Dimostrazione proprietà di $+$ su $NN$

[anto_zoolander]

Devo dimostrare tutte le proprietà: commutativa, associativa e dell'esistenza di un elemento neutro su $NN$

intanto so che $sigma(n+m)=((sigma(n)+m)dotvee(n+sigma(m))), foralln,m inNN$

elemento neutro $a+0=a forallainNN$
procedo per induzione su $a$

$p(0): 0+0=0$ vera. Supposta vera per $a=n$ dimostro che è vera per $a=sigma(n)$

$p(sigma(n)): sigma(n)+0=sigma(n) => sigma(n+0)=sigma(n)$ uso ipotesi induttive $n+0=n$ ...

$sigma(n)=sigma(n) => a=a$ tesi.

associatività $(a+b)+c=a+(b+c), forall a,b,cinNN$
procedo per induzione su $c$

$p(0): (a+b)+0=a+(b+0)$ uso dimostrazione precedente e giungo a $a+b=a+b$ vera.

Supposta vera per $c=n$ dimostro per $c=sigma(n)$

$p(sigma(n)): (a+b)+sigma(n)=a+(b+sigma(n))$ ... $(a+b)+sigma(n)=sigma((a+b)+n)$

uso ipotesi induttive $(a+b)+n=a+(b+n)$

$sigma(a+(b+n))=a+sigma(b+n)=a+(b+sigma(n))=a+(b+c)$ tesi.

commutatività $a+b=b+a, foralla,b,cinNN$
io l'ho dimostrata in un modo, ovvero procedendo su induzione solo su $b$ e dopo controllando ho visto che alcuni lo dimostrano per induzione su entrambi. Ma ha senso?

$p(0): a+0=0+a$ vera per la prima dimostrata. Quindi supposta vera per $b=n$ dimostro per $b=sigma(n)$

$p(sigma(n)): a+sigma(n)=sigma(n)+a$ ... $a+sigma(n)=sigma(a+n)$

uso ipotesi induttive $a+n=n+a => sigma(a+n)=sigma(n+a)$

$sigma(n+a)=sigma(n)+a=b+a$ tesi.


Non penso di aver commesso errori, però non avendo le soluzioni sul manuale di Algebra, chiedo a chi sa più di me

[garnak.olegovitc1]

"anto_zoolander":

elemento neutro $a+0=a forallainNN$
procedo per induzione su $a$

$p(0): 0+0=0$ vera.

perché é vera? Qui non hai alcuna "eventuale" ipotesi induttiva come invece scrivi dopo (anche se non capisco il dopo lo stesso), non si capisce bene insomma (se fossi in un monoide é vera... ma qui si chiede ed hai altro)

"anto_zoolander":Supposta vera per $a=n$ dimostro che è vera per $a=sigma(n)$

$p(sigma(n)): sigma(n)+0=sigma(n) => sigma(n+0)=sigma(n)$ uso ipotesi induttive $n+0=n$ ...

bhe´, qui dovresti usare la def. ricorsiva dell´addizione tra numeri naturali (anche nel primo caso in realtá dovresti esplicitare qualcosa usando la def.)...

[anto_zoolander]

Le altre sono corrette?

Per quanto riguarda l'elemento neutro, ci ho riflettuto un po' sull'effettiva utilità di usare $p(0)$ come ipotesi induttiva.
Certamente $p(0)$ è vera, lo è anche $p(1): 1+0=1$ quindi posso supporlo vero per $a=n$

Da quì $p(sigma(n)): sigma(n)+0=sigma(n)$ procederei come prima, oppure sfruttando $sigma(n)=(n+1)$

$sigma(n)=(n+1)+0=(n+0)+1=n+1=sigma(n)$

Peró quì utilizzo la commutativa e l'associativa senza averle dimostrate.

[garnak.olegovitc1]

"anto_zoolander":
ci ho riflettuto un po' sull'effettiva utilità di usare $p(0)$ come ipotesi induttiva.

\(p(0)\) come ipotesi induttiva? non capisco che vuoi dire...

"anto_zoolander":
Certamente $p(0)$ è vera, lo è anche $p(1): 1+0=1$ quindi posso supporlo vero per $a=n$

per dire che é vera ti manca un passaggio, é come se stai dimostrando alcune proprietá e lo fai sapendo a priori che \(a+0=a\) quindi non puó essere diversamente (io lo vedo cosí il tuo ragionamento)

-- vediamo se \(a+0=0\) con \(a=0\) é vera, considera \(0+0\) e considera la def. ricorsiva dell´addizione in \(\Bbb N\) ergo \(0+0=0\) QED
-- supponiamo sia vera per \(n\), vediamo se \(a+0=0\) con \(a=\sigma(n)\) é vera, considera \(\sigma(n)+0\) e considera la def. ricorsiva dell´addizione in \(\Bbb N\) ergo \(\sigma(n)+0=\sigma(n+0)\) ma per ipotesi é vera per \(n\) ergo \(\sigma(n)+0=\sigma(n+0)=\sigma(n)\) QED
In conclusione é vera ogni numero naturale quella proprietá!

[anto_zoolander]

ti riferisci al fatto che supponga vero che $0+0=0$(o anche $1+0=1$) senza effettivamente averlo dimostrato?

[garnak.olegovitc1]

"anto_zoolander":ti riferisci al fatto che supponga vero che $0+0=0$ senza effettivamente averlo dimostrato?

si, come anche a questo:

"anto_zoolander":

$ p(sigma(n)): sigma(n)+0=sigma(n) => sigma(n+0)=sigma(n) $ uso ipotesi induttive $ n+0=n $ ...

$ sigma(n)=sigma(n) => a=a $ tesi.

[anto_zoolander]

La seconda è diretta conseguenza del primo scivolone, che mi sono portato dietro.
Mi rendo conto dell'errore commesso nel primo passaggio.
Per dimostrare che $0+0=0$ basta quindi la ricorsività di $+$?



Aggiungo una perplessità(medio/lunga) che ho.
Metto sotto spoiler(visto che è OT) anziché aprire un altro topic.

Quando definisco l'insieme $ZZ$ attraverso questi procedimenti:

$(n,m)R(n'm') <=> n+m'=m+n'$

$overline{(n,m)}={(n',m')inNNtimesNN:(n',m')R(n,m)}$

$ZZ=(NNtimesNN)/R={overline{(n,m)}:(n,m)inNNtimesNN}$

dopo aver visto che $R$ è una relazione di equivalenza definita su $NNtimesNN$ ho dimostrato che $ZZ$ è una partizione di $NNtimesNN$ si è definito:

$ZZ^+ ={overline{(n,0)}:ninNN}$
$ZZ^(-) ={overline{(0,m)}:m inNN}$
${0}=overline{(0,0)}$

$ZZ=ZZ^(-) cup{0}cupZZ^+$

ora è facile dimostrare che $(n,0)R(n',0') <=> n+0=0+n' => n=n'$
e $(0,m)R(0,m') <=> 0+m'=m+0 => m'=m$

Se $ZZ$ è l'insieme quoziente di $NNtimesNN$ modulo $R$, rimangono definite in maniera naturale le proprietà di $(+,*)$ su $ZZ$ oppure vanno ulteriormente dimostrate? Perché in caso negativo la affermazione di sopra si rimanda al momento in cui si dimostrerà l'elemento neutro rispetto alla somma.

appurato questo, si nota con quei due passaggi che se due elementi di $ZZ^+$ o $ZZ^-$ sono in relazione, allora sono uguali. Quindi viene meno l'ambiguità e possiamo considerare $overline{(n,0)}=(n,0)$ e $overline{(0,m)}=(0,m)$

si definiscono la somma $(n,m)+(n',m')=(n+n',m+m')$
e il prodotto $(n,m)*(n',m')=(n*n'+m*m',n*m'+n'*m)$

adesso mi arrivano queste, che non ho accettato in maniera felice:

$(n,0)=n$ e $(0,m)=-m$

queste due definizioni sono diretta conseguenza di qualcosa? cioè a questo punto non sarebbe meglio definire il numero $(0,1)=-1$ e considerare $(m,0)(0,1)=(0,m)$ un po' come nei $CC$? per poi magari dimostrare che $-1*m=-m,forallm inZZ$

[G.D.5]

Calma.

Una cosa alla volta.
Dato che qui si stanno costruendo gli insiemi numerici, le operazioni in essi e di queste se ne stanno stabilendo le proprietà, la prima cosa da fare è chiarire cosa abbiamo e cosa no. Altrimenti è normale che è tutto confusionario.

Punto numero 1. Come è stato introdotto \( \mathbb{N} \).
Lo so che può sembrare una domanda inutile ma... rispondi a questa domanda e poi ti spiego perché te l'ho fatta.

[anto_zoolander]

"G.D.":Calma.

Una cosa alla volta.
Dato che qui si stanno costruendo gli insiemi numerici, le operazioni in essi e di queste se ne stanno stabilendo le proprietà, la prima cosa da fare è chiarire cosa abbiamo e cosa no. Altrimenti è normale che è tutto confusionario.

Punto numero 1. Come è stato introdotto \( \mathbb{N} \).
Lo so che può sembrare una domanda inutile ma... rispondi a questa domanda e poi ti spiego perché te l'ho fatta.

Allora.. Io ho studiato la costruzione di $NN$ mediante gli assiomi di Peano, quindi è stato introdotto dichiarando che:

• $NN$ è non vuoto poiché $0inNN$

• è definita su $NN$ una funzione 'successore'
- $n nem => sigma(n)nesigma(m)$ in particolare $f$ è iniettiva
- non esiste un numero il cui successore sia $0$

• sia $SsubseteqNN$ un insieme non vuoto con le seguenti proprietà
- $0inS$
- $kinS => sigma(k)inS$
allora $S=NN$

È stato introdotto con l'assegnazione dell'elemento $0$ e attraverso la funzione $sigma(n)$ si ricavano tutti gli altri.
In particolare poi si denota l'unicità di $(NN,0,sigma)$ con l'ultimo assioma.

per le operazioni definite su $ZZ$, essendo i numeri definiti come coppie di numeri naturali, ovvero $(n,m)$ e definita la somma come $(n,m)+(p,q)=(n+p,m+q)$ ricordo che $(n+p)inNN$ e $(m+q)inNN$ quindi certamente tra loro valgono tutte le proprietà dei naturali. Il pensiero me lo pongo quando voglio dire che $(n,m)+(p,q)=(p,q)+(n,m)$ e me la risolvo così:

$(n+p,m+q)=(p+n,q+m)$ essendo $n+p$ un numero appartenente ai naturali, valgono tutte le proprietà sui naturali e quindi $n+p=p+n$ e così per tutti gli altri. (per come l'ho pensata io)

[G.D.5]

OK.

Solo alcune precisazioni.

Se \( \mathbb{N} \) viene introdotto con gli Assiomi di Peano, tecnicamente non viene costruito, viene per l'appunto presentato assiomaticamente: cioè tu assumi assiomaticamente che esista una terna \((\mathbb{N}, 0, \sigma)\) che verifica quei tre assiomi. Poi si può dimostrare l'equivalenza tra l'esistenza di una terna di Peano e l'assioma dell'infinito.

Si dimostra poi che la terna di Peano è unica ma non nel senso che è presente una sola ed unica terna di Peano ma nel senso che, se esiste un'altra terna di Peano, allora tra le due terne di Peano esiste un'unica applicazione biunivoca che "conserva" lo \( 0 \) e l'applicazione \( \sigma \).

Numero 2. La terza proprietà è il principio di induzione vero e proprio e manca un \( \forall k \in S \).

Te l'ho chiesto perché provando l'equivalenza tra l'esistenza di una terna di Peano e l'assioma dell'infinito si prova in pratica che accettando la Teoria degli Insiemi si può, per così dire, "partire in quarta" e iniziare direttamente con un modello dei numeri naturali costruito a partire dall'assioma dell'infinito. Si prende cioè l'assioma dell'infinito e si fa l'intersezione su tutti gli insiemi che lo rispettano ottenendo un insieme minimo rispetto all'intersezione. Tale insieme è quello dei numeri naturali. In tal modo quelli che sono gli assiomi di Peano diventano come dei corollari dell'assioma dell'infinito applicato all'insieme appena ottenuto.

Oppure si potrebbe costruire \( \mathbb{N} \) a partire dall'ordine senza effettivamente costruirlo: si potrebbe cioè provare che esistono degli insiemi detti naturalmente ordinati e che dati due insiemi naturalmente ordinati esiste una ed una sola applicazione biettiva tra essi che conserva l'ordine, sicché lavorare su di uno piuttosto che su di un altro è irrilevante e allora scelto e fissato una volta per tutte un insieme naturalmente ordinato, tale insieme è quello dei numeri naturali.

Ed esistono anche delle varianti nella costruzione di \( \mathbb{N} \) a partire dall'assioma dell'infinito.
Ovviamente alla fine sono tutte costruzioni equivalenti.

Ciò detto, l'addizione com'è definita?

[garnak.olegovitc1]

"anto_zoolander":

Allora.. Io ho studiato la costruzione di $NN$ mediante gli assiomi di Peano, quindi è stato introdotto dichiarando che:

• $NN$ è non vuoto poiché $0inNN$

• è definita su $NN$ una funzione 'successore'
- $n nem => sigma(n)nesigma(m)$ in particolare $f$ è iniettiva
- non esiste un numero il cui successore sia $0$

• sia $SsubseteqNN$ un insieme non vuoto con le seguenti proprietà
- $0inS$
- $kinS => sigma(k)inS$
allora $S=NN$

È stato introdotto con l'assegnazione dell'elemento $0$ e attraverso la funzione $sigma(n)$ si ricavano tutti gli altri.
In particolare poi si denota l'unicità di $(NN,0,sigma)$ con l'ultimo assioma.

per le operazioni definite su $ZZ$, essendo i numeri definiti come coppie di numeri naturali, ovvero $(n,m)$ e definita la somma come $(n,m)+(p,q)=(n+p,m+q)$ ricordo che $(n+p)inNN$ e $(m+q)inNN$ quindi certamente tra loro valgono tutte le proprietà dei naturali. Il pensiero me lo pongo quando voglio dire che $(n,m)+(p,q)=(p,q)+(n,m)$ e me la risolvo così:

$(n+p,m+q)=(p+n,q+m)$ essendo $n+p$ un numero appartenente ai naturali, valgono tutte le proprietà sui naturali e quindi $n+p=p+n$ e così per tutti gli altri. (per come l'ho pensata io)

non saprei che dire, un po campato in aria, ti mancano le basi vere e proprie (pensavo diversamente) e su questo do ragione a G.D., prova a leggere le note di qui (sono molto semplici ed hai tutto il materiale di base che ti serve)

[G.D.5]

"garnak.olegovitc":non saprei che dire, un po campato in aria, ti mancano le basi vere e proprie (pensavo diversamente) e su questo do ragione a G.D., prova a leggere le note di qui (sono molto semplici ed hai tutto il materiale di base che ti serve)

Carine queste note.

In ogni caso si può tranquillamente iniziare a lavorare con \( \mathbb{N} \) grazie agli assiomi di Peano:
1. si pone la definizione di terna di Peano;
2. si prova che l'esistenza di una terna di Peano e l'assioma dell'infinito sono equivalenti;
3. si prova l'unicità (nel senso che ho chiarito prima) della terna di Peano.
A questo punto la teoria sviluppabile a partire dalla terna di Peano si può sviluppare: si prende una terna di Peano e tale terna è, per definizione, l'insieme dei numeri naturali.

A livello introduttivo i passaggi 2 e 3 sono di solito omessi: il primo in toto, il secondo riceve solo un accenno.
Ora: se si vuole ricondurre il problema dell'esistenza dei numeri naturali al problema della consistenza della Teoria degli Insiemi, ovviamente non ci si può accontentare. Altrimenti si può iniziare a lavorare tenendo presente che le uniche cose che si hanno a disposizione sono i tre assiomi di Peano, di cui il terzo è il Principio di Induzione.

Supponendo che questa sia la strada seguita dai testi consultati da anto_zoolander, il problema allora diventa: come viene definita l'addizione?

[anto_zoolander]

Prima di rispondere, avete mi consigliate un testo su cui studiare queste 'basi'? Considerate che io ancora vado al liceo e da solo sto cercando di barcamenarmi in questo luogo.
Anche con le dispense olimpiche, questa teoria profonda non la trovo.

Tipo... Introduzione alla logica matematica? O qualcosa di simile.
Vi posso solo essere grato

[FE7]

Di solito non è "consigliato" partire con la logica matematica prima di aver studiato almeno un po' di matematica ( dove per un po' immagino si intenda un primo semestre di algebra analisi e geometria ).

[garnak.olegovitc1]

"FE":Di solito non è "consigliato" partire con la logica matematica prima di aver studiato almeno un po' di matematica ( dove per un po' immagino si intenda un primo semestre di algebra analisi e geometria ).

io ho fatto alcune cose di logica, preposizionale e predicativa, prima di capire qualcosa per davvero in analisi e algebra, dopo aver fatto alcune cose in logica ho capito il modo di procedere (prima non ci capivo niente, davo tutto per calato dal cielo.... e alle volte ero obbligato ad imparare a memoria, cosa che odio), e poi a lui non servono concetti complessi ma solo qualcosa!

@anto_zoolander,
leggi qualcosa di queste, partono dal linguaggio naturale parlato ergo non dovrebbero essere difficili, se vuoi un consiglio "leggi solo", e non tutto ovvero cerca di capire e cosa ti serve veramente, e dopo cerca di fare qualche esempio... appena ti senti pronto certe scritture, come le quantificazioni, le capirai tranquillamente come anche certi modi di procedere nelle dimostrazioni

[anto_zoolander]

Bellissime queste dispense! Ora me le stampo tutte grazie mille!

Cosa ne pensi del libro 'introduzione alla logica matematica'?

[garnak.olegovitc1]

"anto_zoolander":
Cosa ne pensi del libro 'introduzione alla logica matematica'?

non saprei, io mi sono interessato solo al 4. Kapitel anche se dovevo consultare altri testi in quanto per piú delle volte aveva l´autore dei suoi modi di vedere e definire alcune cose... se non ti viene difficile puoi provare, io quel poco di logica che ho l´ho imparato dagli appunti di Lolli e di un altro docente di cui ora non ricordo il nome...

[anto_zoolander]

Ragionavo sulla costruzione di $NN$ e notavo la costruzione mediante la cardinalità di insiemi, i cui elementi sono insiemi vuoti. Ovvero costruire il numero $1=|{emptyset}|, 2=|{emptyset,{emptyset}}|$ quindi $NN$ figurerà come:

$NN={|emptyset|,|{emptyset}|,|{emptyset,{emptyset}}|,|{emptyset,{emptyset},{emptyset,{emptyset}}}|,...}$

È questa la costruzione di cui parlavate?

[G.D.5]

Cos'è la cardinalità di un insieme?

[FE7]

@ garnak
Ognuno è ovviamente un caso a sé stante, e ti credo se dici che per te ha funzionato. Anche io in altri casi mi sono trovato spesso in disaccordo con l'ordine artificioso in cui vengono presentati gli argomenti in un percorso universitario classico. Io sinceramente non posso dire quale strada sia la migliore, visto che ho studiato un po' di logica dopo aver fatto qualcosina di matematica. Quello che ho scritto l'ho riportato perché è ciò che comunemente viene detto dalla maggior parte di chi insegna queste materie. Per esempio mi ricordo di averlo letto anche su Analisi 1 di De Marco, e le argomentazioni date mi sembravano molto convincenti. L'ho voluto riportare non per spaventare anto_zoolander, ma per metterlo al corrente di quella che è la prassi comune.

[anto_zoolander]

Prima di rispondere a G.D, colgo questa nota.

Ogni tanto infatti guardo i programmi delle università e mi rendo conto che con quelle armi, poi dovrò studiare da solo il resto, perché molte cose le tralasciano. Considerato che io ancora sono al quinto liceo, sto solo cercando di armarmi da solo per provare a entrare alla superiore di Catania.