Dimostrazione teorema nilpotenza
Salve a tutti, vorrei sapere se conoscete una dimostrazione del seguente teorema:
Sia $G$ un gruppo finito e $p$ un primo. Sia $H$ un sottogruppo normale di $G$ d'indice primo $p$. Se ogni elemento di $G\\H$ ha ordine $p$, allora $H$ è nilpotente.
NOTA $G\\H$ l'insieme degli elementi di $G$ che non stanno in $H$ e non lo spazio quoziente.
Sulle dispense del mio professore c'è una dimostrazione che fa uso del sottogruppo di Thompson, vorrei sapere se avete delle referenze da darmi per una dimostrazione che non ne fa uso (o se non la trovate, in ogni caso delle referenze su cui ritrovare tale teorema).
Vi ringrazio,
Fabio
Sia $G$ un gruppo finito e $p$ un primo. Sia $H$ un sottogruppo normale di $G$ d'indice primo $p$. Se ogni elemento di $G\\H$ ha ordine $p$, allora $H$ è nilpotente.
NOTA $G\\H$ l'insieme degli elementi di $G$ che non stanno in $H$ e non lo spazio quoziente.
Sulle dispense del mio professore c'è una dimostrazione che fa uso del sottogruppo di Thompson, vorrei sapere se avete delle referenze da darmi per una dimostrazione che non ne fa uso (o se non la trovate, in ogni caso delle referenze su cui ritrovare tale teorema).
Vi ringrazio,
Fabio
Risposte
Cosa intendi con $GH$? Intendi $G//H$? Hai un link alle dispense? Oppure puoi fare una foto all'enunciato del teorema sulle dispense e postarlo?
Sì, esatto. Ho corretto.
Non ho link alle dispense, ma posso caricarle da qualche parte. Ad ogni modo lui utilizza automorfismi privi di punti fissi ed il teorema di Thompson Glauberman:
Sia $G$ gruppo finito e $P \in Syl_p(G)$ con $p$ dispari. Se $N_G(Z(J(P)))$ ha un p-complemento normale, allora anche $G$ ha un p-complemento normale.
Dove $J(P)$ è il sgr di Thompson.
Grazie.
Non ho link alle dispense, ma posso caricarle da qualche parte. Ad ogni modo lui utilizza automorfismi privi di punti fissi ed il teorema di Thompson Glauberman:
Sia $G$ gruppo finito e $P \in Syl_p(G)$ con $p$ dispari. Se $N_G(Z(J(P)))$ ha un p-complemento normale, allora anche $G$ ha un p-complemento normale.
Dove $J(P)$ è il sgr di Thompson.
Grazie.
Di nuovo, per favore posta una foto dell'enunciato. Così come l'hai scritto il teorema è falso. Il fatto che H sia normale di indice p e che gli elementi di G/H abbiano ordine p non implica che H sia nilpotente. Come controesempio puoi prendere G il gruppo simmetrico di grado 5 e H il gruppo alterno. H non è nilpotente ma G/H ha ordine 2.
Ok grazie, credo proprio che per [tex]G \backslash H[/tex] intenda dire l'insieme degli elementi di G fuori da H.
Ok. Ho corretto l'intestazione, hai qualche idea su dove lo possa trovare?
Non conosco dimostrazioni alternative. A dire la verità non conoscevo nemmeno questo teorema, che mi sembra interessante. Se trovo qualcosa ti faccio sapere. Hai considerato di chiedere al professore?
La faccenda è complicata, lunedì ho l'esame e volevo portare un argomento a scelta, in particolare mi interessava portare una dimostrazione alternativa di questo teorema. Quindi non gli ho chiesto nulla. Cercherò di chiedergli il tutto lunedì e ti faccio sapere.
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
"Martino":
Non conosco dimostrazioni alternative. A dire la verità non conoscevo nemmeno questo teorema, che mi sembra interessante. Se trovo qualcosa ti faccio sapere. Hai considerato di chiedere al professore?
Il teorema è presente sul Suzuki, Group Theory II
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