Divisori elementari
Ho un altro problema:
Determinare i divisori elementari del gruppo abeliano $A=\mathbb{Z}_{25}\oplus\mathbb{Z}_{10}\oplus\mathbb{Z}_2$. Qual è il periodo massimo degli elementi di $A$?
Secondo me tali divisori sono 25, 10, 2, 2. L'avrei ottenuto decomponendo ciascun termine della somma diretta con i p-Sylow di ogni fattore. Non riesco però a stabilire l'ordine massimo degli elementi di A.
E' giusto?
Determinare i divisori elementari del gruppo abeliano $A=\mathbb{Z}_{25}\oplus\mathbb{Z}_{10}\oplus\mathbb{Z}_2$. Qual è il periodo massimo degli elementi di $A$?
Secondo me tali divisori sono 25, 10, 2, 2. L'avrei ottenuto decomponendo ciascun termine della somma diretta con i p-Sylow di ogni fattore. Non riesco però a stabilire l'ordine massimo degli elementi di A.
E' giusto?
Risposte
Non credo che 10 possa essere un divisore elementare.
L'ordine massimo lo trovi considerando un elemento che ha in ogni entrata un elemento di ordine massimo del relativo fattore.
L'ordine massimo lo trovi considerando un elemento che ha in ogni entrata un elemento di ordine massimo del relativo fattore.
"Martino":
Non credo che 10 possa essere un divisore elementare.
L'ordine massimo lo trovi considerando un elemento che ha in ogni entrata un elemento di ordine massimo del relativo fattore.
In effetti ho scritto male, dovrebbero essere (25, 2, 5, 2). Invece non ho capito bene il suggerimento per l'elemento di ordine massimo. Intendi il prodotto dell'elemento di ordine massimo di ciascun fattore?
Per esempio scegli un generatore in ogni entrata: (1,1,1).
"Martino":
Per esempio scegli un generatore in ogni entrata: (1,1,1).
Se non ho capito male un gruppo ciclico di ordine $n$ possiede $\phi (n)$ generatori. Quindi $\mathbb{Z}_{25}$ ne contiene 20 $\mathbb{Z}_{10}$ ne contiene 4 mentre $\mathbb{Z}_2$ ne contiene uno solo. Quali generatori devo scegliere e come faccio ad individuarli (non sono molto ferrato con le classi di resto)?
"maxsiviero":Ne scegli uno qualsiasi in ogni entrata (per esempio 1).
Quali generatori devo scegliere e come faccio ad individuarli?
"Martino":Ne scegli uno qualsiasi in ogni entrata (per esempio 1).[/quote]
[quote="maxsiviero"]Quali generatori devo scegliere e come faccio ad individuarli?
Quindi se scelgo $[1]\in\mathbb{Z}_{25}$ ha ordine 25, $[1]\in\mathbb{Z}_{10}$ ha ordine 10, e $[1]\in\mathbb{Z}_2$ ha ordine 2. Giusto? Quindi l'elemento di periodo massimo di $A=\mathbb{Z}_{25}\oplus\mathbb{Z}_{10}\oplus\mathbb{Z}_2$ ha periodo il $mcm(25,2,10)=50$. Giusto?
Sì.
"Martino":
Sì.
Quindi a questo punto, se i divisori elementari che avevo trovato sono corretti, si può dire che l'esercizio è risolto?
In tal caso ti ringrazio infinitamente per l'aiuto e la pazienza e nel frattempo volevo fare i complimenti a tutti i moderatori ed agli utenti. Questo forum è veramente molto utile ed è strutturato benissimo. Continuerò a frequentarlo assiduamente. Grazie ancora!
Sì è risolto. Prego 
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