Domande sulle operazioni
Salve ragazzi, premetto che quello che scriverò sarà poco rigoroso e poco dettagliato. Ogni tanto mi passa qualche grillo per la testa e devo per forza approfondire, per quanto mi è possibile, la questione altrimenti non mi sento felice.
Studio Ingegneria Meccanica, quindi non devo fare esami di algebra (solo di algebra lineare, però non capisco a cosa serva fare algebra lineare se prima non si è studiata per bene l'algebra "normale"), nè tantomeno possiedo un libro di algebra da cui studiare seriamente la questione di cui parlerò, però mi interessa sapere se grosso modo le cose vanno come scriverò.
Quel poco di Algebra che ho imparato l'ho imparato rileggendo il libro del liceo, leggendo qua e là sul web e facendo domande nella sezione Algebra di questo forum.
Un giorno, se avrò tempo, comprerò un libro di Algebra e lo studierò come si deve.
Tutti sappiamo (a livello intuitivo, a meno che non siamo matematici) che due più due fa quattro, che tre per due fa sei e cosi via. Io volevo cercare di essere più consapevole di queste cose.
So che cos'è un insieme, che cos'è una coppia ordinata, il prodotto cartesiano di due o più insiemi, qual è la definizione di funzione, di relazione, e di operazione.
Prendiamo un insieme numerico $A$ (uno a caso, senza entrare nei dettagli, che non conosco).
Di questo insieme ne faccio il prodotto cartesiano, ottenendo l'insieme $A xx A:=C$. Prendo poi questo insieme $C$ e ne faccio nuovamente il prodotto cartesiano con $A$, ottenendo l'insieme $(A xx A) xx A$.
Questo insieme sarà formato da moltissime coppie ordinate del tipo $((a,b),c)$ giusto?
Un'operazione binaria in $A$ è una qualunque funzione che si può ottenere dall'insieme $(A xx A) xx A$, cioè è un qualunque sottoinsieme di $(A xx A) xx A$ tale che non esistono due coppie ordinate con lo stesso primo elemento, giusto?
Ora, dall'insieme $(A xx A) xx A$ posso estrapolare vari sottoinsiemi, in particolare varie operazioni, per esempio la somma $+$, la moltiplicazione $*$ ecc...
Per esempio, se prendo il sottoinsieme del tipo $+={((1,1),2),((2,3),5),((2,2),4)...}$ ottengo un sottoinsieme (operazione) di $(A xx A) xx A$ che si chiama "somma". Stando a quello che c'è scritto su wikipedia, l'immagine corrispondente alla coppia di punti $(a,b)$ della generica coppia $((a,b),c)$, cioè $c$, si indica anche come $a+b$. Per esempio, considerando l'insieme $+$ sopra scritto, prendiamo l'elemento $((2,3),5)$. L'immagine di tale coppia, cioè il numero $5$, si può anche indicare con il simbolo $2+3$; dunque, la scrittura $2+3=5$ rappresenta un'identità, in quanto $2+3$ è $5$ e quindi non ho scritto altro che $5=5$, cioè una uguaglianza vera.
E' giusto quello che ho detto?
Grazie mille
Studio Ingegneria Meccanica, quindi non devo fare esami di algebra (solo di algebra lineare, però non capisco a cosa serva fare algebra lineare se prima non si è studiata per bene l'algebra "normale"), nè tantomeno possiedo un libro di algebra da cui studiare seriamente la questione di cui parlerò, però mi interessa sapere se grosso modo le cose vanno come scriverò.
Quel poco di Algebra che ho imparato l'ho imparato rileggendo il libro del liceo, leggendo qua e là sul web e facendo domande nella sezione Algebra di questo forum.
Un giorno, se avrò tempo, comprerò un libro di Algebra e lo studierò come si deve.
Tutti sappiamo (a livello intuitivo, a meno che non siamo matematici) che due più due fa quattro, che tre per due fa sei e cosi via. Io volevo cercare di essere più consapevole di queste cose.
So che cos'è un insieme, che cos'è una coppia ordinata, il prodotto cartesiano di due o più insiemi, qual è la definizione di funzione, di relazione, e di operazione.
Prendiamo un insieme numerico $A$ (uno a caso, senza entrare nei dettagli, che non conosco).
Di questo insieme ne faccio il prodotto cartesiano, ottenendo l'insieme $A xx A:=C$. Prendo poi questo insieme $C$ e ne faccio nuovamente il prodotto cartesiano con $A$, ottenendo l'insieme $(A xx A) xx A$.
Questo insieme sarà formato da moltissime coppie ordinate del tipo $((a,b),c)$ giusto?
Un'operazione binaria in $A$ è una qualunque funzione che si può ottenere dall'insieme $(A xx A) xx A$, cioè è un qualunque sottoinsieme di $(A xx A) xx A$ tale che non esistono due coppie ordinate con lo stesso primo elemento, giusto?
Ora, dall'insieme $(A xx A) xx A$ posso estrapolare vari sottoinsiemi, in particolare varie operazioni, per esempio la somma $+$, la moltiplicazione $*$ ecc...
Per esempio, se prendo il sottoinsieme del tipo $+={((1,1),2),((2,3),5),((2,2),4)...}$ ottengo un sottoinsieme (operazione) di $(A xx A) xx A$ che si chiama "somma". Stando a quello che c'è scritto su wikipedia, l'immagine corrispondente alla coppia di punti $(a,b)$ della generica coppia $((a,b),c)$, cioè $c$, si indica anche come $a+b$. Per esempio, considerando l'insieme $+$ sopra scritto, prendiamo l'elemento $((2,3),5)$. L'immagine di tale coppia, cioè il numero $5$, si può anche indicare con il simbolo $2+3$; dunque, la scrittura $2+3=5$ rappresenta un'identità, in quanto $2+3$ è $5$ e quindi non ho scritto altro che $5=5$, cioè una uguaglianza vera.
E' giusto quello che ho detto?
Grazie mille
Risposte
Nel frattempo che qualcuno mi risponde al primo post, continuo scrivendo dell'altro.
Consideriamo l'insieme $V$ che ha per elementi dei segmenti orientati. Cosi come per ogni insieme, sull'insieme $V$ è possibile definire una serie di operazioni.
Una prima operazione è quella di somma.
SOMMA:
Consideriamo l'insieme $(V xx V) xx V$. Se quello che ho detto prima è corretto, esso sarà costituito da elementi del tipo $((a,b),c)$. Un sottoinsieme di $(V xx V) xx V$ che sia una funzione, cioè tale che non esistono in esso due coppie ordinate con lo stesso primo elemento, viene detto operazione.
Fra tutte le operazioni che si possono "estrapolare" da $(V xx V) xx V$ prendiamo quella che è detta somma. I suoi elementi, che saranno coppie ordinate del tipo $((a,b),c)$ saranno tali che il segmento orientato secondo elemento della generica coppia ($c$ in questo caso), disegnando $a$ e $b$ in modo tale che i loro punti iniziali coincidano, è la diagonale del parallelogramma costituito dai segmenti orientati $a$ e $b$. L'operazione di somma è stata definita in questo modo per ragioni fisiche, dal momento che si è osservato che un punto materiale soggetto all'azione simultanea di due forze $vec F_1$ e $vec F_2$ si comporta come se fosse soggetto ad una forza $vec F$ rappresentabile con un segmento orientato diagonale del parallelogramma costituito da $vec F_1$ e $vec F_2$. Stando a quello che ho detto nel primo post, il segmento somma di $a$ e $b$, cioè $c$ viene anche indicato con il simbolo $a+b$, dove $+$ è il simbolo dell'insieme somma, sottoinsieme di $(V xx V) xx V$. Dunque, una scrittura del tipo $c=a+b$ è un'uguaglianza vera, cioè un identità (sto dicendo che $c=c$, il che è vero).
Se quello che ho scritto in questo secondo post è corretto, vi chiedo a voi esperti:
Perchè l'operazione di somma (facciamo nel caso dell'insieme dei segmenti orientati) gode della proprietà commutativa?
La risposta che darei io è: perchè l'insieme detto somma è stato appunto preso in modo tale che per ogni coppia del tipo $((a,b),c)$ esista una coppia del tipo $((b,a),c)$...che ne dite?
Grazie mille
Consideriamo l'insieme $V$ che ha per elementi dei segmenti orientati. Cosi come per ogni insieme, sull'insieme $V$ è possibile definire una serie di operazioni.
Una prima operazione è quella di somma.
SOMMA:
Consideriamo l'insieme $(V xx V) xx V$. Se quello che ho detto prima è corretto, esso sarà costituito da elementi del tipo $((a,b),c)$. Un sottoinsieme di $(V xx V) xx V$ che sia una funzione, cioè tale che non esistono in esso due coppie ordinate con lo stesso primo elemento, viene detto operazione.
Fra tutte le operazioni che si possono "estrapolare" da $(V xx V) xx V$ prendiamo quella che è detta somma. I suoi elementi, che saranno coppie ordinate del tipo $((a,b),c)$ saranno tali che il segmento orientato secondo elemento della generica coppia ($c$ in questo caso), disegnando $a$ e $b$ in modo tale che i loro punti iniziali coincidano, è la diagonale del parallelogramma costituito dai segmenti orientati $a$ e $b$. L'operazione di somma è stata definita in questo modo per ragioni fisiche, dal momento che si è osservato che un punto materiale soggetto all'azione simultanea di due forze $vec F_1$ e $vec F_2$ si comporta come se fosse soggetto ad una forza $vec F$ rappresentabile con un segmento orientato diagonale del parallelogramma costituito da $vec F_1$ e $vec F_2$. Stando a quello che ho detto nel primo post, il segmento somma di $a$ e $b$, cioè $c$ viene anche indicato con il simbolo $a+b$, dove $+$ è il simbolo dell'insieme somma, sottoinsieme di $(V xx V) xx V$. Dunque, una scrittura del tipo $c=a+b$ è un'uguaglianza vera, cioè un identità (sto dicendo che $c=c$, il che è vero).
Se quello che ho scritto in questo secondo post è corretto, vi chiedo a voi esperti:
Perchè l'operazione di somma (facciamo nel caso dell'insieme dei segmenti orientati) gode della proprietà commutativa?
La risposta che darei io è: perchè l'insieme detto somma è stato appunto preso in modo tale che per ogni coppia del tipo $((a,b),c)$ esista una coppia del tipo $((b,a),c)$...che ne dite?
Grazie mille
"lisdap":
Tutti sappiamo (a livello intuitivo, a meno che non siamo matematici) che due più due fa quattro, che tre per due fa sei e cosi via.
Non è vero, non lo sai per intuizione.
Lo sai "per abitudine", cioè perché così ti hanno insegnato a contare fin dalle elementari.
Se ti avessero insegnato a contare in base sei, tre per due farebbe dieci.
"lisdap":
Per esempio, se prendo il sottoinsieme del tipo $+={((1,1),2),((2,3),5),((2,2),4)...}$ ottengo un sottoinsieme (operazione) di $(A xx A) xx A$ che si chiama "somma". Stando a quello che c'è scritto su wikipedia, l'immagine corrispondente alla coppia di punti $(a,b)$ della generica coppia $((a,b),c)$, cioè $c$, si indica anche come $a+b$. Per esempio, considerando l'insieme $+$ sopra scritto, prendiamo l'elemento $((2,3),5)$. L'immagine di tale coppia, cioè il numero $5$, si può anche indicare con il simbolo $2+3$; dunque, la scrittura $2+3=5$ rappresenta un'identità, in quanto $2+3$ è $5$ e quindi non ho scritto altro che $5=5$, cioè una uguaglianza vera.
Lisdap, ma perché ce l'hai così tanto con le tautologie?
Secondo te dire "\(5=5\)" ha qualche contenuto informativo rilevante?
E, secondo te, la Matematica può mai ridursi al mero asserire delle tautologie?
Ad ogni modo, ripeto quello che ho già detto altrove:
"gugo82":
\(a=b\) significa che "ad ogni occorrenza del simbolo \(a\) in una formula può essere sostituita un'occorrenza del simbolo \(b\) senza che la formula stessa perda significato".
In questo senso è da leggersi \(2+3=5\).
In altri termini, \(2+3=5\) ti sta dicendo: "Guarda, o tu che leggi: il valore della funzione \(+\) calcolato sulla coppia \((2,3)\) è \(5\); quindi ovunque tu veda \(5\) puoi sostituire \(2+3\), e viceversa".
"gugo82":
Quindi, un'uguaglianza è tale, cioè è vera per sua stessa natura e non va "risolta" per saper che essa è vera.
E questo significa che dire "uguaglianza vera" non ha alcun significato: un'uguaglianza o è un'uguaglianza o non lo è, non esistono uguaglianze "false".
"gugo82":
Non è vero, non lo sai per intuizione.
Lo sai "per abitudine", cioè perché così ti hanno insegnato a contare fin dalle elementari.
Si, intendevo questo, sono cose che ti insegnano alle elementari e che accetti cosi come sono!
"gugo82":
In altri termini, \(2+3=5\) ti sta dicendo: "Guarda, o tu che leggi: il valore della funzione \(+\) calcolato sulla coppia \((2,3)\) è \(5\); quindi ovunque tu veda \(5\) puoi sostituire \(2+3\), e viceversa".
Perfetto, e quindi quando si scrive che $2+3=5$, proprio perchè a $2+3$ si può sostituire il $5$ non si sta dicendo altro che $5=5$ o no? Lo so che questa cosa non ha alcun contenuto informativo, però se è come dici tu non si sarebbe dovuto scrivere, più correttamente, che $2+3-=5$?
"gugo82":
Quindi, un'uguaglianza è tale, cioè è vera per sua stessa natura e non va "risolta" per saper che essa è vera.
E questo significa che dire "uguaglianza vera" non ha alcun significato: un'uguaglianza o è un'uguaglianza o non lo è, non esistono uguaglianze "false".
Hai ragione, ho usato impropriamente il termine uguaglianza. Volevo dire che la scrittura $2+3=5$ ha un valore di verità vero.
In ogni caso, a parte queste sciocchezze, è corretto grossomodo quello che ho detto?
Grazie!
"lisdap":
[quote="gugo82"]
In altri termini, \(2+3=5\) ti sta dicendo: "Guarda, o tu che leggi: il valore della funzione \(+\) calcolato sulla coppia \((2,3)\) è \(5\); quindi ovunque tu veda \(5\) puoi sostituire \(2+3\), e viceversa".
Perfetto, e quindi quando si scrive che $2+3=5$, proprio perchè a $2+3$ si può sostituire il $5$ non si sta dicendo altro che $5=5$ o no?[/quote]
Sì, va bene... Ma è un modo assolutamente sterile di usare quella uguaglianza, non trovi?
Ad ogni modo, te l'ho appena scritto cosa dice e come interpretare quell'uguaglianza... Quindi, come al solito, nasce la domanda: leggi le risposte o fai solo finta?
"lisdap":
Lo so che questa cosa non ha alcun contenuto informativo, però se è come dici tu non si sarebbe dovuto scrivere, più correttamente, che $2+3-=5$?
E che significa \(2+3\equiv 5\)?
"lisdap":
[quote="gugo82"]Quindi, un'uguaglianza è tale, cioè è vera per sua stessa natura e non va "risolta" per saper che essa è vera.
E questo significa che dire "uguaglianza vera" non ha alcun significato: un'uguaglianza o è un'uguaglianza o non lo è, non esistono uguaglianze "false".
Hai ragione, ho usato impropriamente il termine uguaglianza. Volevo dire che la scrittura $2+3=5$ ha un valore di verità vero.
In ogni caso, a parte queste sciocchezze, è corretto grossomodo quello che ho detto?[/quote]
Beh, ti sei limitato a riferire delle definizioni ad un caso concreto (facendolo correttamente).
"gugo82":
Beh, ti sei limitato a riferire delle definizioni ad un caso concreto (facendolo correttamente).
Meno male, iniziamo ad andare d'accordo
Quindi delle operazioni possono essere definite su insiemi di qualsiasi natura, anche per esempio all'insieme "dei frutti commestibili"?
Nel caso dell'insieme dei segmenti orientati, perchè l'operazione di somma è commutativa?
Grazie e buona serata
"lisdap":
[quote="gugo82"]
Beh, ti sei limitato a riferire delle definizioni ad un caso concreto (facendolo correttamente).
Meno male, iniziamo ad andare d'accordo
Quindi delle operazioni possono essere definite su insiemi di qualsiasi natura, anche per esempio all'insieme "dei frutti commestibili"?[/quote]
Certo.
"lisdap":
Nel caso dell'insieme dei segmenti orientati, perchè l'operazione di somma è commutativa?
Usa la definizione per fare una dimostrazione.
"gugo82":
Usa la definizione per fare una dimostrazione.
Prendiamo l'insieme $V$ dei segmenti orientati e consideriamo $(V xx V) xx V$. Di questo insieme prendo solo quelle coppie ordinate che rispettano la seguente condizione: "il secondo elemento della coppia $((a,b),c)$, cioè $c$, è la diagonale del parallelogramma generato dai segmenti orientati $a$ e $b$". Radunando tutte le coppie che rispettano questa condizione ottengo un nuovo insieme (operazione), che viene detto somma giusto?
Dire che l'operazione di somma applicata ad un insieme di segmenti orientati è commutativa significa dire che se esiste nell'insieme somma una coppia del tipo $((a,b),c)$, esisterà anche la coppia $((b,a),c)$, per ogni $a,b,c in V$ giusto?
Io quindi dovrei dimostrare che il sottoinsieme di $(V xx V) xx V$ (somma) i cui elementi sono selezionati con il criterio che ho enunciato sopra è tale che se esiste la coppia $((a,b),c)$ allora esisterà anche la coppia $((b,a),c)$.
Questo fatto lo riesco solo ad intuire, però non saprei dimostrarlo come un bravo matematico farebbe!
EDIT: forse il fatto che è commutativa si può dedurre dal criterio che ho enunciato?
Cioè, se ho detto che le coppie ordinate che appartengono all'insieme somma sono quelle tali che "il secondo elemento della coppia $((a,b),c)$, cioè $c$, è la diagonale del parallelogramma generato dai segmenti orientati $a$ e $b$", allora è immediato concludere che se farà parte dell'insieme somma $((a,b),c)$, allora vi sarà anche $((b,a),c)$, in quanto anche quest'ultima coppia rispetta la condizione che ho enunciato....?
Certo, lisdap.
Basta fare un disegnino per vedere che se \(c\) è la diagonale del parallelogramma \((a,b)\), allora \(c\) è pure la diagonale del parallelogramma \((b,a)\).
Comunque, ancora non mi hai spiegato cosa vuol dire \(2+3\equiv 5\)...
Basta fare un disegnino per vedere che se \(c\) è la diagonale del parallelogramma \((a,b)\), allora \(c\) è pure la diagonale del parallelogramma \((b,a)\).
Comunque, ancora non mi hai spiegato cosa vuol dire \(2+3\equiv 5\)...
"gugo82":
Certo, lisdap.
Basta fare un disegnino per vedere che se \(c\) è la diagonale del parallelogramma \((a,b)\), allora \(c\) è pure la diagonale del parallelogramma \((b,a)\).
Ok, perfetto, grazie!
"gugo82":
Comunque, ancora non mi hai spiegato cosa vuol dire \(2+3\equiv 5\)...
Se non ricordo male il simbolo $-=$ significa che due cose coincidono, o sbaglio?
Procedo ancora.
Un'altra operazione che si può deifnire su $V$ è data dalla moltiplicazione di un segmento orientato per uno scalare.
La definizione rigorosa di questa operazione non l'ho trovata in giro, però se ho capito il meccanismo dovrebbe essere cosi.
Prendiamo un insieme di numeri reali $U$ e l'insieme $V$, e facciamo $(U xx V) xx V$. Avremo quindi un insieme i cui elementi sono coppie ordinate del tipo $((a,b),c)$, dove $a in U$e $b,c in V$.
Facciamo una prima selezione degli elementi di $(U xx V) xx V$, prendendo solo quelle coppie ordinate tali che i generici elementi $b$ e $c$ sono paralleli, e scartiamo le altre.
Facciamo poi una nuova selezione di queste coppie ordinate appena ottenute, prendendo soltanto quelle tali che se $a$ è positivo, $b$ e $c$ sono equiversi, e se $a$ è negativo, $b$ e $c$ hanno verso opposto, e scartiamo le altre. Infine, facciamo un'ultima selezione delle coppie appena ottenute prendendo soltanto quelle tali che la lunghezza di $b$ moltiplicata per il numero $a$ dà la lunghezza di $c$.
Radunando queste coppie in un insieme, otteniamo una nuova operazione che prende il nome di moltiplicazione per uno scalare. E' corretto questo procedimento?
Un'altra operazione che si può deifnire su $V$ è data dalla moltiplicazione di un segmento orientato per uno scalare.
La definizione rigorosa di questa operazione non l'ho trovata in giro, però se ho capito il meccanismo dovrebbe essere cosi.
Prendiamo un insieme di numeri reali $U$ e l'insieme $V$, e facciamo $(U xx V) xx V$. Avremo quindi un insieme i cui elementi sono coppie ordinate del tipo $((a,b),c)$, dove $a in U$e $b,c in V$.
Facciamo una prima selezione degli elementi di $(U xx V) xx V$, prendendo solo quelle coppie ordinate tali che i generici elementi $b$ e $c$ sono paralleli, e scartiamo le altre.
Facciamo poi una nuova selezione di queste coppie ordinate appena ottenute, prendendo soltanto quelle tali che se $a$ è positivo, $b$ e $c$ sono equiversi, e se $a$ è negativo, $b$ e $c$ hanno verso opposto, e scartiamo le altre. Infine, facciamo un'ultima selezione delle coppie appena ottenute prendendo soltanto quelle tali che la lunghezza di $b$ moltiplicata per il numero $a$ dà la lunghezza di $c$.
Radunando queste coppie in un insieme, otteniamo una nuova operazione che prende il nome di moltiplicazione per uno scalare. E' corretto questo procedimento?
Se ti fornisce il risultato sperato sì, altrimenti no... Tu che ne pensi?
"gugo82":
Se ti fornisce il risultato sperato sì, altrimenti no... Tu che ne pensi?
Penso che sia corretto perchè, a giudicare dalla definizione che ho dato, moltiplicare un segmento orientato per uno scalare ha senso.
Le due operazioni (somma e moltiplicazione per scalare) definite sull'insieme dei segmenti orientati $V$ mi permettono di scomporre un segmento orientato nella somma di due segmenti orientati, e di esprimere ciascuno di questi nel prodotto di un segmento orientato di lunghezza unitaria (versore) con un numero reale.
Nel caso in cui questo segmento orientato è rappresentato su un piano cartesiano, posso scegliere come direzioni di scomposizione gli assi del riferimento; quindi, ciascuno dei vettori componenti si potrà esprimere come prodotto di un versore per uno scalare. I due scalari così ottenuti vengono detti componenti cartesiane del segmento orientato $v$.
Definendo poi altre due operazioni su $V$, quali il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale, l'algebra dei segmenti orientati si può a mio avviso ritenere conclusa.
Ora l'altra domanda da un milione di euro è :qual è il collegamento tra l'algebra lineare che mi hanno fatto studiare nel corso di Geometria 1 (che poi ho fatto di tutto tranne che Geometria) e l'algebra dei segmenti orientati di cui parlano i testi di Fisica?
In algebra lineare io ho studiato l'insieme $RR^n$, le operazioni su di esso definite, ed i suoi elementi (insieme di n-uple ordinate dette vettori). Nell'algebra dei segmenti orientati si studia quello di cui abbiamo parlato in questo topic.
Qual è il collegamento tra le due algebre?
Nel caso in cui questo segmento orientato è rappresentato su un piano cartesiano, posso scegliere come direzioni di scomposizione gli assi del riferimento; quindi, ciascuno dei vettori componenti si potrà esprimere come prodotto di un versore per uno scalare. I due scalari così ottenuti vengono detti componenti cartesiane del segmento orientato $v$.
Definendo poi altre due operazioni su $V$, quali il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale, l'algebra dei segmenti orientati si può a mio avviso ritenere conclusa.
Ora l'altra domanda da un milione di euro è
:qual è il collegamento tra l'algebra lineare che mi hanno fatto studiare nel corso di Geometria 1 (che poi ho fatto di tutto tranne che Geometria) e l'algebra dei segmenti orientati di cui parlano i testi di Fisica?In algebra lineare io ho studiato l'insieme $RR^n$, le operazioni su di esso definite, ed i suoi elementi (insieme di n-uple ordinate dette vettori). Nell'algebra dei segmenti orientati si studia quello di cui abbiamo parlato in questo topic.
Qual è il collegamento tra le due algebre?
Salve lisdap,
scusatemi se mi intrometto
bene, cos'è allora un insieme? Perchè non ci fornisci le definizioni!
bhè si...
anche questo bhè è vero. Se lo hai letto in qualche libro potresti dire qual'è?
anche qui, è vero in parte purchè per estrapolare alcuni sottoinsiemi da $(A xx A) xx A$ definisci dei predicati, per ciascun sottoinsieme, in questo.
Da quello che scrivi sembrerebbe che scrivere $ 2+3=5$ non avrebbe senso giacchè è un'identita nota, il senso c'è ma non si vede o meglio non si esplicita perchè l'uguaglianza secondo te è intuitiva, invece è definita e bisognerebbe farlo rendendo la cosa ancora più rigorosa (bella rima con "osa"), sarebbe opportuno definire anche le operazioni come $+$ ma possiamo anche evitare....
Cordiali saluti
scusatemi se mi intrometto
"lisdap":
So che cos'è un insieme, che cos'è una coppia ordinata, il prodotto cartesiano di due o più insiemi, qual è la definizione di funzione, di relazione, e di operazione.
bene, cos'è allora un insieme? Perchè non ci fornisci le definizioni!
"lisdap":
Prendiamo un insieme numerico $A$ (uno a caso, senza entrare nei dettagli, che non conosco).
Di questo insieme ne faccio il prodotto cartesiano, ottenendo l'insieme $A xx A:=C$. Prendo poi questo insieme $C$ e ne faccio nuovamente il prodotto cartesiano con $A$, ottenendo l'insieme $(A xx A) xx A$.
Questo insieme sarà formato da moltissime coppie ordinate del tipo $((a,b),c)$ giusto?
bhè si...
"lisdap":
Un'operazione binaria in $A$ è una qualunque funzione che si può ottenere dall'insieme $(A xx A) xx A$, cioè è un qualunque sottoinsieme di $(A xx A) xx A$ tale che non esistono due coppie ordinate con lo stesso primo elemento, giusto?
anche questo bhè è vero. Se lo hai letto in qualche libro potresti dire qual'è?
"lisdap":
Ora, dall'insieme $(A xx A) xx A$ posso estrapolare vari sottoinsiemi, in particolare varie operazioni, per esempio la somma $+$, la moltiplicazione $*$ ecc...
Per esempio, se prendo il sottoinsieme del tipo $+={((1,1),2),((2,3),5),((2,2),4)...}$ ottengo un sottoinsieme (operazione) di $(A xx A) xx A$ che si chiama "somma". Stando a quello che c'è scritto su wikipedia, l'immagine corrispondente alla coppia di punti $(a,b)$ della generica coppia $((a,b),c)$, cioè $c$, si indica anche come $a+b$. Per esempio, considerando l'insieme $+$ sopra scritto, prendiamo l'elemento $((2,3),5)$. L'immagine di tale coppia, cioè il numero $5$, si può anche indicare con il simbolo $2+3$; dunque, la scrittura $2+3=5$ rappresenta un'identità, in quanto $2+3$ è $5$ e quindi non ho scritto altro che $5=5$, cioè una uguaglianza vera.
E' giusto quello che ho detto?
anche qui, è vero in parte purchè per estrapolare alcuni sottoinsiemi da $(A xx A) xx A$ definisci dei predicati, per ciascun sottoinsieme, in questo.
Da quello che scrivi sembrerebbe che scrivere $ 2+3=5$ non avrebbe senso giacchè è un'identita nota, il senso c'è ma non si vede o meglio non si esplicita perchè l'uguaglianza secondo te è intuitiva, invece è definita e bisognerebbe farlo rendendo la cosa ancora più rigorosa (bella rima con "osa"), sarebbe opportuno definire anche le operazioni come $+$ ma possiamo anche evitare....
Cordiali saluti
"lisdap":
Ora l'altra domanda da un milione di euro è
Lo spazio dei vettori applicati nello spazio è un esempio di spazio vettoriale di dimensione \(3\) (nel senso dell'Algebra Lineare).
Lisdap, ma davvero queste cose non sono scritte sui tuoi libri di testo?
Salve lisdap,
mi permetto ancora:
ma, per curiosità e completezza della discussione, come lo definiresti formalmente?
e le ragioni matematiche quali sarebbero.
ribadisco ciò detto nel mio primo post di questa discussione.
mha, dove l'hai letta la risposta? Le strutture algebriche possono essere presentate in diversi modi, tra i quali vi è quello di non esplicitare la proprietà commutativa ma di dedurla da altre proprietà... tu che struttura hai definito? In che modo? La maggior parte delle volte la proprietà commutativa, nelle strutture algebriche, la si postula e basta... tu come hai fatto?
bhè si in parte, col rischio di essere poco rigorosi.
Cordiali saluti
mi permetto ancora:
"lisdap":
Nel frattempo che qualcuno mi risponde al primo post, continuo scrivendo dell'altro.
Consideriamo l'insieme $V$ che ha per elementi dei segmenti orientati.
ma, per curiosità e completezza della discussione, come lo definiresti formalmente?
"lisdap":
L'operazione di somma è stata definita in questo modo per ragioni fisiche,
e le ragioni matematiche quali sarebbero.
"lisdap":
Stando a quello che ho detto nel primo post, il segmento somma di $a$ e $b$, cioè $c$ viene anche indicato con il simbolo $a+b$, dove $+$ è il simbolo dell'insieme somma, sottoinsieme di $(V xx V) xx V$. Dunque, una scrittura del tipo $c=a+b$ è un'uguaglianza vera, cioè un identità (sto dicendo che $c=c$, il che è vero).
ribadisco ciò detto nel mio primo post di questa discussione.
"lisdap":
Se quello che ho scritto in questo secondo post è corretto, vi chiedo a voi esperti:
Perchè l'operazione di somma (facciamo nel caso dell'insieme dei segmenti orientati) gode della proprietà commutativa?
La risposta che darei io è: perchè l'insieme detto somma è stato appunto preso in modo tale che per ogni coppia del tipo $((a,b),c)$ esista una coppia del tipo $((b,a),c)$...che ne dite?
Grazie mille
mha, dove l'hai letta la risposta? Le strutture algebriche possono essere presentate in diversi modi, tra i quali vi è quello di non esplicitare la proprietà commutativa ma di dedurla da altre proprietà... tu che struttura hai definito? In che modo? La maggior parte delle volte la proprietà commutativa, nelle strutture algebriche, la si postula e basta... tu come hai fatto?
"lisdap":
Quindi delle operazioni possono essere definite su insiemi di qualsiasi natura, anche per esempio all'insieme "dei frutti commestibili"?
bhè si in parte, col rischio di essere poco rigorosi.
Cordiali saluti
Salve gugo82,
sul discorso dell'uguaglianza, condivido pienamente, infatti và ricordato a lisdap che l'uguaglianza soddisfa la condizione di sostitutività se non erro di Leibniz.
Cordiali saluti
sul discorso dell'uguaglianza, condivido pienamente, infatti và ricordato a lisdap che l'uguaglianza soddisfa la condizione di sostitutività se non erro di Leibniz.
Cordiali saluti
Salve lisdap,
questa è una legge di composizione (o operazione) esterna... quindi ti basta la def. di ciò
ma non saprei, se una simile costruzione l' hai letta in qualche libro posta magari il titolo...
Cordiali saluti
"lisdap":
Procedo ancora.
Un'altra operazione che si può deifnire su $V$ è data dalla moltiplicazione di un segmento orientato per uno scalare.
La definizione rigorosa di questa operazione non l'ho trovata in giro, però se ho capito il meccanismo dovrebbe essere cosi.
questa è una legge di composizione (o operazione) esterna... quindi ti basta la def. di ciò
"lisdap":
Prendiamo un insieme di numeri reali $U$ e l'insieme $V$, e facciamo $(U xx V) xx V$. Avremo quindi un insieme i cui elementi sono coppie ordinate del tipo $((a,b),c)$, dove $a in U$e $b,c in V$.
Facciamo una prima selezione degli elementi di $(U xx V) xx V$, prendendo solo quelle coppie ordinate tali che i generici elementi $b$ e $c$ sono paralleli, e scartiamo le altre.
Facciamo poi una nuova selezione di queste coppie ordinate appena ottenute, prendendo soltanto quelle tali che se $a$ è positivo, $b$ e $c$ sono equiversi, e se $a$ è negativo, $b$ e $c$ hanno verso opposto, e scartiamo le altre. Infine, facciamo un'ultima selezione delle coppie appena ottenute prendendo soltanto quelle tali che la lunghezza di $b$ moltiplicata per il numero $a$ dà la lunghezza di $c$.
Radunando queste coppie in un insieme, otteniamo una nuova operazione che prende il nome di moltiplicazione per uno scalare. E' corretto questo procedimento?
ma non saprei, se una simile costruzione l' hai letta in qualche libro posta magari il titolo...
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
Salve lisdap,
scusatemi se mi intrometto
bene, cos'è allora un insieme? Perchè non ci fornisci le definizioni!
Ciao garnak, le definizioni che so io sono quelle che ho letto su wikipedia.
"garnak.olegovitc":
anche questo bhè è vero. Se lo hai letto in qualche libro potresti dire qual'è?
L'ho letto da wikipedia.
"garnak.olegovitc":
Salve lisdap,
mi permetto ancora:
ma, per curiosità e completezza della discussione, come lo definiresti formalmente?
Non saprei, insieme delle freccette va bene?
"garnak.olegovitc":
e le ragioni matematiche quali sarebbero.
Lo dico nel post che scriverò dopo.
"garnak.olegovitc":
mha, dove l'hai letta la risposta? Le strutture algebriche possono essere presentate in diversi modi, tra i quali vi è quello di non esplicitare la proprietà commutativa ma di dedurla da altre proprietà... tu che struttura hai definito? In che modo? La maggior parte delle volte la proprietà commutativa, nelle strutture algebriche, la si postula e basta... tu come hai fatto?
Sui libri di fisica c'è scritto che la somma di due segmenti orientati gode della proprietà commutativa, quindi io mi sono chiesto: perchè? E ho dato la risposta che ho scritto, a intuito.
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