Domanda di teoria sull'immagine
Ciao, vorrei riproporre un dubbio per cui non ho avuto aiuto, forse ho peccato di rendere lo scritto troppo lungo e volevo provare a ripostare, togliendo dal principio alcune domande e lasciandone UNA.
Vorrei basarmi su un esempio, una applicazione lineare, ma il dubbio è teorico e non di un esercizio.
Io so che per definizione
data $f: V->W$ ad esempio come matrice $L=((2,4),(1,2))$ (nel nostro caso avremo gli insiemi $V=RR^2=W$)
l'immagine è l'insieme così definito: $Im(f):={w in W : ∃v in V t.c f(v)=w}$
Mi trovo subito con una domanda, quando si vuole trovare l'immagine di L si procede così:
si prende un vettore qualsiasi di $R^2$ cioè $x in V$ (scrivo V perché più facile distinguere dominio e codominio così, invece di chiamarlo $RR^2$) e si applica $L$ a $x$: Lx, ottengo facendo i conti: $w:=(2x_1+4x_2,x_1+2x_2)$ e quindi si dice che $Im(L)={(2x_1+4x_2,x_1+2x_2) : x_1, x_2 in RR}$.
Ora, a me sembra di aver fatto questo procedimento:
- ho preso un qualunque (per ogni) vettore di V $v=x=(x1,x2)$
- ho trovato che $L(x)=w in W$.
Ma questo procedimento sfrutta un per ogni x e non un esiste x=(x1,x2) come richiede la definizione data; ho appunto usato un per ogni $vecx$ e mostro che ho un w da questo x tale che L(x)=w. Ma la definizione non chiede questo! Non capisco quindi come far tornare le cose.
Spero in qualche aiuto e ringrazio molto.
Vorrei basarmi su un esempio, una applicazione lineare, ma il dubbio è teorico e non di un esercizio.
Io so che per definizione
data $f: V->W$ ad esempio come matrice $L=((2,4),(1,2))$ (nel nostro caso avremo gli insiemi $V=RR^2=W$)
l'immagine è l'insieme così definito: $Im(f):={w in W : ∃v in V t.c f(v)=w}$
Mi trovo subito con una domanda, quando si vuole trovare l'immagine di L si procede così:
si prende un vettore qualsiasi di $R^2$ cioè $x in V$ (scrivo V perché più facile distinguere dominio e codominio così, invece di chiamarlo $RR^2$) e si applica $L$ a $x$: Lx, ottengo facendo i conti: $w:=(2x_1+4x_2,x_1+2x_2)$ e quindi si dice che $Im(L)={(2x_1+4x_2,x_1+2x_2) : x_1, x_2 in RR}$.
Ora, a me sembra di aver fatto questo procedimento:
- ho preso un qualunque (per ogni) vettore di V $v=x=(x1,x2)$
- ho trovato che $L(x)=w in W$.
Ma questo procedimento sfrutta un per ogni x e non un esiste x=(x1,x2) come richiede la definizione data; ho appunto usato un per ogni $vecx$ e mostro che ho un w da questo x tale che L(x)=w. Ma la definizione non chiede questo! Non capisco quindi come far tornare le cose.
Spero in qualche aiuto e ringrazio molto.
Risposte
"ghira":
Magari kaiz preferisce il quasi assurdo:
$\bigcup_{v\in V} {f(v)}$
?
No, credo che il problema sia l'incapacità di parsare i quantificatori, o di trasportare una idea intuitiva ("l'insieme dei valori assunti da una funzione") in formalismo. Si può fare in molti modi; espone molti sottili problemi tecnici; ciascuno si risolve in diversi modi a seconda della sensibilità del singolo.
Sembra un messaggio lungo e me ne scuso ma in realtà è la risposta a due utenti separati 
metto in spoiler una parte per non creare danni visivi 
@Martino:
Tipo questo:
Altro errore che facevo era pensare che ${f(v) : v in V}$ in fin dei conti richiedesse un esiste, perché ${w : EE v in V : w=f(v)}$ ha un esiste w, e quindi valendo w=f(v) che ci dice che è lo stesso oggetto, da qui volevo rendere un "esiste f(v)". E mi ostinavo ad ottenerlo.
Erano questi ragionamenti sbagliati che mi portavano fuori strada.
Il resto del messaggio invece sul perché viene fuori gratis il "per ogni" mi era chiaro già da prima
e non posso che constatare che sia molto chiaro.
Direi che su questa faccenda non ho più dubbi, il tale che serve solo a dire che gli elementi f(v) che fanno parte dell'insieme sono caratterizzati dalla proprietà $v in V$. Non devo rendere nessun quantificatore per ogni o esiste in questa scrittura. Mi fa strano perché pensavo che potessi quantificare l'esistenza di quei v come esiste o per ogni, ma ho compreso che era un sentimento errato.
Volevo chiederti solo una cosa invece sulla prima parte del mio ultimo post, più che altro per capire l'errore che facevo
PS
@megas_archon:
metto in spoiler una parte per non creare danni visivi @Martino:
Comunque a me sembra di ripetere sempre le stesse cose, non so quanto sia utile.in realtà mi è stato molto utile perché certe cose le avevo proprio travisate e quindi ho preferito chiederle in modo specifico. E' stato molto utile.
Tipo questo:
No, io non leggerei ${f(v) : v in V}$ come "$f(v)$ per ogni $v in V$", invece lo leggo come "$f(v)$ tale che $v in V$"ho capito ora. La mia intuizione (errata) era che tutto si potesse in qualche modo quantificare e il "tale che" mi dava fastidio e volevo renderlo in tutti i modi come "per ogni" oppure come "esiste", era questo il mio errore. Dato che quando scriviamo "esiste x tale che" e quel tale che non serve a nulla nella logica mi ero persuaso che succedesse qualcosa del genere anche qui.
Altro errore che facevo era pensare che ${f(v) : v in V}$ in fin dei conti richiedesse un esiste, perché ${w : EE v in V : w=f(v)}$ ha un esiste w, e quindi valendo w=f(v) che ci dice che è lo stesso oggetto, da qui volevo rendere un "esiste f(v)". E mi ostinavo ad ottenerlo.
Erano questi ragionamenti sbagliati che mi portavano fuori strada.
Il resto del messaggio invece sul perché viene fuori gratis il "per ogni" mi era chiaro già da prima
e non posso che constatare che sia molto chiaro.Direi che su questa faccenda non ho più dubbi, il tale che serve solo a dire che gli elementi f(v) che fanno parte dell'insieme sono caratterizzati dalla proprietà $v in V$. Non devo rendere nessun quantificatore per ogni o esiste in questa scrittura. Mi fa strano perché pensavo che potessi quantificare l'esistenza di quei v come esiste o per ogni, ma ho compreso che era un sentimento errato.
Volevo chiederti solo una cosa invece sulla prima parte del mio ultimo post, più che altro per capire l'errore che facevo
"kaiz":volevo capire se ho individuato bene l'errore che mi segnalavate. Mi sembra che ora tornasse ma volevo esser certo di aver corretto in modo preciso l'errore.Nessuna di queste formulazioni ha senso, cosa significa "R(v) tale che esiste v∈V"? Poi se metti "tale che", "tale per cui" o simili non cambia niente.
[edit]
Scrivendo e controscrivendo questo messaggio penso 100 volte, forse ho capito le vostre correzioni; proviamo se riesco a spiegarmi:
Prendiamo le funzioni e quindi le f(v), mi sembrava sensato poter definire un insieme di questo tipo: "l'insieme degli f(v) tali che esiste v∈V" tuttavia dopo molte rielaborazioni che mi avete stimolato mi sembra in effetti insensata come proposizione, nel senso che scritta così dice che quell'insieme è l'insieme degli oggetti f(v) tali che esiste un elemento v in V. Quindi è l'insieme di f(v) tale che l'insieme V non sia vuoto (in un certo senso, dato che richiedo l'esistenza di un v al suo interno), insomma una proposizione insensata.
Il mio errore di fondo era che leggevo la frase: l'insieme delle f(v) tali che "esiste v in V" come: l'insieme delle f(v) "che avevano tale v che stava in V". Ma è errato, non dice questo.
[/edit]
PS
@megas_archon:
Sì, e infatti vedi come la definizione che hai dato, "$b\in \text{im } f$ se e solo se esiste un elemento del dominio con la proprietà che $fa=b$" si traduce immediatamente così: \(\text{im } f = \{b\in B\mid \exists (a\in A, fa=b)\}\). In nessun posto in questa definizione appare un quantificatore universale.
Stai semplicemente dicendo che un elemento di \(\text{im } f\) si dà a questa maniera: si dà un $b\in B$, insieme a una coppia ordinata \((a,\pi)\), dove $a\in A$ e \(\pi\) è una dimostrazione che $fa=b$.
Stai semplicemente dicendo che un elemento di \(\text{im } f\) si dà a questa maniera: si dà un $b\in B$, insieme a una coppia ordinata \((a,\pi)\), dove $a\in A$ e \(\pi\) è una dimostrazione che $fa=b$.
Grazie per la tua risposta. Certo ma infatti $im f={b∈B∣∃(a∈A,fa=b)}$ come dici tu è molto naturale e non mi ha mai creato problemi. I miei problemi nascevano con ${f(v):vinV}$ perché non vi erano esplicitamente dei quantificatori e mi impallavo scontrandomi con la mia volontà di darne un senso quantificato. Ma come dicevo nel mio ultimo post in risposta @Martino ora mi è chiaro che vada letto come tale che.
Mi rimaneva solo un ultimo dubbio da chiarire, però non c'entrava con l'insieme immagine.
E volevo ciò capire l'errore nell'uso di esiste nella proposizione:
"l'insieme degli f(v) tali che esiste v∈V"
che mi dicevate essere logicamente insensata.
Mi sono risposto così, ma dato che sto imparando solo ora a capie sti beneamati quantificatori volevo chiedervi/ti se fosse corretto ciò che ho capito.
Prendiamo le funzioni e quindi le f(v), mi sembrava sensato poter definire un insieme di questo tipo: "l'insieme degli f(v) tali che esiste v∈V" tuttavia dopo molte rielaborazioni che mi avete stimolato mi sembra in effetti insensata come proposizione, nel senso che scritta così dice che quell'insieme è l'insieme degli oggetti f(v) tali che esiste un elemento v in V. Quindi è l'insieme di f(v) tale che l'insieme V non sia vuoto (in un certo senso, dato che richiedo l'esistenza di un v al suo interno), insomma una proposizione insensata.
Il mio errore di fondo era che leggevo la frase: l'insieme delle f(v) tali che "esiste v in V" come: l'insieme delle f(v) "che avevano tale v che stava in V". Ma è errato, non dice questo.
Ripeto il mio scopo è ora solo capire perché dicevate che non aveva senso come frase (cioè come proposizione logica nell'utilizzo di esiste)
Capito questo non disturberò oltre, prometto
Mi rimaneva solo un ultimo dubbio da chiarire, però non c'entrava con l'insieme immagine.
E volevo ciò capire l'errore nell'uso di esiste nella proposizione:
"l'insieme degli f(v) tali che esiste v∈V"
che mi dicevate essere logicamente insensata.
Mi sono risposto così, ma dato che sto imparando solo ora a capie sti beneamati quantificatori volevo chiedervi/ti se fosse corretto ciò che ho capito.
Prendiamo le funzioni e quindi le f(v), mi sembrava sensato poter definire un insieme di questo tipo: "l'insieme degli f(v) tali che esiste v∈V" tuttavia dopo molte rielaborazioni che mi avete stimolato mi sembra in effetti insensata come proposizione, nel senso che scritta così dice che quell'insieme è l'insieme degli oggetti f(v) tali che esiste un elemento v in V. Quindi è l'insieme di f(v) tale che l'insieme V non sia vuoto (in un certo senso, dato che richiedo l'esistenza di un v al suo interno), insomma una proposizione insensata.
Il mio errore di fondo era che leggevo la frase: l'insieme delle f(v) tali che "esiste v in V" come: l'insieme delle f(v) "che avevano tale v che stava in V". Ma è errato, non dice questo.
Ripeto il mio scopo è ora solo capire perché dicevate che non aveva senso come frase (cioè come proposizione logica nell'utilizzo di esiste)
Capito questo non disturberò oltre, prometto
Se una funzione [parziale] \(f : V \to W\) si vede come una relazione funzionale, cioè un sottoinsieme \(f\subseteq V\times W\) con la proprietà che \(f\cap (\{v\}\times W)\) abbia [al più] un elemento, per ogni \(v\in V\), allora \(\{f(v)\mid v\in V\}\) è, per definizione, \(\bigcup_{v\in V}f\cap (\{v\}\times W)\). Ma scriverlo così è terribile. Alternativamente, è il risultato della composizione \(f\hookrightarrow V\times W\xrightarrow{\pi_W} W\), cioè l'insieme di quei valori che sono della forma \(f(v)\), cioè, più o meno circolarmente, la seconda coordinata di ogni elemento di $f$.
Il fatto è che
${f(v)\ |\ v in V}$
va letto come (è un'abbreviazione di)
${w\ | \ EE v in V\ :\ w=f(v)}$
Stabilito questo, penso che ora ti sia chiaro che scrivere
${f(v)\ |\ EE v in V}$
non ha significato.
${f(v)\ |\ v in V}$
va letto come (è un'abbreviazione di)
${w\ | \ EE v in V\ :\ w=f(v)}$
Stabilito questo, penso che ora ti sia chiaro che scrivere
${f(v)\ |\ EE v in V}$
non ha significato.
"Martino":esatto, questo è il sunto di ciò che ho dedotto grazie alle vostre spiegazioni. Ma la mia domanda voleva essere differente.
Il fatto è che
${f(v)\ |\ v in V}$
va letto come (è un'abbreviazione di)
${w\ | \ EE v in V\ :\ w=f(v)}$
Stabilito questo, penso che ora ti sia chiaro che scrivere
${f(v)\ |\ EE v in V}$
non ha significato.
Siccome quella cosa l'ho capita mi chiedevo se avesse invece senso una proposizione del genere (non connessa al significato degli insiemi precedenti del quote, è una domanda a sé stante).
Voglio definire un insieme così: "l'insieme degli f(v) tali che esiste v∈V" (ripeto senza legami con il concetto di immagine e vedere se è sensato come insieme). Ecco, notavo che mi sembra proprio errato l'utilizzo del quantificatore, un insieme così non esiste proprio, perché equivale ad affermare una scemenza tipo: "è l'insieme di f(v) tale che l'insieme V non sia vuoto", dato che richiedo l'esistenza di un v in V. Se non erro (come spiegavo nel mio ultimo messaggio sopra). Ma è insensato.
sì, credo la mia idea di fondo fosse proprio quella e l'hai resa formale. Ed è quello che segnalavo e che ora ho compreso.
Se una funzione [parziale] f:V→W si vede come una relazione funzionale, cioè un sottoinsieme f⊆V×W con la proprietà che f∩({v}×W) abbia [al più] un elemento, per ogni v∈V, allora {f(v)∣v∈V} è, per definizione, ⋃v∈Vf∩({v}×W). Ma scriverlo così è terribile.
Alternativamente, è il risultato della composizione f↪V×W−→−πWW, cioè l'insieme di quei valori che sono della forma f(v), cioè, più o meno circolarmente, la seconda coordinata di ogni elemento di f.devo invece ammettere che questa seconda parte non l'ho capita appieno come ragionamento.
PS: no ok ho capito, mi torna il tuo ragionamento, megas_archon.
Esatto, scrivere ${f(v)\ |\ EE v in V}$ non ha proprio senso.
Sì esatto mi pareva proprio insensato (cosa che inizialmente non mi ero accorto e per quello sbagliavo) perché l'utilizzo dell'esiste è dopo aver "definito" un oggetto f(v). dico esiste v in V, ok bel risultato ora so che V è non vuoto!
L'errore era che io leggevo: l'insieme delle f(v) "che avevano quel v che stava in V". Era proprio un errore di utilizzo dell'esiste.
Comunque vi ringrazio direi che dopo averci ragionato parecchio ora ho abbastanza chiaro queste cose.
Grazie per la pazienza a voi!
ora so che V è non vuoto!L'errore era che io leggevo: l'insieme delle f(v) "che avevano quel v che stava in V". Era proprio un errore di utilizzo dell'esiste.
Comunque vi ringrazio direi che dopo averci ragionato parecchio ora ho abbastanza chiaro queste cose.
Grazie per la pazienza a voi!
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