Domanda relativa ai reticoli:
Ciao a tutti, vi sottopongo questo quesito:
Un sottoinsieme infinito di un reticolo non ha estremo superiore oppure non ha estremo inferiore.
E' vero o falso? Ho parecchi dubbi...
Innanzitutto so che un insieme parzialmente ordinato è un reticolo se per ogni $a,b in X$, l'insieme ${a,b}$ ha estremo superiore ed estremo inferiore. Se quindi prendo un suo sottoinsieme, seppur infinito (quindi è infinito anche $X$), sapendo che è un reticolo mi viene da dire che anche il sottoinsieme ha entrambi (sup e inf).
Sono completamente fuori strada?
Un sottoinsieme infinito di un reticolo non ha estremo superiore oppure non ha estremo inferiore.
E' vero o falso? Ho parecchi dubbi...
Innanzitutto so che un insieme parzialmente ordinato è un reticolo se per ogni $a,b in X$, l'insieme ${a,b}$ ha estremo superiore ed estremo inferiore. Se quindi prendo un suo sottoinsieme, seppur infinito (quindi è infinito anche $X$), sapendo che è un reticolo mi viene da dire che anche il sottoinsieme ha entrambi (sup e inf).
Sono completamente fuori strada?
Risposte
o cacchio. ora che ci penso $N^{+}$ fa si che in $X$ non ci sia l'$1$, perchè $2^1=2$, quindi:
l'inf$X$ è quell'$x$ tc per tutti i valori di $a in X$ ho che $x|a$, quindi ${2}$ (e non ${1}$ come avevo scritto per inf${a,b}$)
sup$X$ mi vien da dire che non c'è in quanto devo trovare un valore di $x$ (correggimi se sbaglio) per cui valga $a|x$ per tutti gli $a in X$..
per quanto riguarda i ragionamenti su minimo e inferiore, non ti seguo.. porta pazienza..
l'inf$X$ è quell'$x$ tc per tutti i valori di $a in X$ ho che $x|a$, quindi ${2}$ (e non ${1}$ come avevo scritto per inf${a,b}$)
sup$X$ mi vien da dire che non c'è in quanto devo trovare un valore di $x$ (correggimi se sbaglio) per cui valga $a|x$ per tutti gli $a in X$..
per quanto riguarda i ragionamenti su minimo e inferiore, non ti seguo.. porta pazienza..
Allora: [tex]\min X = 2[/tex], e fin qui ci siamo. Se esiste il minimo di un insieme, necessariamente esiste anche l'estremo inferiore e coincide con il minimo. Sei d'accordo con questa mia affermazione (oppure, sei in grado di dimostrare che è corretta)?
Invece la non esistenza del massimo (in questo caso il massimo non può esistere) non mi dice nulla sull'estremo superiore: infatti esiste in [tex]\mathbb{N}[/tex] un numero [tex]n[/tex] tale che [tex]a \mid n[/tex] per ogni [tex]a \in X[/tex]? Direi che almeno uno esiste: basta prendere [tex]n = 0[/tex]. E se per assurdo l'estremo superiore fosse un numero [tex]m \ne 0[/tex], cosa succederebbe? Riesci a trovare una contraddizione?
Invece la non esistenza del massimo (in questo caso il massimo non può esistere) non mi dice nulla sull'estremo superiore: infatti esiste in [tex]\mathbb{N}[/tex] un numero [tex]n[/tex] tale che [tex]a \mid n[/tex] per ogni [tex]a \in X[/tex]? Direi che almeno uno esiste: basta prendere [tex]n = 0[/tex]. E se per assurdo l'estremo superiore fosse un numero [tex]m \ne 0[/tex], cosa succederebbe? Riesci a trovare una contraddizione?
ma per quanto riguarda il massimo, il numero $n$ non devo andare a cercarlo in $X$? Sto facendo parecchio casino con le definizioni mi sa..
massimo[\b]: Sia $R$ una relazione d'ordine sull'insieme $X$ e siano $x in X$ e $A sube X$, $x$ è un massimo di $A$ se $x in A$ e $aRx$ per ogni $a in A$.
Io ho sempre interpretato $X$ come l'insieme su cui "si svolge" l'esercizio, nel nostro caso proprio $X={n in N | n = 2^k, k in N^+}$. Però ora che ci ho sbattuto il muso contro, facendo un confronto tra quanto mi hai detto tu e la definizione mi viene da pensare che ho sempre sbagliato, perchè l'$A$ della mia definizione corrisponde all'$X$ dell'esercizion, mentre la $X$ della definizione corrisponde a $N$ nell'esercizio.
Quindi mi torna che min$X=2$, in quanto $x in X$ e $x|a$ per ogni $a in X$ (qui come $X$ considero l'insieme $X={n in N | n = 2^k, k in N^+}$ e non l'$X$ della definizione che ho dato per il massimo).
minorante[\b]: Sia $R$ una relazione d'ordine sull'insieme $X$ e siano $x in X$ e $A sube X$, $x$ è un minorante di $A$ se $xRa$ per ogni $a in A$. Qui i valori di $x$ li posso pescare dai naturali se seguo il tuo ragionamento e la definizione, e mi risulta che $x={1,2}$, e per determinare l'estremo inferiore scelgo il massimo dei minoranti, quindi $2$
riguardo all'estremo superiore adesso ho capito, prima appunto ragionavo nel modo sbagliato: $x in N$ tc $a|x$ per ogni $a in X$ è lo $0$ come dici tu.
Se l'estremo superiore fosse un numero $m <> 0$ avrei che per ogni $a in X, a|m$ ma questo vuol dire che $X$ non è infinito.. giusto?
Però non saprei dimostrarti che se esiste il minimo allora per forza esiste anche l'estremo inferiore..
massimo[\b]: Sia $R$ una relazione d'ordine sull'insieme $X$ e siano $x in X$ e $A sube X$, $x$ è un massimo di $A$ se $x in A$ e $aRx$ per ogni $a in A$.
Io ho sempre interpretato $X$ come l'insieme su cui "si svolge" l'esercizio, nel nostro caso proprio $X={n in N | n = 2^k, k in N^+}$. Però ora che ci ho sbattuto il muso contro, facendo un confronto tra quanto mi hai detto tu e la definizione mi viene da pensare che ho sempre sbagliato, perchè l'$A$ della mia definizione corrisponde all'$X$ dell'esercizion, mentre la $X$ della definizione corrisponde a $N$ nell'esercizio.
Quindi mi torna che min$X=2$, in quanto $x in X$ e $x|a$ per ogni $a in X$ (qui come $X$ considero l'insieme $X={n in N | n = 2^k, k in N^+}$ e non l'$X$ della definizione che ho dato per il massimo).
minorante[\b]: Sia $R$ una relazione d'ordine sull'insieme $X$ e siano $x in X$ e $A sube X$, $x$ è un minorante di $A$ se $xRa$ per ogni $a in A$. Qui i valori di $x$ li posso pescare dai naturali se seguo il tuo ragionamento e la definizione, e mi risulta che $x={1,2}$, e per determinare l'estremo inferiore scelgo il massimo dei minoranti, quindi $2$
riguardo all'estremo superiore adesso ho capito, prima appunto ragionavo nel modo sbagliato: $x in N$ tc $a|x$ per ogni $a in X$ è lo $0$ come dici tu.
Se l'estremo superiore fosse un numero $m <> 0$ avrei che per ogni $a in X, a|m$ ma questo vuol dire che $X$ non è infinito.. giusto?
Però non saprei dimostrarti che se esiste il minimo allora per forza esiste anche l'estremo inferiore..
Massimo: sia [tex]\mathcal{R}[/tex] una relazione d'ordine sull'insieme [tex]I[/tex] e sia [tex]A \subseteq I[/tex]. Diciamo che un elemento [tex]x \in I[/tex] è un massimo se [tex]x \in A[/tex] e [tex]a \mathcal{R} x[/tex] per ogni [tex]a \in A[/tex].
Estremo superiore: sia [tex]\mathcal{R}[/tex] una relazione d'ordine sull'insieme [tex]I[/tex] e sia [tex]A \subseteq I[/tex]. Diciamo che un elemento [tex]x \in I[/tex] è un massimo se [tex]a \mathcal{R} x[/tex] per ogni [tex]a \in A[/tex] e se inoltre per ogni [tex]y \in I[/tex] tale che [tex]a \mathcal{R} y[/tex] per ogni [tex]a \in A[/tex] segue [tex]x \mathcal{R} y[/tex].
Vedi la differenza tra massimo ed estremo superiore: il massimo di un insieme [tex]A[/tex] deve sempre essere un elemento di [tex]A[/tex], mentre nel caso dell'estremo superiore questa richiesta non c'è. In compenso l'estremo superiore deve essere il minimo dei maggioranti.
Supponiamo che [tex]A[/tex] sia un sottoinsieme di [tex](I,\le)[/tex] dotato di massimo [tex]M[/tex]. Allora sicuramente [tex]a \le M[/tex] per ogni [tex]a \in A[/tex]. D'altra parte se [tex]y\in I[/tex] è un elemento tale che [tex]a \le y[/tex] per ogni [tex]a \in A[/tex], essendo [tex]M \in A[/tex], segue [tex]M \le y[/tex] e quindi [tex]M[/tex] coincide con l'estremo superiore dell'insieme. Quindi [tex]\mbox{(esistenza massimo)} \Rightarrow \mbox{(esistenza estremo superiore)}[/tex]. Analoghi ragionamenti (opportunamente dualizzati) valgono per minimo ed estremo inferiore.
Sì questo è giusto.
Estremo superiore: sia [tex]\mathcal{R}[/tex] una relazione d'ordine sull'insieme [tex]I[/tex] e sia [tex]A \subseteq I[/tex]. Diciamo che un elemento [tex]x \in I[/tex] è un massimo se [tex]a \mathcal{R} x[/tex] per ogni [tex]a \in A[/tex] e se inoltre per ogni [tex]y \in I[/tex] tale che [tex]a \mathcal{R} y[/tex] per ogni [tex]a \in A[/tex] segue [tex]x \mathcal{R} y[/tex].
Vedi la differenza tra massimo ed estremo superiore: il massimo di un insieme [tex]A[/tex] deve sempre essere un elemento di [tex]A[/tex], mentre nel caso dell'estremo superiore questa richiesta non c'è. In compenso l'estremo superiore deve essere il minimo dei maggioranti.
Supponiamo che [tex]A[/tex] sia un sottoinsieme di [tex](I,\le)[/tex] dotato di massimo [tex]M[/tex]. Allora sicuramente [tex]a \le M[/tex] per ogni [tex]a \in A[/tex]. D'altra parte se [tex]y\in I[/tex] è un elemento tale che [tex]a \le y[/tex] per ogni [tex]a \in A[/tex], essendo [tex]M \in A[/tex], segue [tex]M \le y[/tex] e quindi [tex]M[/tex] coincide con l'estremo superiore dell'insieme. Quindi [tex]\mbox{(esistenza massimo)} \Rightarrow \mbox{(esistenza estremo superiore)}[/tex]. Analoghi ragionamenti (opportunamente dualizzati) valgono per minimo ed estremo inferiore.
"BeNdErR":
Se l'estremo superiore fosse un numero $m<>0$ avrei che per ogni $a\in X,a|m$ ma questo vuol dire che $X$ non è infinito.. giusto?
Sì questo è giusto.
ottimo, ora mi è chiaro 
Tornando al problema iniziale:
Un insieme parzialmente ordinato $X,<=$ si dice un reticolo se, per ogni $a,b inX$, l'insieme ${a,b}$ ha estremo superiore ed estremo inferiore.
Il testo diceva: "Un sottoinsieme infinito di un reticolo non ha estremo superiore oppure non ha estremo inferiore".
quindi abbiamo un $A sub X$ dove $X$ è un reticolo. Qui però mi sorge il dubbio: sapendo che per ogni coppia ${a,b}$ ho sup e inf, il sup$X$ è il più grande tra i sup$(a,b)$? e lo stesso vale per inf$X$?
Tornando al problema iniziale:
Un insieme parzialmente ordinato $X,<=$ si dice un reticolo se, per ogni $a,b inX$, l'insieme ${a,b}$ ha estremo superiore ed estremo inferiore.
Il testo diceva: "Un sottoinsieme infinito di un reticolo non ha estremo superiore oppure non ha estremo inferiore".
quindi abbiamo un $A sub X$ dove $X$ è un reticolo. Qui però mi sorge il dubbio: sapendo che per ogni coppia ${a,b}$ ho sup e inf, il sup$X$ è il più grande tra i sup$(a,b)$? e lo stesso vale per inf$X$?
No. Purtroppo, quando si parla di insiemi infiniti non puoi trasportare banalmente le proprietà di cui godono gli insiemi finiti. Come ti mostrava il mio controesempio iniziale esistono reticoli in cui ci sono sottoinsiemi finiti che non hanno né estremo inferiore né estremo superiore. Ed esistono anche reticoli con sottoinsiemi infiniti che invece ammettono sia l'uno che l'altro.
Il fatto che ogni coppia [tex]\{a,b\}[/tex] abbia estremo inferiore ed estremo superiore non basta a garantire che un qualunque insieme sia dotato di estremo superiore o estremo inferiore. Basterebbe se l'insieme in questione fosse finito (in tal caso basta procedere per induzione).
[size=75]edit: corretta una svista[/size]
Il fatto che ogni coppia [tex]\{a,b\}[/tex] abbia estremo inferiore ed estremo superiore non basta a garantire che un qualunque insieme sia dotato di estremo superiore o estremo inferiore. Basterebbe se l'insieme in questione fosse finito (in tal caso basta procedere per induzione).
[size=75]edit: corretta una svista[/size]
se dovessi dimostrarlo, come potrei fare?
Beh, conosci l'induzione? Questo è una sua applicazione molto semplice.
Procediamo per induzione sul numero [tex]n[/tex] degli elementi del sottoinsieme che stiamo considerando. Il passo base, per [tex]n = 2[/tex] è in questo caso coincidente con la definizione di reticolo e quindi non dobbiamo dimostrare nulla.
Supponiamo ora che sia valida la tesi per gli insiemi con n-1 elementi e dimostriamola per gli insiemi con n elementi. Sia X un tale insieme, [tex]X = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\}[/tex]. Allora per ipotesi induttiva esiste [tex]\inf \{a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}\} = \alpha[/tex] e, visto che siamo in un reticolo, esiste [tex]\beta = \inf\{\alpha,a_n\}[/tex]. Se riusciamo a far vedere che [tex]\beta = \inf X[/tex] abbiamo concluso. Pensi di riuscire a dimostrare questo fatto?
Procediamo per induzione sul numero [tex]n[/tex] degli elementi del sottoinsieme che stiamo considerando. Il passo base, per [tex]n = 2[/tex] è in questo caso coincidente con la definizione di reticolo e quindi non dobbiamo dimostrare nulla.
Supponiamo ora che sia valida la tesi per gli insiemi con n-1 elementi e dimostriamola per gli insiemi con n elementi. Sia X un tale insieme, [tex]X = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\}[/tex]. Allora per ipotesi induttiva esiste [tex]\inf \{a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}\} = \alpha[/tex] e, visto che siamo in un reticolo, esiste [tex]\beta = \inf\{\alpha,a_n\}[/tex]. Se riusciamo a far vedere che [tex]\beta = \inf X[/tex] abbiamo concluso. Pensi di riuscire a dimostrare questo fatto?
uhm visto così mi vien difficile.. provo a ricondurlo ad un esempio, dimmi se sbaglio:
Prendo un sottoinsieme $X$ di $N,<=$, che è infinito ed è un reticolo, tale che $X=x in N | x =>10$.
L'estremo inferiore inf$X$ è il più grande $n in N$ tale che $nRa$ per ogni $a in X$, quindi $10$, che corrisponde anche al minimo.
L'estremo superiore sup$X$ è il più piccolo $n in N$ tale che $aRn$ per ogni $a in X$. Supponendo che $X$ abbia $z$ elementi, sup$(x_1, x_z)$ riusciamo a calcolarlo ed è uguale a $x_z$.
ora la tesi è valida per gli insiemi con $z$ elementi, provo sugli insiemi con $z+1$ elementi. $X = {x_1,x_2,...,x_(n+1)}$, sup$X = x_n+1$, però quando ci spostiamo in insiemi infiniti non riusciamo a trovare l'estremo superiore appunto perchè l'insieme avrà sempre un elemento successore a $x_n$ e di conseguenza avremo sempre un nuovo estremo superiore.
ci sono? So di aver riscritto esattamente quanto hai detto tu forse in modo un po' diverso (e spero giusto), ma mi è utile a capirci di più.
Prendo un sottoinsieme $X$ di $N,<=$, che è infinito ed è un reticolo, tale che $X=x in N | x =>10$.
L'estremo inferiore inf$X$ è il più grande $n in N$ tale che $nRa$ per ogni $a in X$, quindi $10$, che corrisponde anche al minimo.
L'estremo superiore sup$X$ è il più piccolo $n in N$ tale che $aRn$ per ogni $a in X$. Supponendo che $X$ abbia $z$ elementi, sup$(x_1, x_z)$ riusciamo a calcolarlo ed è uguale a $x_z$.
ora la tesi è valida per gli insiemi con $z$ elementi, provo sugli insiemi con $z+1$ elementi. $X = {x_1,x_2,...,x_(n+1)}$, sup$X = x_n+1$, però quando ci spostiamo in insiemi infiniti non riusciamo a trovare l'estremo superiore appunto perchè l'insieme avrà sempre un elemento successore a $x_n$ e di conseguenza avremo sempre un nuovo estremo superiore.
ci sono? So di aver riscritto esattamente quanto hai detto tu forse in modo un po' diverso (e spero giusto), ma mi è utile a capirci di più.
Il problema è che un ragionamento come quello che hai fatto tu non ha validità dimostrativa perché si appoggia su di un esempio. Ad esempio tu utilizzi il fatto che in [tex]X[/tex] gli elementi sono disposti in ordine crescente, mentre in un reticolo generico potrebbero esserci elementi non confrontabili tra di loro...
Non è difficile dimostrare quello che ti ho chiesto: infatti, [tex]\beta \le \alpha[/tex] e [tex]\beta \le a_n[/tex] per definizione di estremo inferiore dell'insieme [tex]\{\alpha, a_n\}[/tex]. Inoltre, [tex]\alpha \le a_k[/tex] per ogni [tex]1 \le k \le n-1[/tex] per definizione di estremo inferiore applicata all'insieme [tex]\{a_1,\ldots,a_{n-1}\}[/tex]. Quindi [tex]\beta[/tex] è un minorante di [tex]X[/tex]. D'altra parte se [tex]y \le a_k[/tex] per ogni [tex]1 \le k \le n[/tex], allora in particolare [tex]y \le a_k[/tex] per ogni [tex]1 \le k \le n-1[/tex], sicché per definizione di estremo inferiore segue necessariamente [tex]y \le \alpha[/tex]. Ma allora [tex]y \le \alpha[/tex] e [tex]y \le a_n[/tex], da cui, sempre per definizione di estremo inferiore, segue [tex]y \le \beta[/tex]. Quindi [tex]\beta[/tex] soddisfa alla definizione di estremo inferiore applicata all'insieme [tex]X[/tex], ossia [tex]\beta = \inf X[/tex]. Pertanto abbiamo dimostrato che [tex]X[/tex] ammete estremo inferiore, abbiamo dimostrato il passo induttivo e pertanto abbiamo dimostrato la tesi per gli insiemi finiti. Il discorso per l'estremo superiore è il duale di quello appena fatto.
Non è difficile dimostrare quello che ti ho chiesto: infatti, [tex]\beta \le \alpha[/tex] e [tex]\beta \le a_n[/tex] per definizione di estremo inferiore dell'insieme [tex]\{\alpha, a_n\}[/tex]. Inoltre, [tex]\alpha \le a_k[/tex] per ogni [tex]1 \le k \le n-1[/tex] per definizione di estremo inferiore applicata all'insieme [tex]\{a_1,\ldots,a_{n-1}\}[/tex]. Quindi [tex]\beta[/tex] è un minorante di [tex]X[/tex]. D'altra parte se [tex]y \le a_k[/tex] per ogni [tex]1 \le k \le n[/tex], allora in particolare [tex]y \le a_k[/tex] per ogni [tex]1 \le k \le n-1[/tex], sicché per definizione di estremo inferiore segue necessariamente [tex]y \le \alpha[/tex]. Ma allora [tex]y \le \alpha[/tex] e [tex]y \le a_n[/tex], da cui, sempre per definizione di estremo inferiore, segue [tex]y \le \beta[/tex]. Quindi [tex]\beta[/tex] soddisfa alla definizione di estremo inferiore applicata all'insieme [tex]X[/tex], ossia [tex]\beta = \inf X[/tex]. Pertanto abbiamo dimostrato che [tex]X[/tex] ammete estremo inferiore, abbiamo dimostrato il passo induttivo e pertanto abbiamo dimostrato la tesi per gli insiemi finiti. Il discorso per l'estremo superiore è il duale di quello appena fatto.
ah ok, penso di aver capito. Però nel caso degli insiemi infiniti, come dimostri che la regola non vale? ragioni per assurdo?
No, in genere l'assurdo serve a dimostrare che una certa proprietà è valida, non il contrario. Quando vuoi dimostrare che un enunciato è falso, il metodo più rapido è cercare un controesempio. Ma non l'abbiamo già fatto questo discorso? Il primo esempio che ho fatto, [tex]\mathbb{Z}[/tex] ordinato in modo standard con sottoreticolo infinito [tex]2\mathbb{Z}[/tex] non ti piace?
eh non mi ricordavo nemmeno più che ne avevamo già parlato 
ma per dire, l'esempio stupido che ho fatto io su $N$ non può andar bene come controesempio per dire che la proprietà non vale?
ma per dire, l'esempio stupido che ho fatto io su $N$ non può andar bene come controesempio per dire che la proprietà non vale?
Purtroppo l'esempio che hai dato tu su [tex]\mathbb{N}[/tex] soddisfa la proprietà enunciata dal testo: "in un reticolo ogni sottoinsieme infinito o non ha estremo superiore oppure non ha estremo inferiore". Nel tuo esempio l'insieme non ha estremo superiore e quindi la proprietà è verificata.
Invece [tex]2\mathbb{Z}[/tex] non ha né estremo superiore né estremo inferiore e quindi contraddice il testo, nel caso in cui l'"oppure" sia esclusivo.
Ancora, sempre [tex]2\mathbb{Z}[/tex] in [tex]\mathbb{Z}\cup\{\pm\infty\}[/tex] costituisce un esempio di insieme infinito dotato di entrambi gli estremi, superiore ed inferiore.
Invece [tex]2\mathbb{Z}[/tex] non ha né estremo superiore né estremo inferiore e quindi contraddice il testo, nel caso in cui l'"oppure" sia esclusivo.
Ancora, sempre [tex]2\mathbb{Z}[/tex] in [tex]\mathbb{Z}\cup\{\pm\infty\}[/tex] costituisce un esempio di insieme infinito dotato di entrambi gli estremi, superiore ed inferiore.
ottimo grazie mille per la pazienza che hai avuto, sei stato gentilissimo!
grazie mille per la pazienza che hai avuto, sei stato gentilissimo!
Figurati! Così ho messo anche un po' alla prova le mie conoscenze su questi argomenti!
Ciao, scrivo qui perchè ho una domanda sull'argomento reticoli, in particolare la dimostrazione della proprietà associativa per l'operazione $vvv$ su un reticolo $(S,<=)$ . Cito la dimostrazione come ce l'ho sulle dispense del professore:
Proprietà: $avvv(bvvvc)=(avvvb)vvvc$
dim: l'elemento $x=avvv(bvvvc)$ è maggiorante dell'insieme ${a,b,c}$; se $y$ è un altro maggiorante di ${a,b,c}$ allora $a<=y, b<=y, c<=y$, ne consegue, essendo l'estremo superiore $Sup$ il più piccolo dei maggioranti, che $bvvvc<=y$ e $avvv(bvvvc)<=y$. Allora $avvv(bvvvc)$ è il minimo dei maggioranti, cioè $avvv(bvvvc)=Sup{a,b,c}$. In modo analogo si ha $(avvvb)vvvc=Sup{a,b,c}$
mi chiedo non si dovrebbe dimostrare l'eguaglianza tra $avvv(bvvvc)$ e $(avvvb)vvvc$ questa dimostrazione non mi convince quando dice " essendo l'estremo superiore $Sup$ il più piccolo dei maggioranti, che $bvvvc<=y$ e $avvv(bvvvc)<=y$" mi sembra più la definizione stessa di superiore e non dimostri la associatività.
Io pensavo di dimostrare l'associatività in questo modo, cioè se l'elemento $x=avvv(bvvvc)$ è maggiorante dell'insieme ${a,b,c}$ sarà maggiorante per l'insieme ${a,b}$ e ${c}$ cioè $avvvb<=x, c<=x$ quindi $x=(avvvb)vvvc$
spero di essermi fatto capire
Proprietà: $avvv(bvvvc)=(avvvb)vvvc$
dim: l'elemento $x=avvv(bvvvc)$ è maggiorante dell'insieme ${a,b,c}$; se $y$ è un altro maggiorante di ${a,b,c}$ allora $a<=y, b<=y, c<=y$, ne consegue, essendo l'estremo superiore $Sup$ il più piccolo dei maggioranti, che $bvvvc<=y$ e $avvv(bvvvc)<=y$. Allora $avvv(bvvvc)$ è il minimo dei maggioranti, cioè $avvv(bvvvc)=Sup{a,b,c}$. In modo analogo si ha $(avvvb)vvvc=Sup{a,b,c}$
mi chiedo non si dovrebbe dimostrare l'eguaglianza tra $avvv(bvvvc)$ e $(avvvb)vvvc$ questa dimostrazione non mi convince quando dice " essendo l'estremo superiore $Sup$ il più piccolo dei maggioranti, che $bvvvc<=y$ e $avvv(bvvvc)<=y$" mi sembra più la definizione stessa di superiore e non dimostri la associatività.
Io pensavo di dimostrare l'associatività in questo modo, cioè se l'elemento $x=avvv(bvvvc)$ è maggiorante dell'insieme ${a,b,c}$ sarà maggiorante per l'insieme ${a,b}$ e ${c}$ cioè $avvvb<=x, c<=x$ quindi $x=(avvvb)vvvc$
spero di essermi fatto capire
Ti sei fatto capire. Però ti faccio notare che il tuo tentativo non è sufficiente. Hai di certo concluso che se [tex]x = a \vee (b \vee c)[/tex] allora [tex](a \vee b) \vee c \le x[/tex]; ma questo non basta. Qual è la definizione di estremo superiore? Un elemento è estremo superiore di un insieme se è un suo maggiorante e se è più piccolo di ogni altro maggiorante dell'insieme. Ti rimane quindi questa seconda parte da dimostrare!
Se fosse [tex]a\vee b \le y[/tex], [tex]c \le y[/tex], allora [tex]y \ge b, y \ge c[/tex] da cui, per definizione di estremo superiore [tex]y \ge b \vee c[/tex]; ma allora [tex]a \le y[/tex] e [tex]b \vee c \le y[/tex], da cui finalmente [tex]x \le y[/tex] e solo adesso possiamo dire di aver finito.
Per forza ti sembra la definizione di sup. E' la definizione di sup. E poi, di grazia, come sarebbe possibile dimostrare l'associatività di un'operazione definita mediante il sup se non usando le proprietà del sup?
Se fosse [tex]a\vee b \le y[/tex], [tex]c \le y[/tex], allora [tex]y \ge b, y \ge c[/tex] da cui, per definizione di estremo superiore [tex]y \ge b \vee c[/tex]; ma allora [tex]a \le y[/tex] e [tex]b \vee c \le y[/tex], da cui finalmente [tex]x \le y[/tex] e solo adesso possiamo dire di aver finito.
"dr_manhattan":
questa dimostrazione non mi convince quando dice "essendo l'estremo superiore $Sup$ il più piccolo dei maggioranti, che $b \bigvee c \le y$ e $a \bigvee(b\bigvee c) \le y$" mi sembra più la definizione stessa di superiore e non dimostri la associatività.
Per forza ti sembra la definizione di sup. E' la definizione di sup. E poi, di grazia, come sarebbe possibile dimostrare l'associatività di un'operazione definita mediante il sup se non usando le proprietà del sup?
è vero, ho dimenticato di dimostrare la seconda parte del sup. grazie infinite o infinitamente numerabili!
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