Domanda

[Sk_Anonymous]

Se ho:

$(N(x))/(ax^2+bx+c),b^2-4ac<0$

è giusta la seguente decomposizione?

$(N(x))/(ax^2+bx+c)=(Ax+B)/(ax^2+bx+c)$

Come determino le costanti $A,B$?con il principio di identità dei polinomi ottengo delle contraddizioni!

E se,in generale,ho $(N(x))/(ax^2+bx+c)^n,b^2-4ac<0,ninNN?

[sognatore12bis]

Almeno siamo sicuri dei risultati!

[Fioravante Patrone1]

siamo altrettanto sicuri!

[Sk_Anonymous]

e se
$(N(x))/(ax^2+bx+c)^n,b^2-4ac<0,ninNN?

[elgiovo]

Siamo molto più sicuri dei risultati derivando con le tecniche note. Infatti nei corsi di analisi il limite del rapporto incrementale si usa solo dove non si può fare altrimenti, ovvero per trovare le derivate di funzioni elementari quali $ln x$, $sin x$, $cos x$... Vammi un pò a calcolare la derivata di $sin (cos (sin (cos x))) $ col rapporto incrementale...

[sognatore12bis]

eh ci si mette lì con un foglio di carta e si fa!

[elgiovo]

Enea, la soluzione al tuo problema. Nel tuo caso le radici del denominatore sono complesse, quindi è uno dei casi in cui $b^2-4ac<0$. Come ho già detto, il mio metodo vale comunque.
$(6x-4)/(x^2-4x+20)=A_1/(x-2+4i)+A_2/(x-2-4i)$.
$A_1=(P(2-4i))/(Q'(2-4i))=(6(2-4i)-4)/(2(2-4i)-4)=3+i$.
$A_2$ è il complesso coniugato di $A_1$, cioè $3-i$.

[elgiovo]

La puoi fare comunque, sono d'accordo, ma sarebbe come costruire un palazzo di 10 piani con gli schiavi egizi che trainano il marmo invece che con la gru e la cementatrice.

[elgiovo]

Beh, se il denominatore è elevato alla $n$ con $n in NN$, allora lo puoi scivere come $a^n(x-r_1)^n(x-r_2)^n$, dove $r_1$ e $r_2$ sono le radici complesse del trinomio di secondo grado. Ti calcoli ugualmente $A_1$ e $A_2$ come ho detto io e poi scriverai un totale di $2n$ frazioni dove, se il denominatore è $x-r_1$, il numeratore è $A_1$, $A_2$ altrimenti.