluti
"lisdap":
Come c'è scritto nella firma, ingegneria meccanica
hai ragione, sono stato distratto... scusami
Cordiali saluti
Salve lisdap,
io di solito uso wikipedia anche in lingua inglese e tedesca, perchè alcune pagine in italiano non sono altro che traduzioni di queste..
Cordiali saluti
"lisdap":
[
Mi fa piacere
io di solito uso wikipedia anche in lingua inglese e tedesca, perchè alcune pagine in italiano non sono altro che traduzioni di queste..
Cordiali saluti
Salve lisdap,
mi sento in vena di scrivere, e vorrei fornire almeno le def. di operazione interna, ed esterna, binaria:
un'operazione binaria è una funzione $f:S->A$ con $S sube TxxR$, se $T=A$ e $R=A$ allora è interna, mentre se $T!=A$ e $R=A$ allora è esterna.
Cordiali saluti
mi sento in vena di scrivere, e vorrei fornire almeno le def. di operazione interna, ed esterna, binaria:
un'operazione binaria è una funzione $f:S->A$ con $S sube TxxR$, se $T=A$ e $R=A$ allora è interna, mentre se $T!=A$ e $R=A$ allora è esterna.
Cordiali saluti
Come avevo anticipato sopra, aggiungo dell'altro, che più che altro è un quadro generale della situazione.
Prendiamo due insiemi $A$ e $B$ e definiamo una funzione da $A$ a $B$, che, formalmente, è definita nel modo che ho ripetuto più volte.
Una funzione è un caso particolare di relazione tra due insiemi, con l'ulteriore condizione che non esistono in $f$ coppie ordinate diverse con lo stesso primo elemento.
La grande importanza di questo insieme chiamato funzione sta nel fatto che esso mi fornisce un criterio per associare ad ogni elemento di $A$ uno ed un solo elemento di $B$. E' proprio il fatto che non esistono due coppie ordinate diverse con lo stesso primo elemento a garantirmi ciò. Se io ho due insiemi e definisco tra di essi una funzione $f$, cioè un certo insieme di coppie ordinate, allora ho un criterio che mi permette di associare in modo univoco ad un elemento di $A$ un elemento di $B$. Se $f$ non fosse una funzione, ma una generica relazione, non avrei un criterio per associare in maniera univoca ad un elemento di $A$ un elemento di $B$, in quanto ad un elemento di $A$ potrebbero esservi associati due elementi di $B$.
Se non avessi definito preliminarmente nè una funzione da $A$ a $B$, nè una relazione, allora non avrei alcun criterio che mi permette di associare ad un elemento di $A$ un elemento di $B$.
Quindi, in tal ottica, una funzione si può definire anche come una legge che associa ad ogni elemento di $A$ uno ed un solo elemento di $B$, anche se come ho già ripetuto più volte questa definizione non mi piace particolarmente.
Veniamo ora alle operazioni. Anzichè definire una funzione tra $A$ e $B$, potrei definire una funzione tra $A$ e $A$ stesso, che se non erro dovrebbe essere detta operazione unaria interna.
Oppure potrei definire una funzione tra $A xx A$ e $A$, cioè un sottoinsieme di $(A xx A) xx A$ che sia una funzione, detto operazione binaria interna.
A che mi serve fare ciò? Perchè sull'insieme $V$ dei segmenti orientati, per esempio, dovrei definire una operazione binaria interna quale la somma?
Come ho già detto nel caso delle funzioni, se io possiedo un insieme $V$ e ne definisco un particolare sottoinsieme $+ sub (V xx V) xx V$, ho un insieme di coppie ordinate del tipo $((a,b),c)$. L'aver definito $+$ mi permette di avere a disposizione un criterio che mi permette di associare a due elementi di $V$ un elemento di $V$.
Insomma, la frase "legge che associa ad un elemento di un insieme un elemento (o più) di un'altro insieme (o dello stesso insieme) non ha alcun significato se prima non si definisce un opportuno insieme di coppie ordinate (funzioni, operazioni).
Una volta definiti questi insiemi, la frase di prima acquista significato.
Ha senso questo discorso?
Prendiamo due insiemi $A$ e $B$ e definiamo una funzione da $A$ a $B$, che, formalmente, è definita nel modo che ho ripetuto più volte.
Una funzione è un caso particolare di relazione tra due insiemi, con l'ulteriore condizione che non esistono in $f$ coppie ordinate diverse con lo stesso primo elemento.
La grande importanza di questo insieme chiamato funzione sta nel fatto che esso mi fornisce un criterio per associare ad ogni elemento di $A$ uno ed un solo elemento di $B$. E' proprio il fatto che non esistono due coppie ordinate diverse con lo stesso primo elemento a garantirmi ciò. Se io ho due insiemi e definisco tra di essi una funzione $f$, cioè un certo insieme di coppie ordinate, allora ho un criterio che mi permette di associare in modo univoco ad un elemento di $A$ un elemento di $B$. Se $f$ non fosse una funzione, ma una generica relazione, non avrei un criterio per associare in maniera univoca ad un elemento di $A$ un elemento di $B$, in quanto ad un elemento di $A$ potrebbero esservi associati due elementi di $B$.
Se non avessi definito preliminarmente nè una funzione da $A$ a $B$, nè una relazione, allora non avrei alcun criterio che mi permette di associare ad un elemento di $A$ un elemento di $B$.
Quindi, in tal ottica, una funzione si può definire anche come una legge che associa ad ogni elemento di $A$ uno ed un solo elemento di $B$, anche se come ho già ripetuto più volte questa definizione non mi piace particolarmente.
Veniamo ora alle operazioni. Anzichè definire una funzione tra $A$ e $B$, potrei definire una funzione tra $A$ e $A$ stesso, che se non erro dovrebbe essere detta operazione unaria interna.
Oppure potrei definire una funzione tra $A xx A$ e $A$, cioè un sottoinsieme di $(A xx A) xx A$ che sia una funzione, detto operazione binaria interna.
A che mi serve fare ciò? Perchè sull'insieme $V$ dei segmenti orientati, per esempio, dovrei definire una operazione binaria interna quale la somma?
Come ho già detto nel caso delle funzioni, se io possiedo un insieme $V$ e ne definisco un particolare sottoinsieme $+ sub (V xx V) xx V$, ho un insieme di coppie ordinate del tipo $((a,b),c)$. L'aver definito $+$ mi permette di avere a disposizione un criterio che mi permette di associare a due elementi di $V$ un elemento di $V$.
Insomma, la frase "legge che associa ad un elemento di un insieme un elemento (o più) di un'altro insieme (o dello stesso insieme) non ha alcun significato se prima non si definisce un opportuno insieme di coppie ordinate (funzioni, operazioni).
Una volta definiti questi insiemi, la frase di prima acquista significato.
Ha senso questo discorso?
Salve lisdap,
anche a me non piace, poichè non si definisce il concetto di legge.... ma questa è un'altra storia.
non saprei perchè serve, forse perchè soddisfa l'operazioni di somma, difatti era per questo che ti chiedevo una def. rigorosa di questo insieme... oppure puoi postulare che nell'insieme è definita l'operazione binaria di somma.
condivido in parte perchè non è necessario avere insiemi di coppie ordinate...
Insomma, forse il tuo problema è concettuale.... il concetto di legge e il concetto di funzione sono simili come anche i concetti di insieme e di collezione, e dire che "uno è l'altro" non ha senso matematicamente parlando col rischio di entrare in un circolo vizioso dal quale difficilmente se ne esce a meno che si accetta di definirlo come concetto primitivo, purtroppo l'algebra più volte definisce il concetto di insiemi come collezione di oggetti qualsiasi (dimenticandosi dell'insieme vuoto), la coppia ordinata come un oggetto qualsiasi in cui è possibile distinguere un primo elemento e un secondo elemento, il concetto di funzione come legge, il concetto di matrice come tabella... e così via, sto dicendo questo non perchè è sbagliato ma perchè si è fatto così per secoli (e personalmente ritengo errato), poi ognugno ha un suo pensiero in merito.
Cordiali saluti
"lisdap":
Come avevo anticipato sopra, aggiungo dell'altro, che più che altro è un quadro generale della situazione.
Prendiamo due insiemi $A$ e $B$ e definiamo una funzione da $A$ a $B$, che, formalmente, è definita nel modo che ho ripetuto più volte.
Una funzione è un caso particolare di relazione tra due insiemi, con l'ulteriore condizione che non esistono in $f$ coppie ordinate diverse con lo stesso primo elemento.
La grande importanza di questo insieme chiamato funzione sta nel fatto che esso mi fornisce un criterio per associare ad ogni elemento di $A$ uno ed un solo elemento di $B$. E' proprio il fatto che non esistono due coppie ordinate diverse con lo stesso primo elemento a garantirmi ciò. Se io ho due insiemi e definisco tra di essi una funzione $f$, cioè un certo insieme di coppie ordinate, allora ho un criterio che mi permette di associare in modo univoco ad un elemento di $A$ un elemento di $B$. Se $f$ non fosse una funzione, ma una generica relazione, non avrei un criterio per associare in maniera univoca ad un elemento di $A$ un elemento di $B$, in quanto ad un elemento di $A$ potrebbero esservi associati due elementi di $B$.
Se non avessi definito preliminarmente nè una funzione da $A$ a $B$, nè una relazione, allora non avrei alcun criterio che mi permette di associare ad un elemento di $A$ un elemento di $B$.
Quindi, in tal ottica, una funzione si può definire anche come una legge che associa ad ogni elemento di $A$ uno ed un solo elemento di $B$, anche se come ho già ripetuto più volte questa definizione non mi piace particolarmente.
anche a me non piace, poichè non si definisce il concetto di legge.... ma questa è un'altra storia.
"lisdap":
Veniamo ora alle operazioni. Anzichè definire una funzione tra $A$ e $B$, potrei definire una funzione tra $A$ e $A$ stesso, che se non erro dovrebbe essere detta operazione unaria interna.
Oppure potrei definire una funzione tra $A xx A$ e $A$, cioè un sottoinsieme di $(A xx A) xx A$ che sia una funzione, detto operazione binaria interna.
A che mi serve fare ciò? Perchè sull'insieme $V$ dei segmenti orientati, per esempio, dovrei definire una operazione binaria interna quale la somma?
non saprei perchè serve, forse perchè soddisfa l'operazioni di somma, difatti era per questo che ti chiedevo una def. rigorosa di questo insieme... oppure puoi postulare che nell'insieme è definita l'operazione binaria di somma.
"lisdap":
Insomma, la frase "legge che associa ad un elemento di un insieme un elemento (o più) di un'altro insieme (o dello stesso insieme) non ha alcun significato se prima non si definisce un opportuno insieme di coppie ordinate (funzioni, operazioni).
Una volta definiti questi insiemi, la frase di prima acquista significato.
Ha senso questo discorso?
condivido in parte perchè non è necessario avere insiemi di coppie ordinate...
Insomma, forse il tuo problema è concettuale.... il concetto di legge e il concetto di funzione sono simili come anche i concetti di insieme e di collezione, e dire che "uno è l'altro" non ha senso matematicamente parlando col rischio di entrare in un circolo vizioso dal quale difficilmente se ne esce a meno che si accetta di definirlo come concetto primitivo, purtroppo l'algebra più volte definisce il concetto di insiemi come collezione di oggetti qualsiasi (dimenticandosi dell'insieme vuoto), la coppia ordinata come un oggetto qualsiasi in cui è possibile distinguere un primo elemento e un secondo elemento, il concetto di funzione come legge, il concetto di matrice come tabella... e così via, sto dicendo questo non perchè è sbagliato ma perchè si è fatto così per secoli (e personalmente ritengo errato), poi ognugno ha un suo pensiero in merito.
Cordiali saluti
"gugo82":
E, secondo te, la Matematica può mai ridursi al mero asserire delle tautologie?
I filosofi dicono che la Matematica e' l'arte di dire tautologie nella maniera piu' complicata possibile.
E, sinceramente, non riesco a dargli tutti i torti.
Salve Valerio Capraro,
non condivido preferendo questa definizione .
Cordiali saluti
"Valerio Capraro":
I filosofi dicono che la Matematica e' l'arte di dire tautologie nella maniera piu' complicata possibile.
E, sinceramente, non riesco a dargli tutti i torti.
non condivido preferendo questa definizione .
Cordiali saluti
"Valerio Capraro":
[quote="gugo82"]
E, secondo te, la Matematica può mai ridursi al mero asserire delle tautologie?
I filosofi dicono che la Matematica e' l'arte di dire tautologie nella maniera piu' complicata possibile.
E, sinceramente, non riesco a dargli tutti i torti.[/quote]
Si vede che questi filosofi di Matematica ne hanno masticata molto poca!
"lisdap":
Se non ricordo male il simbolo $-=$ significa che due cose coincidono, o sbaglio?
Credo che si usi in geometria, per dire ad esempio che il punto A occupa la stessa posizione del punto B si scrive $A-=B$
"gio73":
[quote="lisdap"]
Se non ricordo male il simbolo $-=$ significa che due cose coincidono, o sbaglio?
Credo che si usi in geometria, per dire ad esempio che il punto A occupa la stessa posizione del punto B si scrive $A-=B$[/quote]
oppure in Algebra per indicare due oggetti equivalenti.
Nella teoria degli insiemi?
due insiemi uguali o equipotenti?
due insiemi uguali o equipotenti?
No, no, ad esempio nelle relazioni di equivalenza, come nella definizione di $ZZ$.
Spiegati meglio..., magari con un esempio!
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo