Domanda su campo di spezzamento
Un campo di spezzamento è un estensione finitamente generata? I generatori di tale estensione sono l'insieme di tutte le radici del polinomio, o puo essere anche un sottoinsieme?
Risposte
Sì, è finitamente generata, e per generarla in generale non servono tutte le radici, ne basta un sottoinsieme che può benissimo contenere un solo elemento, come sai bene (avendo visto vari esempi di questo tipo).
Quindi ogni sottoestensione di $E//F$ è finitamente generata ed ha come generatori un sottoinsieme di $A$ insieme delle radici, se indico con $A'$ un qualsiasi sottoinsieme delle radici ed impongo la condizione che una qualsiasi radice$x_i$ $in$ $F(A')$, implica che $x_i$ $in$ $A'$, cosa posso dire sulla dimensione di $E//F$?
"francicko":Questo (qui sopra) è falso, le sottoestensioni non sono necessariamente generate da insiemi di radici.
Quindi ogni sottoestensione di $E//F$ è finitamente generata ed ha come generatori un sottoinsieme di $A$ insieme delle radici,
se indico con $A'$ un qualsiasi sottoinsieme delle radici ed impongo la condizione che una qualsiasi radice$x_i$ $in$ $F(A')$, implica che $x_i$ $in$ $A'$, cosa posso dire sulla dimensione di $E//F$?Questa domanda non è banalissima, dovrei pensarci un attimo.
Ogni estensione non è necessariamente generata da un insieme di radici , nel senso che esistono sottoestensioni che sono generate da uno o più elementi che non sono radici , ma comunque sono contenute in sottoestensioni generate da radici?
"francicko":Non capisco bene la domanda, tutte le sottestensioni di $E//F$ sono contenute in $E$, che è generato da radici. Quindi la risposta a " sono contenute in sottoestensioni generate da radici?" la risposta è (banalmente) sì, perché sono tutte contenute in $E$.
Ogni estensione non è necessariamente generata da un insieme di radici , nel senso che esistono sottoestensioni che sono generate da uno o più elementi che non sono radici , ma comunque sono contenute in sottoestensioni generate da radici?
Per capire devi avere degli esempi in mente, un esempio molto chiaro è $P(X)=X^3-2$ (di cui abbiamo già parlato infinite volte). In questo caso se chiami $F=QQ$ e $E$ il campo di spezzamento di $P(X)$ su $F$, abbiamo che $E$ contiene $sqrt(Delta)$ dove $Delta=-108$ è il discriminante di $P(X)$. Ne segue che $QQ(sqrt(Delta)) = QQ(i sqrt(3))$ è una sottoestensione di $E$ e non può essere generata da un insieme di radici perché le radici generano estensioni di grado $3$, quindi qualsiasi insieme di radici genera estensioni di grado almeno $3$, peraltro $QQ(sqrt(Delta))$ è un'estensione di grado $2$.
La mia impressione purtroppo è sempre la solita, che molte delle domande che fai indicano che gli esempi che hai in mente sono tipicamente casi banali (polinomi di grado $2$), per capire meglio cosa succede devi pensare a esempi più complessi, come $X^3-2$ (che ha gruppo di Galois $S_3$), $X^3-3X+1$ (che ha gruppo di Galois $A_3$) e più in generale polinomi del tipo $X^n-2$, per avere un minimo di complessità e per capire cosa può succedere. Se pensi solo ai polinomi di grado $2$ non andrai molto lontano.
Hai ragione!
Sia $A={x_1,x_2,...,x_n}$ l'insieme delle radici del polinomio $p(x)$ di grado $n$, se il più piccolo insieme di generatori del campo di spezzamento $E//F$ coincide con $A$, cosa posso dire sulla la dimensione di $|E:F|$?Sarà la maggiore possibile?$n!$?
Sia $A={x_1,x_2,...,x_n}$ l'insieme delle radici del polinomio $p(x)$ di grado $n$, se il più piccolo insieme di generatori del campo di spezzamento $E//F$ coincide con $A$, cosa posso dire sulla la dimensione di $|E:F|$?Sarà la maggiore possibile?$n!$?
"francicko":Questo non può succedere, bastano $n-1$ radici per generare $E$, per vederlo basta applicare il teorema di Ruffini un certo numero di volte. La $n$-esima radice si può scrivere in funzione delle precedenti (passando al gruppo di Galois, sto dicendo che se esso fissa $n-1$ radici allora fissa anche la $n$-esima radice, ovviamente).
se il più piccolo insieme di generatori del campo di spezzamento $E//F$ coincide con $A$
Quello che potresti invece chiedere è se, assumendo che meno di $n-1$ radici non bastino per generare $E$, valga che $|E:F|=n!$. Anche questo è falso, ma un controesempio minimale [Non è controesempio: vedi sotto] è dato da un polinomio di grado $4$ con gruppo di Galois $D_8$. Se ti interessa te ne posso scrivere uno esplicitamente.
"Martino":Pensandoci meglio, quello di $D_8$ non è un controesempio, e credo che sia vero che se meno di $n-1$ radici non bastano per generare $E$ allora $|E:F|=n!$. La dimostrazione che ho in mente non è banalissima (passa per il base number).
Quello che potresti invece chiedere è se, assumendo che meno di $n-1$ radici non bastino per generare $E$, valga che $|E:F|=n!$. Anche questo è falso, ma un controesempio minimale è dato da un polinomio di grado $4$ con gruppo di Galois $D_8$. Se ti interessa te ne posso scrivere uno esplicitamente.
Il claim è ovviamente falso sotto queste ipotesi così generiche, basta prendere $x^p-t^p$ su $\mathbb F_p(t^p)$ come controesempio. Tutte le radici sono necessarie per generare il campo di spezzamento, ma il campo di spezzamento ha grado $p$.
Se il polinomio minimo è separabile invece mi pare che basti ragionare per induzione: per $n=2$ il claim è banalmente vero; altrimenti se $f$ è il polinomio minimo di $x_1$ e c'è bisogno di $\{x_1,\ldots,x_{n-1}\}$ per generare $E$ allora il polinomio minimo di $x_2$ su $F(x_1)$ è $f(x)/(x-x_1)$. Infatti quest'ultimo deve necessariamente essere irriducibile su $F(x_1)$ perchè se non lo fosse, mettiamo ad esempio che $f/(x-x_1)=gh$ con $g,h$ irriducibili su $F(x_1)$, allora chiamate $y_1,\ldots,y_k$ e $z_1,\ldots,z_{n-k-1}$ le radici di $g,h$ rispettivamente si avrebbe che $E$ è generato da $x_1,y_1,\ldots,y_{k-1},z_1,\ldots,z_{n-k-2}$, che è un sottoinsieme stretto di $\{x_1,\ldots,x_{n-1}\}$. Ma adesso $f/(x-x_1)$ ha grado $n-1$, e per lo stesso motivo appena utilizzato c'è bisogno di $n-2$ delle sue radici per generare $E$. Segue per ipotesi induttiva che $[E:F(x_1)]=(n-1)!$, e si conclude con la formula dei gradi.
Se il polinomio minimo è separabile invece mi pare che basti ragionare per induzione: per $n=2$ il claim è banalmente vero; altrimenti se $f$ è il polinomio minimo di $x_1$ e c'è bisogno di $\{x_1,\ldots,x_{n-1}\}$ per generare $E$ allora il polinomio minimo di $x_2$ su $F(x_1)$ è $f(x)/(x-x_1)$. Infatti quest'ultimo deve necessariamente essere irriducibile su $F(x_1)$ perchè se non lo fosse, mettiamo ad esempio che $f/(x-x_1)=gh$ con $g,h$ irriducibili su $F(x_1)$, allora chiamate $y_1,\ldots,y_k$ e $z_1,\ldots,z_{n-k-1}$ le radici di $g,h$ rispettivamente si avrebbe che $E$ è generato da $x_1,y_1,\ldots,y_{k-1},z_1,\ldots,z_{n-k-2}$, che è un sottoinsieme stretto di $\{x_1,\ldots,x_{n-1}\}$. Ma adesso $f/(x-x_1)$ ha grado $n-1$, e per lo stesso motivo appena utilizzato c'è bisogno di $n-2$ delle sue radici per generare $E$. Segue per ipotesi induttiva che $[E:F(x_1)]=(n-1)!$, e si conclude con la formula dei gradi.
Giusto hydro, grazie! Certo, io pensavo al caso separabile. Formulando il risultato dalla parte della teoria di Galois, se $G$ sottogruppo di $S_n$ ha base number $n-1$ allora $G=S_n$ (il base number di $G$ è la minor cardinalità di un sottoinsieme $B$ di ${1,...,n}$ tale che se un elemento di $G$ fissa ogni elemento di $B$ allora è l'identità). Se non mi sbaglio, è una riformulazione esatta, perché ogni gruppo finito è gruppo di Galois di un'estensione di Galois.
Non capisco benissimo questa definizione. Per esempio quale sarebbe il base number di $A_3$?
"hydro":Gli elementi non banali di $A_3$ non fissano punti, quindi il base number di $A_3$ è $1$.
Non capisco benissimo questa definizione. Per esempio quale sarebbe il base number di $A_3$?
In generale $b(S_n)=n-1$ e $b(A_n)=n-2$.
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