Domande banali su classi laterali

[mistake89]

Ciao a tutti, perdonate la banalità di questo post, ma purtroppo ho saltato delle lezioni per motivi di salute ed ora ho dei dubbi. Ve li posto assieme ad un esercizio, così magari riuscite a schiarirmi le idee.

Innanzitutto definisco la relazione, che si prova essere di equivalenza, $rho_d$ tale che $xrho_dyhArrxy^(-1)inH$ ove $H
Ho provato a fare un esercizio (tanto per sporcarmi le mani):
Determinare il sottogruppo $H$ generato da $sigma$ e $tau$ e si studino le classi laterali.
$sigma=((1,2,3,4),(3,2,4,1))$ e $tau=((1,2,3,4),(3,2,1,4))$

Ho incontrato problemi a determinare il sottogruppo generato dalle due permutazioni, per lacune nelle spiegazioni di Algebra 1. Avevo pensato di determinare i cicli disgiunti delle due permutazioni e di comporli, ma non ho ben capito cosa volesse dire sottogruppo generato da due elementi. Se qualcuno mi potesse dare raggugli circa questo punto mi farebbe un groppo piacere.

Comunque so che $H={id,(1,3,4),(1,4,3),(1,3),(1,4),(3,4)}$.
Ora conosco dalla teoria i seguenti fatti: 1) il numero delle classi laterali deve essere $|S_n|/|H|=4$ e 2) La cardinalità di ogni classe laterale (destra o sinistra che sia) è la stessa di $H$, cioè $6$.
Volevo però chiedere conferma di una cosa: le $4$ classi laterali sono ovviamente distinti tra loro? Dovrò quindi trovare $4$ rappresentati nella struttura ciclica che mi diano questi $4$ insiemi? E se sì, quali devo considerare? Esiste un metodo, a priori per determinare quali permutazioni considerare?
So ovviamente che $H=H(1,3,4)=H(1,3)=H(1,4,3)=H(1,4)=H(3,4)$, ma quanto alle altre $3$ classi come comportarmi? Basta prendere un $4$-ciclo, un $3$ ciclo non contenuto in $H$, un $2$ ciclo non contenuto in $H$ e un $(2,2)$ ciclo?

Grazie mille ancora per l'attenzione mostrata, e perdonate ancora per la sconcertante banalità.

[Paolo902]

Buonasera.

"mistake89":Ciao a tutti, perdonate la banalità di questo post, ma purtroppo ho saltato delle lezioni per motivi di salute ed ora ho dei dubbi. Ve li posto assieme ad un esercizio, così magari riuscite a schiarirmi le idee.

Innanzitutto definisco la relazione, che si prova essere di equivalenza, $rho_d$ tale che $xrho_d y=> xy^(-1)inH$ ove $H

Non ho capito esattamente che cosa vuoi far vedere: se due elementi sono in relazione allora individuano lo stesso laterale? Se la tesi è questa, secondo me, ti basta ricordare i discorsi sulle relazioni di equivalenza: $[x]=[y] iff x rho y$. D'altra parte i laterali sono proprio classi rispetto a quella relazione che hai scritto tu, quindi...

Ti faccio notare che comunque è una cosa utile quella che hai ricordato tu, soprattutto negli esercizi in cui ti viene richiesto di stabilire se due laterali sono uguali o no.

Ho provato a fare un esercizio (tanto per sporcarmi le mani):
Determinare il sottogruppo $H$ generato da $sigma$ e $tau$ e si studino le classi laterali.
$sigma=((1,2,3,4),(3,2,4,1))$ e $tau=((1,2,3,4),(3,2,1,4))$

Ho incontrato problemi a determinare il sottogruppo generato dalle due permutazioni, per lacune nelle spiegazioni di Algebra 1. Avevo pensato di determinare i cicli disgiunti delle due permutazioni e di comporli, ma non ho ben capito cosa volesse dire sottogruppo generato da due elementi. Se qualcuno mi potesse dare raggugli circa questo punto mi farebbe un groppo piacere.

Comunque so che $H={id,(1,3,4),(1,4,3),(1,3),(1,4),(3,4)}$.
Ora conosco dalla teoria i seguenti fatti: 1) il numero delle classi laterali deve essere $|S_n|/|H|=4$ e 2) La cardinalità di ogni classe laterale (destra o sinistra che sia) è la stessa di $H$, cioè $6$.
Volevo però chiedere conferma di una cosa: le $4$ classi laterali sono ovviamente distinti tra loro? Dovrò quindi trovare $4$ rappresentati nella struttura ciclica che mi diano questi $4$ insiemi? E se sì, quali devo considerare? Esiste un metodo, a priori per determinare quali permutazioni considerare?
So ovviamente che $H=H(1,3,4)=H(1,3)=H(1,4,3)=H(1,4)=H(3,4)$, ma quanto alle altre $3$ classi come comportarmi? Basta prendere un $4$-ciclo, un $3$ ciclo non contenuto in $H$, un $2$ ciclo non contenuto in $H$ e un $(2,2)$ ciclo?

Non so rispondere con certezza; la cosa migliore che ti posso dire - forse - è: hai provato a fare i conti? Può darsi che venga... Anche se secondo me non basta... Anche perchè come dici tu i laterali rimanenti sono 3, ma hai ancora 4 strutture cicliche da sistemare (quelle che hai elencato tu, appunto).

P.S. Per il sottogruppo generato da più di un elemento ti rimando qui... Sembra proprio lo stesso esercizio

[mistake89]

Grazie Paolo per la risposta.
Quello che non capisco è questo $y^(-1)x$$inHhArrxH=yH$, ma poichè è dato nella definizione sarà una cosa banale, mi riprometto di pensarci meglio a mente lucida.
In realtà proprio ora, credo di aver capito che si tratta di una banale proprietà delle relazioni di equivalenza come mi hai suggerito (sì lo so che è banale, ma son sveglio dalle 5 ed ho i riflessi lenti )

Quanto al resto, ho provato a fare i conti, ma già con $S_4$ i conti si complicano e non di poco, pensavo ci fosse un modo più elegante ed immediato di sistemare la cosa... magari non possiedo ancora gli strumenti non so. Provando con 2 $4$-cicli effettivamente i laterali destri mi vengono uguali, ma ora non saprei se continuare per questa strada...

PS Sì è lo stesso, Piacentini Cattaneo docet Grazie per la segnalazione, utilissima

[cappellaiomatto1]

sia $(G,.,1)$ un gruppo e se stiamo parlando di classi laterali allora $H$ è per definizione un sottogruppo di $G$
$Hx=Hy$ se e solo se $xy^-1inH$. occorre dimostrarlo in entrambe le direzioni:

supponiamo $Hx=Hy$ allora essendo $H$ un s.g. conterrà l'elemento neutro,quindi avrò $x=1x in Hx$. Ma $x$ è anche un elemento di $Hy$ (da ciò che avevamo supposto), quindi sia $x in Hy$ allora esisterà un $hinH$ tale che $x=hy$ ovvero (per la proprietà di cancellazione) $x*y^-1=h$,ovvero $xy^-1inH$.

viceversa supponiamo $xy^-1inH$ devo provare la doppia inclusione $HxsubeHy$ e $HxsupeHy$.

prendo un elemento di $Hx$, lo chiamo $a$
sia $ainHx$ allora esisterà un $hinH$ tale che $a=hx$,quest'ultima relazione la posso scrivere in questo modo: $a=(hx)(y^-1y)$,per la proprietà associativa $a=h(xy^-1)y$. Si scopre che l'elemento $(xy^-1)$ è in $H$ (perche ci stava), quindi anche $(hxy^-1)$ sta in $H$.Avendoci un $y$ davanti $ainHy$ e quindi $HxsubeHy$.
per dimostrare l'altra inclusione si fa alla stessa maniera,solo che a un certo punto si avrà che un generico elemento,ad esmpio $b$ sarà $b=(hy)(x^-1x)=(h(yx^-1))x$ dove $x^-1y$ è l'inverso di $xy^-1$,mafa nulla perche essendo un sotto gruppo l'inverso di un elemento di $H$ appartiene ancora ad $H$ e quindi si conclude che anche $HxsupeHy$.