Dire se una corrispondenza in ZxZ è applicazione
Salve ragazzi, dovrei dire se la seguente corrispondenza in Z x Z è un applicazione o meno, come procedo?
$ p1 = {(x,y) in ZxZ : y = x^2+1} $
$ p1 = {(x,y) in ZxZ : y = x^2+1} $
Risposte
Qualcuno sà aiutarmi?
Sicuramente sono un po' arrugginito ma... una applicazione da dove a dove? $Z -> Z$ forse?
[ E' proprio quello il testo del problema? ]
[ E' proprio quello il testo del problema? ]
Chiedo scusa:
Della seguente corrispondenza di Z in Z dire se è o meno un'applicazione.
Della seguente corrispondenza di Z in Z dire se è o meno un'applicazione.
Un'applicazione deve essere ben definita: a immagini diverse non può corrispondere lo stesso elemento del dominio.
Quindi:
f(x) diverso da f(y) IMPLICA x diverso da y
(sembra simile all'iniettività, invece l'iniettività richiede che a elementi del dominio diversi corrispondano immagini diverse)
Praticamente devi controllare questo, per sapere se è ben definibile come applicazione.
Quindi:
f(x) diverso da f(y) IMPLICA x diverso da y
(sembra simile all'iniettività, invece l'iniettività richiede che a elementi del dominio diversi corrispondano immagini diverse)
Praticamente devi controllare questo, per sapere se è ben definibile come applicazione.
e nel caso della mia corrispondenza, quella scritta nel primo post, come procedo?
Sperando di non aver capito male l'esercizio, dobbiamo verificare che la corrispondenza scritta in quel modo permetta un'applicazione di questo tipo.
$f : Z -> Z : f(x) = x^2 + 1$
Ora, supponiamo di avere due immagini diverse, ovvero
$f(x) = x^2 + 1 ; f(t) = t^2 + 1$
Dobbiamo verificare che gli elementi x e t non siano uguali! Se fosse così vorrebbe dire che ad uno stesso elemento del dominio corrispondono 2 elementi del codominio, e già basterebbe a non avere un'applicazione ben definita.
A questo punto la somma con 1 è trascurabile, perchè entrambe le immagini lo presentano.
Quindi ci rimane che
$x^2 != t^2$ per ipotesi.
Sapendo che stiamo trattando solo numeri interi nel campo Z, possiamo affermare che non esiste un numero che, elevato alla seconda dia due numeri diversi. Invece possiamo affermare che esistono 2 numeri che elevati alla seconda diano lo stesso quadrato.
Dunque sicuramente l'applicazione è ben definita. E non è iniettiva, poichè preso un intero positivo ed uno negativo con lo stesso modulo, essi avranno la stessa immagine.
Allo stesso modo l'applicazione non è nemmeno suriettiva, poichè l'immagine dell'applicazione non è tutto il campo degli interi Z ma solamente quelli degli interi positivi maggiori di zero.
(infatti l'immagine dello 0 è 1, l'immagine di 1 e -1 è 2, e così via...)
Correggetemi se sbagliassi...
p.s.: inoltre, non tutti gli interi positivi maggiori di zero sono immagini dell'applicazione...
$f : Z -> Z : f(x) = x^2 + 1$
Ora, supponiamo di avere due immagini diverse, ovvero
$f(x) = x^2 + 1 ; f(t) = t^2 + 1$
Dobbiamo verificare che gli elementi x e t non siano uguali! Se fosse così vorrebbe dire che ad uno stesso elemento del dominio corrispondono 2 elementi del codominio, e già basterebbe a non avere un'applicazione ben definita.
A questo punto la somma con 1 è trascurabile, perchè entrambe le immagini lo presentano.
Quindi ci rimane che
$x^2 != t^2$ per ipotesi.
Sapendo che stiamo trattando solo numeri interi nel campo Z, possiamo affermare che non esiste un numero che, elevato alla seconda dia due numeri diversi. Invece possiamo affermare che esistono 2 numeri che elevati alla seconda diano lo stesso quadrato.
Dunque sicuramente l'applicazione è ben definita. E non è iniettiva, poichè preso un intero positivo ed uno negativo con lo stesso modulo, essi avranno la stessa immagine.
Allo stesso modo l'applicazione non è nemmeno suriettiva, poichè l'immagine dell'applicazione non è tutto il campo degli interi Z ma solamente quelli degli interi positivi maggiori di zero.
(infatti l'immagine dello 0 è 1, l'immagine di 1 e -1 è 2, e così via...)
Correggetemi se sbagliassi...
p.s.: inoltre, non tutti gli interi positivi maggiori di zero sono immagini dell'applicazione...
cmq l'applicazione non è definita come hai scritto tu cioè: $f: Z->Z$ ma bensì: $f={(x,y)in ZxZ: y=x^2+1}$ non credo sia la stessa cosa o mi sbaglio?
Come l'hai definito tu, più che una funzione, è un insieme definito tramite la funzione f che associa ad una x una y che è data dal risolvere quell'equazione di secondo grado nella variabile x. Ed infatti l'insieme è costituito di coppie appartenenti al prodotto cartesiano $Z x Z$ , quando l'applicazione f, che gestisce tutto questo, per essere definita è $f : Z -> Z $
O almeno, da come si presenta il testo, io lo svolgerei così. Infatti tu devi dire che far corrispondere alla Y quel valore dipendente da X dia un' applicazione, ovvero che sia ben definita (che è ciò che dobbiamo dire se vogliamo avere un' applicazione).
Sennò che altre applicazioni dovremmo evincere? Possiamo anche provare altre applicazioni in altri domini e codomini ad esempio :
$g : Z -> ZxZ$ con $x -> (x, x^2 + 1)$
E anche qui potremmo verificare che sia ben definita o no.
Altre applicazioni possibili, ora come ora, non ne vedo, dato quell'insieme.
O almeno, da come si presenta il testo, io lo svolgerei così. Infatti tu devi dire che far corrispondere alla Y quel valore dipendente da X dia un' applicazione, ovvero che sia ben definita (che è ciò che dobbiamo dire se vogliamo avere un' applicazione).
Sennò che altre applicazioni dovremmo evincere? Possiamo anche provare altre applicazioni in altri domini e codomini ad esempio :
$g : Z -> ZxZ$ con $x -> (x, x^2 + 1)$
E anche qui potremmo verificare che sia ben definita o no.
Altre applicazioni possibili, ora come ora, non ne vedo, dato quell'insieme.
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