Domande su anelli e ideali
Ho grosse difficoltà con l'algebra. Me ne rendo conto, ma il problema è che non riesco proprio a capirla. La teoria la so, nel senso che la so, ma non la capisco, infatti quando mi trovo davanti alla maggior parte degli esercizi, non so come risolverli perchè non so che via posso prendere per trovare la soluzione. Riporto degli esercizi per avere un esempio a disposizione.
1) Che vuol dire definire un morfismo di anelli?
Es. Sia $A =\{((a+b,b),(b,a))|a,b in QQ}$ ; posto $\omega=(1-sqrt{5})/2$, si mostri che l'applicazione $f:A\to RR$ tale che $((a+b,b),(b,a)) \to a+b\omega$ definisce un morfismo di anelli.
2) Vedere se un ideale è principale e trovare un suo generatore.
Es. In $QQ[x]$, $I=(x^2-1)uu(x^2+3x+2)$ è un ideale principale e determinare un suo generatore.
Grazie a https://www.matematicamente.it/forum/ide ... tml#364005, credo di aver capito intanto che $I=(x,1)$, che è l'insieme di tutti i polinomi con termine noto non nullo; ma ora come vedo se è principale? L'ideale generato da (x,1) non è un generatore?!
3) Vedere se un ideale è massimale.
Es. In riferimento al punto 2), devo vedere se $(QQ[x])/I$ è un campo e so che lo è $hArr$ $I$ è massimale.
Ma come faccio a capire se è massimale?
C'è qualcuno che mi può dare una mano?
Non tanto per l'esame in sè, quanto proprio per riuscire a capirci qualcosa.
Grazie!
1) Che vuol dire definire un morfismo di anelli?
Es. Sia $A =\{((a+b,b),(b,a))|a,b in QQ}$ ; posto $\omega=(1-sqrt{5})/2$, si mostri che l'applicazione $f:A\to RR$ tale che $((a+b,b),(b,a)) \to a+b\omega$ definisce un morfismo di anelli.
2) Vedere se un ideale è principale e trovare un suo generatore.
Es. In $QQ[x]$, $I=(x^2-1)uu(x^2+3x+2)$ è un ideale principale e determinare un suo generatore.
Grazie a https://www.matematicamente.it/forum/ide ... tml#364005, credo di aver capito intanto che $I=(x,1)$, che è l'insieme di tutti i polinomi con termine noto non nullo; ma ora come vedo se è principale? L'ideale generato da (x,1) non è un generatore?!
3) Vedere se un ideale è massimale.
Es. In riferimento al punto 2), devo vedere se $(QQ[x])/I$ è un campo e so che lo è $hArr$ $I$ è massimale.
Ma come faccio a capire se è massimale?
C'è qualcuno che mi può dare una mano?
Non tanto per l'esame in sè, quanto proprio per riuscire a capirci qualcosa.
Grazie!
Risposte
Non ti ho risposto ieri perchè mi sono preso tempo per metabolizzare e forse ci sono riuscito.
Ne segue che siccome l'ideale $(1,x)$ di $QQ[X]$ contiene $1$, esso coincide con $QQ[X]$.[/quote]
Ho capito quel che mi hai detto, ma mi sembra di essere entrato in un circolo: sono in un PID, quindi ogni ideale è principale, in particolare questo ideale contiene l'$1$, perciò coincide con l'anello. Ed ora?
Quindi il generatore è un elemento particolare o un polinomio generico, cioè è un polinomio della forma $x+1$ o della forma $ax+b$?Giuro che non l'ho capito!
"Martino":Qui ti ho perso.[/quote]Se hai un anello unitario $A$ e un suo ideale $I$ tale che $1 in I$ allora $A=I$. Infatti ogni elemento di $A$ si scrive come $a=a*1$ con $a in A$ (prova a riguardare la definizione di ideale).
[quote="Chadwick"][quote="Martino"]Inoltre $(1,x)=QQ[X]$, come ricordato sopra.
Ne segue che siccome l'ideale $(1,x)$ di $QQ[X]$ contiene $1$, esso coincide con $QQ[X]$.[/quote]
Ho capito quel che mi hai detto, ma mi sembra di essere entrato in un circolo: sono in un PID, quindi ogni ideale è principale, in particolare questo ideale contiene l'$1$, perciò coincide con l'anello. Ed ora?
[quote]Il pensiero era che se l'ideale principale $(x,1) = {ax+b*1|a,b in QQ}$ allora x+1 $in (x,1)$. Non è così?Sì è così. Ma il fatto che $x+1 in (x,1)$ non significa che $x+1$ generi $(x,1)$.[/quote]
Quindi il generatore è un elemento particolare o un polinomio generico, cioè è un polinomio della forma $x+1$ o della forma $ax+b$?Giuro che non l'ho capito!
Non ogni ideale contiene 1.
"Chadwick":Sei sicuro di sapere cosa sia un polinomio? $x+1$ è un polinomio, ma anche $x^2$ è un polinomio, e non è della forma $ax+b$.
cioè è un polinomio della forma $x+1$ o della forma $ax+b$?Giuro che non l'ho capito!
ma $x^2$ non è generato dall'ideale $(x,1)$, che genera solo gli elementi della forma $ax+b$, giusto?
"Chadwick":No, sbagliato. $(x,1)$, l'ideale generato da $x$ e $1$ in $QQ[X]$, consiste degli elementi della forma $x * f(x) + 1 * g(x)$ al variare di $f(x),g(x) in QQ[X]$. E quindi $(x,1)=QQ[X]$.
ma $x^2$ non è generato dall'ideale $(x,1)$, che genera solo gli elementi della forma $ax+b$, giusto?
Un polinomio appartiene a $I=(x^2-1)nn(x^2+3x+2)$ se e solo se è un multiplo sia di $x^2-1$ che di $x^2+3x+2$. Questo ti è chiaro?
"Martino":
Un polinomio appartiene a $I=(x^2-1)nn(x^2+3x+2)$ se e solo se è un multiplo sia di $x^2-1$ che di $x^2+3x+2$. Questo ti è chiaro?
Si, questa si
"Martino":No, sbagliato. $(x,1)$, l'ideale generato da $x$ e $1$ in $QQ[X]$, consiste degli elementi della forma $x * f(x) + 1 * g(x)$ al variare di $f(x),g(x) in QQ[X]$. E quindi $(x,1)=QQ[X]$.[/quote]
[quote="Chadwick"]ma $x^2$ non è generato dall'ideale $(x,1)$, che genera solo gli elementi della forma $ax+b$, giusto?
Forse ho capito. Ma allora $x^2 in (x,1)$?
"Chadwick":
Forse ho capito. Ma allora $x^2 in (x,1)$?
Certamente, perchè come ti ha fatto notare Martino, $(x,1)=QQ[X]$.
"Paolo90":
Certamente, perchè come ti ha fatto notare Martino, $(x,1)=QQ[X]$.
e quindi tutti i polinomi, non fa una piega.
Però mi dovete scusare, ho un blocco pissicologico con questa materia. Ancora non ho capito la risposta alla domanda "Qual è un generatore?". Mi avete detto che è, in particolare, un polinomio. Ma quale?In questo caso, visto che l'ideale coincide con $QQ[x]$, un generatore può essere $x$?
Siamo in $QQ[X]$.
L'ideale principale generato da $x$ è questo sottoinsieme: $(x)={xf(x), " con " f(x) in QQ[X]}$.
Non è difficile convincersi che in quell'ideale ci sono tutti i polinomi privi di termine noto. Sei d'accordo?
Quindi, $x^2+2 in QQ[X]$ ma $x^2+2 notin (x)$.
Pertanto $x$ non può essere generatore.
Se proprio vuoi forzare la faccenda, puoi dire che un generatore è una qualsiasi costante razionale, al meglio 1: ma, ripeto, secondo me non è così bello da dire.
Più semplicemente, l'ideale $(x,1)$ è tutto $QQ[X]$.
Più chiaro ora?
L'ideale principale generato da $x$ è questo sottoinsieme: $(x)={xf(x), " con " f(x) in QQ[X]}$.
Non è difficile convincersi che in quell'ideale ci sono tutti i polinomi privi di termine noto. Sei d'accordo?
Quindi, $x^2+2 in QQ[X]$ ma $x^2+2 notin (x)$.
Pertanto $x$ non può essere generatore.
Se proprio vuoi forzare la faccenda, puoi dire che un generatore è una qualsiasi costante razionale, al meglio 1: ma, ripeto, secondo me non è così bello da dire.
Più semplicemente, l'ideale $(x,1)$ è tutto $QQ[X]$.
Più chiaro ora?
Si, credo di aver capito.
Grazie davvero!
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