Dimostrazione(da controllare) che la (card($RR$)>card($NN$))
Salve,ultimamente,dopo aver ristudiato la teoria degli insiemi,ho ricominciato a studiare come si costruiscono gli insiemi numerici,ma prima di andare avanti avevo deciso di fare come esercizio la dimostrazione che la cardinalità di $RR$ è maggiore di quella di $NN$.Vi sarei molto grato se qualcuno potesse controllare il mio ragionamento.
Per dimostrarlo ho pensato di procedere dalla costruzione degli insiemi,quindi sono partito col dimostrare che $NN$ e $ZZ$ hanno la stessa cardinalità e per farlo ho riscritto $ZZ$ come \( \mathbb{N}^2/r_1 \) e poi ho continuato così:
\( card(\mathbb{Z})=(2*card(\mathbb{N}))^2/2*card(r)=(2\aleph_0) ^2/2a=\aleph_0 \) ($a$ è una costante).
Successivamente ho fatto lo stesso per $QQ$ e quindi:
\( \mathbb{Q}=(\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z-\{0\}}))/r_2 \) e \( card(\mathbb{Q})=card(\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z-\{0\}}))/2*card(r_2)=(2*card(\mathbb{N}))^4/2b=\aleph_0 \).
Ora scrivo:
\( \mathbb{R}=\mathbb{Q^N}/I \) e poi
\( card(\mathbb{R})=(2*card(\mathbb{Q}))^{card(\mathbb{N})}/2*card(I)=(2\aleph_0)^{\aleph_0}/(2c)=\aleph_1>\aleph_0=card(mathbb{N}) \) ,infine se i miei calcoli sono giusti non solo $RR$ ha una cardinalità maggiore di $NN$ ma anche $QQ^(NN)$.
Preciso che con $r_1,r_2$ intendo relazioni di equivalenza,con $I$ un ideale,con $QQ^(NN)$ l'insieme di tutte le successioni infinite di numeri razionali,$a,b,c$ sono costanti.
Per dimostrarlo ho pensato di procedere dalla costruzione degli insiemi,quindi sono partito col dimostrare che $NN$ e $ZZ$ hanno la stessa cardinalità e per farlo ho riscritto $ZZ$ come \( \mathbb{N}^2/r_1 \) e poi ho continuato così:
\( card(\mathbb{Z})=(2*card(\mathbb{N}))^2/2*card(r)=(2\aleph_0) ^2/2a=\aleph_0 \) ($a$ è una costante).
Successivamente ho fatto lo stesso per $QQ$ e quindi:
\( \mathbb{Q}=(\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z-\{0\}}))/r_2 \) e \( card(\mathbb{Q})=card(\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z-\{0\}}))/2*card(r_2)=(2*card(\mathbb{N}))^4/2b=\aleph_0 \).
Ora scrivo:
\( \mathbb{R}=\mathbb{Q^N}/I \) e poi
\( card(\mathbb{R})=(2*card(\mathbb{Q}))^{card(\mathbb{N})}/2*card(I)=(2\aleph_0)^{\aleph_0}/(2c)=\aleph_1>\aleph_0=card(mathbb{N}) \) ,infine se i miei calcoli sono giusti non solo $RR$ ha una cardinalità maggiore di $NN$ ma anche $QQ^(NN)$.
Preciso che con $r_1,r_2$ intendo relazioni di equivalenza,con $I$ un ideale,con $QQ^(NN)$ l'insieme di tutte le successioni infinite di numeri razionali,$a,b,c$ sono costanti.
Risposte
"G.D.":
E giusto per curiosità e per non lasciare l'argomento del topic appeso, la conclusione alla quale sei giunto qual è?
Perché fatta eccezione per gli interventi di killing_buddha, io ho trovato solo tanta confusione in questo topic. Ma è possibile che sia io ad essermi perso. Per esempio non ho proprio capito la proposta di Ernesto01.
Le funzioni $\mathbb N \to {0,1\}$ sono in biiezione con i sottoinsiemi di $\mathbb N$ (è ovvio: un sottoinsieme va nella sua funzione caratteristica); d'altra parte le stesse funzioni sono anche in biiezione con i numeri reali in [0,1] scritti in base 2.
Componendo le biiezioni, tadaaaan.
io non ci sono arrivato,sono solo riuscito a capire la proposta di Ernesto01,che killing_buddha ha riesposto qui.
"killing_buddha":
[quote="G.D."]E giusto per curiosità e per non lasciare l'argomento del topic appeso, la conclusione alla quale sei giunto qual è?
Perché fatta eccezione per gli interventi di killing_buddha, io ho trovato solo tanta confusione in questo topic. Ma è possibile che sia io ad essermi perso. Per esempio non ho proprio capito la proposta di Ernesto01.
Le funzioni $\mathbb N \to {0,1\}$ sono in biiezione con i sottoinsiemi di $\mathbb N$ (è ovvio: un sottoinsieme va nella sua funzione caratteristica); d'altra parte le stesse funzioni sono anche in biiezione con i numeri reali in [0,1] scritti in base 2.
Componendo le biiezioni, tadaaaan.[/quote]
Eh lo so!
Si procede in questo modo per esempio sul Curzio-Longobardi-Maj.
Il punto è che io non lo avevo chiesto a te!
La mia domanda era tesa a spronare mklplo a fornire una dimostrazione il più chiara possibile, visto che aveva detto di aver capito come procedere.
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