Domande su anelli e ideali
Ho grosse difficoltà con l'algebra. Me ne rendo conto, ma il problema è che non riesco proprio a capirla. La teoria la so, nel senso che la so, ma non la capisco, infatti quando mi trovo davanti alla maggior parte degli esercizi, non so come risolverli perchè non so che via posso prendere per trovare la soluzione. Riporto degli esercizi per avere un esempio a disposizione.
1) Che vuol dire definire un morfismo di anelli?
Es. Sia $A =\{((a+b,b),(b,a))|a,b in QQ}$ ; posto $\omega=(1-sqrt{5})/2$, si mostri che l'applicazione $f:A\to RR$ tale che $((a+b,b),(b,a)) \to a+b\omega$ definisce un morfismo di anelli.
2) Vedere se un ideale è principale e trovare un suo generatore.
Es. In $QQ[x]$, $I=(x^2-1)uu(x^2+3x+2)$ è un ideale principale e determinare un suo generatore.
Grazie a https://www.matematicamente.it/forum/ide ... tml#364005, credo di aver capito intanto che $I=(x,1)$, che è l'insieme di tutti i polinomi con termine noto non nullo; ma ora come vedo se è principale? L'ideale generato da (x,1) non è un generatore?!
3) Vedere se un ideale è massimale.
Es. In riferimento al punto 2), devo vedere se $(QQ[x])/I$ è un campo e so che lo è $hArr$ $I$ è massimale.
Ma come faccio a capire se è massimale?
C'è qualcuno che mi può dare una mano?
Non tanto per l'esame in sè, quanto proprio per riuscire a capirci qualcosa.
Grazie!
1) Che vuol dire definire un morfismo di anelli?
Es. Sia $A =\{((a+b,b),(b,a))|a,b in QQ}$ ; posto $\omega=(1-sqrt{5})/2$, si mostri che l'applicazione $f:A\to RR$ tale che $((a+b,b),(b,a)) \to a+b\omega$ definisce un morfismo di anelli.
2) Vedere se un ideale è principale e trovare un suo generatore.
Es. In $QQ[x]$, $I=(x^2-1)uu(x^2+3x+2)$ è un ideale principale e determinare un suo generatore.
Grazie a https://www.matematicamente.it/forum/ide ... tml#364005, credo di aver capito intanto che $I=(x,1)$, che è l'insieme di tutti i polinomi con termine noto non nullo; ma ora come vedo se è principale? L'ideale generato da (x,1) non è un generatore?!
3) Vedere se un ideale è massimale.
Es. In riferimento al punto 2), devo vedere se $(QQ[x])/I$ è un campo e so che lo è $hArr$ $I$ è massimale.
Ma come faccio a capire se è massimale?
C'è qualcuno che mi può dare una mano?
Non tanto per l'esame in sè, quanto proprio per riuscire a capirci qualcosa.
Grazie!
Risposte
"Chadwick":
1) Che vuol dire definire un morfismo di anelli?
Es. Sia $A =\{((a+b,b),(b,a))|a,b in QQ}$ ; posto $\omega=(1-sqrt{5})/2$, si mostri che l'applicazione $f:A\to RR$ tale che $((a+b,b),(b,a)) \to a+b\omega$ definisce un morfismo di anelli.
Consideriamo questo primo esercizio.
Prendi 2 elementi $x,y\inA$, cioè $x=((a+b,b),(b,a))$ e $y=((c+d,d),(d,c))$ con $a,b,c,d\inQQ$
Per mostrare che hai un morfismo di anelli devi mostrare che:
1.$f(x+y)=f(x)+f(y)$
2. $f(x*y)=f(x)*f(y)$
3. $f(0)=0$
4. $f(id)=1$
quindi devo semplicemente applicarne la definizione!
Grazie
Per quanto riguarda l'ideale massimale, vorrei capire se basta applicare anche in questo caso la definizione, perchè potrei sfruttare il fatto che in un anello commutativo, ogni ideale massimale è un ideale primo?
Grazie
Per quanto riguarda l'ideale massimale, vorrei capire se basta applicare anche in questo caso la definizione, perchè potrei sfruttare il fatto che in un anello commutativo, ogni ideale massimale è un ideale primo?
"Chadwick":
Per quanto riguarda l'ideale massimale, vorrei capire se basta applicare anche in questo caso la definizione, perchè potrei sfruttare il fatto che in un anello commutativo, ogni ideale massimale è un ideale primo?
Dipende dall'esercizio.
In alcuni casi si può sfruttare la definizione.
In altri si può vedere se l'anello di partenza quozientato con l'ideale dà un campo
"misanino":
In alcuni casi si può sfruttare la definizione.
E' questo che non mi riesce. So che un ideale $I$ di un anello $A$ si dice massimale se e solo se è proprio, cioè $I!=A$, e i soli ideali compresi tra $I$ ed $A$ sono $I$ stesso ed $A$. Ma come faccio a capirlo?
"Chadwick":Per esempio prova a dimostrare che se $p$ è un numero primo l'ideale $pZZ$ di $ZZ$ è massimale. Se hai voglia di farlo, ti consiglio di seguire questi passi:
Ma come faccio a capirlo?
Lemma 1. Ogni ideale di $ZZ$ è del tipo $nZZ$ per qualche $n in ZZ$.
Lemma 2. Dire $nZZ subseteq mZZ$ è equivalente a dire che $m$ divide $n$.
Proposizione. Se $p$ è un numero primo l'ideale $pZZ$ di $ZZ$ è massimale.
Le dimostrazioni di questi lemmi li ho anche sugli appunti di lezione, però si riferiscono soltanto a $ZZ$. Ma valgono anche per $QQ$?
"Chadwick":
Le dimostrazioni di questi lemmi li ho anche sugli appunti di lezione, però si riferiscono soltanto a $ZZ$. Ma valgono anche per $QQ$?
$QQ$ è un campo, quindi non possiede ideali propri.
Quindi $QQ$ e a maggior ragione $QQ[x]$, che contiene $QQ$, non hanno ideali massimali, giusto?
Perciò $(QQ[x])/I$, qualunque sia $I$, non è mai un campo?
Perciò $(QQ[x])/I$, qualunque sia $I$, non è mai un campo?
"Chadwick":
Quindi $QQ$ e a maggior ragione $QQ[x]$, che contiene $QQ$, non hanno ideali massimali, giusto?
Perciò $(QQ[x])/I$, qualunque sia $I$, non è mai un campo?
$QQ[X]$ è un anello (di polinomi) a coefficienti in un campo. Ma $QQ[X]$ non è un campo, poichè sono invertibili solo i polinomi costanti (che sono per l'appunto gli elementi di $QQ$).
Quindi di $QQ[X]$ si possono trovare gli ideali (che per altro sono tutti principali, visto che è un PID).
Chiaro? Se hai ancora dubbi chiedi, siamo qui.
"Paolo90":
Quindi di $QQ[X]$ si possono trovare gli ideali (che per altro sono tutti principali, visto che è un PID)
Perchè è un PID?Io so che è un UFD, ma perchè è un PID mi sfugge
"Chadwick":Perché è un dominio euclideo (puoi fare la divisione con resto tra polinomi), ed ogni dominio euclideo è un PID.
Perchè è un PID?Io so che è un UFD, ma perchè è un PID mi sfugge
Ok. Vediamo se con la premiata ditta di calcestruzzi Martino&Paolo riesco a mettere qualche mattoncino insieme 
Quindi $I$ è un ideale principale per struttura di $QQ[x]$, ok? $I=(x,1)$ è un suo generatore?
"Chadwick":
2) Vedere se un ideale è principale e trovare un suo generatore.
Es. In $QQ[x]$, $I=(x^2-1)uu(x^2+3x+2)$ è un ideale principale e determinare un suo generatore.
Grazie a https://www.matematicamente.it/forum/ide ... tml#364005, credo di aver capito intanto che $I=(x,1)$, che è l'insieme di tutti i polinomi con termine noto non nullo; ma ora come vedo se è principale? L'ideale generato da (x,1) non è un generatore?!
3) Vedere se un ideale è massimale.
Es. In riferimento al punto 2), devo vedere se $(QQ[x])/I$ è un campo e so che lo è $hArr$ $I$ è massimale.
Ma come faccio a capire se è massimale?
Grazie!
Quindi $I$ è un ideale principale per struttura di $QQ[x]$, ok? $I=(x,1)$ è un suo generatore?
"Chadwick":Intendi forse l'ideale generato da $x^2-1$ e $x^2+3x+2$? Di solito lo si indica con $(x^2-1,x^2+3x+2)$.
$I=(x^2-1)uu(x^2+3x+2)$
Quindi $I$ è un ideale principale per struttura di $QQ[x]$, ok? $I=(x,1)$ è un suo generatore?Un generatore di $I$ è in particolare un elemento di $I$, cioè un polinomio.
Che significa che $I=(x,1)$?
Che significa domandare se $(x,1)$ è un generatore?
Cosa intendi per $(x,1)$?
"Martino":Intendi forse l'ideale generato da $x^2-1$ e $x^2+3x+2$? Di solito lo si indica con $(x^2-1,x^2+3x+2)$.[/quote]
[quote="Chadwick"]$I=(x^2-1)uu(x^2+3x+2)$
Ok
Sono un "minchia"! Il testo mette l'intersezione e non l'unione dei due ideali principali, così come avevo scritto io.
Quindi $I$ è un ideale principale per struttura di $QQ[x]$, ok? $I=(x,1)$ è un suo generatore?Intendo l'ideale principale generato da $x$ e da $1$, cioè l'insieme $/{ax+b*1|a,b in QQ}$
Un generatore di $I$ è in particolare un elemento di $I$, cioè un polinomio.
Che significa che $I=(x,1)$?
Che significa domandare se $(x,1)$ è un generatore?
Cosa intendi per $(x,1)$?
L'ideale $I=(x,1)$ definito come sopra lo posso considerare come un generatore? A questo punto, vista la tua risposta di sopra, ho sbagliato nel considerarlo un generatore. Quindi un per definire un singolo generatore, basta la dicitura $ax+b$ con $a,b in QQ$ o ad esempio $x+1$ piò essere considerato come un generatore?
[quote]Che significa che $I=(x,1)$?Intendo l'ideale principale generato da $x$ e da $1$, cioè l'insieme $/{ax+b*1|a,b in QQ}$[/quote]Ricorda che il solo ideale che contiene $1$ è tutto l'anello.
L'ideale $I=(x,1)$ definito come sopra lo posso considerare come un generatore?Un generatore di $I$ è in particolare un elemento di $I$. Ora, $I$ non è un elemento di $I$. Inoltre $(1,x)=QQ[X]$, come ricordato sopra.
Quindi un per definire un singolo generatore, basta la dicitura $ax+b$ con $a,b in QQ$ o ad esempio $x+1$ piò essere considerato come un generatore?Un generatore di $I$ è in particolare un elemento di $I$, in particolare è un polinomio, ma non necessariamente di grado 1. In base a cosa dici che $x+1$ è un generatore di $I$?
"Martino":Qui ti ho perso.
Inoltre $(1,x)=QQ[X]$, come ricordato sopra.
Quindi un per definire un singolo generatore, basta la dicitura $ax+b$ con $a,b in QQ$ o ad esempio $x+1$ piò essere considerato come un generatore?Un generatore di $I$ è in particolare un elemento di $I$, in particolare è un polinomio. In base a cosa dici che $x+1$ è un generatore di $I$?[/quote]
Il pensiero era che se l'ideale principale $(x,1) = {ax+b*1|a,b in QQ}$ allora x+1 $in (x,1)$. Non è così?
"Chadwick":Qui ti ho perso.[/quote]Se hai un anello unitario $A$ e un suo ideale $I$ tale che $1 in I$ allora $A=I$. Infatti ogni elemento di $A$ si scrive come $a=a*1$ con $a in A$ (prova a riguardare la definizione di ideale).
[quote="Martino"]Inoltre $(1,x)=QQ[X]$, come ricordato sopra.
Ne segue che siccome l'ideale $(1,x)$ di $QQ[X]$ contiene $1$, esso coincide con $QQ[X]$.
Il pensiero era che se l'ideale principale $(x,1) = {ax+b*1|a,b in QQ}$ allora x+1 $in (x,1)$. Non è così?Sì è così. Ma il fatto che $x+1 in (x,1)$ non significa che $x+1$ generi $(x,1)$.
ciao a tutti, scrivo qui perchè i miei problemi sono simili a quelli di Chadwick e dunque (forse) non è bene aprire un altro 3d (correggetemi se sbaglio).
devo dimostrare che: se A è commutativo con A/I è un dominio di integrità allora I è primo (e viceversa)
bene, parto con la prima implicazione
$->$
la prof. scrive:
se $xy in I -> xy+I=0+I$ perchè? come si arriva a dire questo dalla definizione di ideale? cosa significa la scrittura x+I? e la scrittura (x+I) è qualcosa di diverso?
(la def. che io conosco è che I è ideale di R se per ogni $r in R$ e per ogni $a in I$ $->$ $ar in I$)
poi prosegue:
$->$ $(x+I)(y+I)=I=0$ $->$ $(x+I)=I$ o $(y+I)=I$ $->$ $x in I$ o $y in I$ CVD
potete aiutarmi a capire i vari passaggi? grazie!
devo dimostrare che: se A è commutativo con A/I è un dominio di integrità allora I è primo (e viceversa)
bene, parto con la prima implicazione
$->$
la prof. scrive:
se $xy in I -> xy+I=0+I$ perchè? come si arriva a dire questo dalla definizione di ideale? cosa significa la scrittura x+I? e la scrittura (x+I) è qualcosa di diverso?
(la def. che io conosco è che I è ideale di R se per ogni $r in R$ e per ogni $a in I$ $->$ $ar in I$)
poi prosegue:
$->$ $(x+I)(y+I)=I=0$ $->$ $(x+I)=I$ o $(y+I)=I$ $->$ $x in I$ o $y in I$ CVD
potete aiutarmi a capire i vari passaggi? grazie!
"dotmanu":No no, è meglio aprire un nuovo argomento. Sei pregato di farlo, grazie.
ciao a tutti, scrivo qui perchè i miei problemi sono simili a quelli di Chadwick e dunque (forse) non è bene aprire un altro 3d (correggetemi se sbaglio).
devo dimostrare che: se A è commutativo con A/I è un dominio di integrità allora I è primo (e viceversa)
bene, parto con la prima implicazione
$->$
la prof. scrive:
se $xy in I -> xy+I=0+I$ perchè? come si arriva a dire questo dalla definizione di ideale? cosa significa la scrittura x+I? e la scrittura (x+I) è qualcosa di diverso?
(la def. che io conosco è che I è ideale di R se per ogni $r in R$ e per ogni $a in I$ $->$ $ar in I$)
poi prosegue:
$->$ $(x+I)(y+I)=I=0$ $->$ $(x+I)=I$ o $(y+I)=I$ $->$ $x in I$ o $y in I$ CVD
potete aiutarmi a capire i vari passaggi? grazie!
ok scusate, argomento creato!
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