Dimostrazione(da controllare) che la (card($RR$)>card($NN$))
Salve,ultimamente,dopo aver ristudiato la teoria degli insiemi,ho ricominciato a studiare come si costruiscono gli insiemi numerici,ma prima di andare avanti avevo deciso di fare come esercizio la dimostrazione che la cardinalità di $RR$ è maggiore di quella di $NN$.Vi sarei molto grato se qualcuno potesse controllare il mio ragionamento.
Per dimostrarlo ho pensato di procedere dalla costruzione degli insiemi,quindi sono partito col dimostrare che $NN$ e $ZZ$ hanno la stessa cardinalità e per farlo ho riscritto $ZZ$ come \( \mathbb{N}^2/r_1 \) e poi ho continuato così:
\( card(\mathbb{Z})=(2*card(\mathbb{N}))^2/2*card(r)=(2\aleph_0) ^2/2a=\aleph_0 \) ($a$ è una costante).
Successivamente ho fatto lo stesso per $QQ$ e quindi:
\( \mathbb{Q}=(\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z-\{0\}}))/r_2 \) e \( card(\mathbb{Q})=card(\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z-\{0\}}))/2*card(r_2)=(2*card(\mathbb{N}))^4/2b=\aleph_0 \).
Ora scrivo:
\( \mathbb{R}=\mathbb{Q^N}/I \) e poi
\( card(\mathbb{R})=(2*card(\mathbb{Q}))^{card(\mathbb{N})}/2*card(I)=(2\aleph_0)^{\aleph_0}/(2c)=\aleph_1>\aleph_0=card(mathbb{N}) \) ,infine se i miei calcoli sono giusti non solo $RR$ ha una cardinalità maggiore di $NN$ ma anche $QQ^(NN)$.
Preciso che con $r_1,r_2$ intendo relazioni di equivalenza,con $I$ un ideale,con $QQ^(NN)$ l'insieme di tutte le successioni infinite di numeri razionali,$a,b,c$ sono costanti.
Per dimostrarlo ho pensato di procedere dalla costruzione degli insiemi,quindi sono partito col dimostrare che $NN$ e $ZZ$ hanno la stessa cardinalità e per farlo ho riscritto $ZZ$ come \( \mathbb{N}^2/r_1 \) e poi ho continuato così:
\( card(\mathbb{Z})=(2*card(\mathbb{N}))^2/2*card(r)=(2\aleph_0) ^2/2a=\aleph_0 \) ($a$ è una costante).
Successivamente ho fatto lo stesso per $QQ$ e quindi:
\( \mathbb{Q}=(\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z-\{0\}}))/r_2 \) e \( card(\mathbb{Q})=card(\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z-\{0\}}))/2*card(r_2)=(2*card(\mathbb{N}))^4/2b=\aleph_0 \).
Ora scrivo:
\( \mathbb{R}=\mathbb{Q^N}/I \) e poi
\( card(\mathbb{R})=(2*card(\mathbb{Q}))^{card(\mathbb{N})}/2*card(I)=(2\aleph_0)^{\aleph_0}/(2c)=\aleph_1>\aleph_0=card(mathbb{N}) \) ,infine se i miei calcoli sono giusti non solo $RR$ ha una cardinalità maggiore di $NN$ ma anche $QQ^(NN)$.
Preciso che con $r_1,r_2$ intendo relazioni di equivalenza,con $I$ un ideale,con $QQ^(NN)$ l'insieme di tutte le successioni infinite di numeri razionali,$a,b,c$ sono costanti.
Risposte
Come al solito, ben poco di quello che scrivi ha il minimo senso. 
Anzitutto, non è assolutamente indicato operare in questo modo: dato che la relazione d'ordine tra i cardinali è definita dalla presenza di opportune funzioni, è molto più efficace trovare esplicitamente queste funzioni.
L'aritmetica dei cardinali è molto piu complicata da maneggiare, e in effetti è una conseguenza della definizione: $A\le B$ se esiste una funzione iniettiva $f : A \to B$.
Poi, non esiste alcun motivo, in generale, per cui quozientare un insieme rispetto a una relazione di equivalenza mantenga -o alteri- la cardinalità dell'insieme stesso. Una scrittura del tipo \( (2\aleph_0)^2 / 2a = \aleph_0 \) è totalmente priva di significato, così come tutte le altre "divisioni" per una "costante" (nessuna delle due cose ha senso, perlomeno non nel senso in cui vuoi usarle qui).
Anzitutto, non è assolutamente indicato operare in questo modo: dato che la relazione d'ordine tra i cardinali è definita dalla presenza di opportune funzioni, è molto più efficace trovare esplicitamente queste funzioni.
L'aritmetica dei cardinali è molto piu complicata da maneggiare, e in effetti è una conseguenza della definizione: $A\le B$ se esiste una funzione iniettiva $f : A \to B$.
Poi, non esiste alcun motivo, in generale, per cui quozientare un insieme rispetto a una relazione di equivalenza mantenga -o alteri- la cardinalità dell'insieme stesso. Una scrittura del tipo \( (2\aleph_0)^2 / 2a = \aleph_0 \) è totalmente priva di significato, così come tutte le altre "divisioni" per una "costante" (nessuna delle due cose ha senso, perlomeno non nel senso in cui vuoi usarle qui).
Grazie,quindi per dimostrare queste quella disuguaglianza cosa dovrei fare precisamente?
dovrei procedere per assurdo o in qualche altro modo?
dovrei procedere per assurdo o in qualche altro modo?
Che la cardinalità di $\mathbb R$ sia maggiore di quella di $\mathbb N$ è una cosa che si dimostra per assurdo, sì. L'argomento è dovuto a Cantor. Per sapere che la cardinalità di $\mathbb R$ è la stessa dell'insieme delle parti di $\mathbb N$ invece va esibita una funzione biiettiva tra i due insiemi.
per quanto riguarda la prima cosa penso di aver capito come fare,mentre la seconda mi sembra più complicata.
Nel senso che non posso certo provare tutte le funzioni esistenti,quindi devo trovare un altro modo ma non capisco come,potresti,per favore,spiegarmi come fare?
Nel senso che non posso certo provare tutte le funzioni esistenti,quindi devo trovare un altro modo ma non capisco come,potresti,per favore,spiegarmi come fare?
Devi trovarne una infatti, mica provarle tutte. Il punto della domanda è capire come trovarla; chiaramente non c'è un modo solo.
proverò a pensarci ancora un po'.
Alla fine sono riuscito a dimostrare la prima ipotesi (la seconda non ancora),solo per sapere,se avessi voluto procedere con l'aritmetica dei cardinali,per dimostrare la prima ipotesi,come avrei dovuto fare(sempre se sia possibile)?
Non si dimostra un'ipotesi, quindi temo tu abbia sbagliato.
scusa,intendevo che ho dimostrato che la cardinalità di $RR$ è maggiore di quella di $NN$.
p.s:ma comunque si poteva fare la dimostrazione usando l'aritmetica dei cardinali? e se sì come?
perché per dimostrare io ho usato l'allineamento decimale,anche se non so se sia o meno corretto.
p.s:ma comunque si poteva fare la dimostrazione usando l'aritmetica dei cardinali? e se sì come?
perché per dimostrare io ho usato l'allineamento decimale,anche se non so se sia o meno corretto.
Che io sappia non si può fare una dimostrazione basata solo sull'aritmetica dei cardinali.
quindi se si vuole dimostrare che la cardinalità dei reali è maggiore di quella dei naturali e che può essere messa in corrispondenza biunivoca con l'insieme delle parti di $NN$ si può dimostrare solo per assurdo(il primo caso) e "trovando" una funzione(nel secondo)?
Mi sembra di si, ma non escludo che si possa fare anche diversamente.
Ora che ci ripenso per la seconda cosa non è proprio necessario trovare una funzione biunivoca, è sufficiente trovarne una iniettiva e una suriettiva e a quel punto invocare il teorema di Cantor-Bernstein.
Non esattamente: CSB dice che se esiste una funzione iniettiva $X\to Y$ e una iniettiva $Y\to X$ allora ne esiste una biiettiva. Se ne esiste una suriettiva, che ne esista una iniettiva nella direzione opposta segue dall'assioma della scelta (che è comunque equivalente a CSB).
In effetti avevo saltato un passaggio.
grazie per le risposte,ora non mi resta che pensarci su e sperare.
Una funzione biunivoca abbastanza banale fra $(0,1)$ e l'insieme delle parti di $NN$ è per esempio la seguente:
Prendo un numero $x$ ,e lo scrivo in binario $x=0.a_1 a_2 a_3 ...$
Poi metto in relazione questo numero $x$ col sottoinsieme $A$ con la proprietà che $n inA$ se e solo se $a_n=1$
Ci sono delle verifiche da fare, però è abbastanza semplice da "pensare".
Prendo un numero $x$ ,e lo scrivo in binario $x=0.a_1 a_2 a_3 ...$
Poi metto in relazione questo numero $x$ col sottoinsieme $A$ con la proprietà che $n inA$ se e solo se $a_n=1$
Ci sono delle verifiche da fare, però è abbastanza semplice da "pensare".
grazie,quindi in pratica associo ad ogni sequenza un sottoinsieme ma come faccio a sapere che tali relazione è biunivoca?
(forse la risposta è ovvia è ora non la vedo solo perché sono stanco,ma può anche essere che non la noto per mancanza di esperienza).
(forse la risposta è ovvia è ora non la vedo solo perché sono stanco,ma può anche essere che non la noto per mancanza di esperienza).
dopo averci dormito su ho capito come dimostrarlo,grazie a tutti dell'aiuto.
E giusto per curiosità e per non lasciare l'argomento del topic appeso, la conclusione alla quale sei giunto qual è?
Perché fatta eccezione per gli interventi di killing_buddha, io ho trovato solo tanta confusione in questo topic. Ma è possibile che sia io ad essermi perso. Per esempio non ho proprio capito la proposta di Ernesto01.
Perché fatta eccezione per gli interventi di killing_buddha, io ho trovato solo tanta confusione in questo topic. Ma è possibile che sia io ad essermi perso. Per esempio non ho proprio capito la proposta di Ernesto01.
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