Dimostrazione proprietà di $+$ su $NN$

[anto_zoolander]

Devo dimostrare tutte le proprietà: commutativa, associativa e dell'esistenza di un elemento neutro su $NN$

intanto so che $sigma(n+m)=((sigma(n)+m)dotvee(n+sigma(m))), foralln,m inNN$

elemento neutro $a+0=a forallainNN$
procedo per induzione su $a$

$p(0): 0+0=0$ vera. Supposta vera per $a=n$ dimostro che è vera per $a=sigma(n)$

$p(sigma(n)): sigma(n)+0=sigma(n) => sigma(n+0)=sigma(n)$ uso ipotesi induttive $n+0=n$ ...

$sigma(n)=sigma(n) => a=a$ tesi.

associatività $(a+b)+c=a+(b+c), forall a,b,cinNN$
procedo per induzione su $c$

$p(0): (a+b)+0=a+(b+0)$ uso dimostrazione precedente e giungo a $a+b=a+b$ vera.

Supposta vera per $c=n$ dimostro per $c=sigma(n)$

$p(sigma(n)): (a+b)+sigma(n)=a+(b+sigma(n))$ ... $(a+b)+sigma(n)=sigma((a+b)+n)$

uso ipotesi induttive $(a+b)+n=a+(b+n)$

$sigma(a+(b+n))=a+sigma(b+n)=a+(b+sigma(n))=a+(b+c)$ tesi.

commutatività $a+b=b+a, foralla,b,cinNN$
io l'ho dimostrata in un modo, ovvero procedendo su induzione solo su $b$ e dopo controllando ho visto che alcuni lo dimostrano per induzione su entrambi. Ma ha senso?

$p(0): a+0=0+a$ vera per la prima dimostrata. Quindi supposta vera per $b=n$ dimostro per $b=sigma(n)$

$p(sigma(n)): a+sigma(n)=sigma(n)+a$ ... $a+sigma(n)=sigma(a+n)$

uso ipotesi induttive $a+n=n+a => sigma(a+n)=sigma(n+a)$

$sigma(n+a)=sigma(n)+a=b+a$ tesi.


Non penso di aver commesso errori, però non avendo le soluzioni sul manuale di Algebra, chiedo a chi sa più di me

[garnak.olegovitc1]

"G.D.":Cos'è la cardinalità di un insieme?

e qui cade la fetta di pane imburrata!