Dimostrazione per induzione?

[dimteo]

Ciao a tutti, sono nuovo nel forum, spero di aver scelto la sezione giusta dove postare la mia domanda. Avrei bisogno di un aiuto per arrivare alla dimostrazione per induzione della seguente:

$ sum_(s = 1)^(n) ((2)^(s) - 1) / (prod_(i = 1)^(s) (2)^(i) ) = 1 - (2)^(-((n+1!) / (2! * (n - 1)!)) ) $


Il valore :

$ ((n+1!) / (2! * (n - 1)!)) $

sarebbe il binomiale di n+1 su 2, non riuscendo a scriverlo direttamente come binomiale l'ho svolto.

Si dimostra facilmente che per n= 1 l'eguaglianza è verificata e si ottiene 1/2 = 1/2. Ora suppongo la P(n) vera. Come dimostro la P(n+1)??
Quello che mi mette in crisi è la presenza della produttoria all'interno della sommatoria e quindi l'uso di due indici differenti!! Non so proprio come uscirne spero riuscirete a darmi un aiuto!
Grazie in anticipo a chi risponderà!

[Studente Anonimo]

[mod="Martino"]Ciao, benvenuto nel forum. Sei pregato di mettere il titolo in minuscolo, come da regolamento. Clicca su "modifica" nel tuo intervento. Grazie.[/mod]

[_prime_number]

Un consiglio, se la produttoria ti confonde, perchè non la scrivi esplicitamente, cosí da trovarti solo l'indice s?

Paola

[dimteo]

Scritta esplicitamente sarebbe cosi:

$ prod_(i=1)^(s) (2)^(i) = (2)^(i) * (2)^(i+1) * ... * (2)^(s) = ... $

ma dopo l'ultimo uguale non riesco a proseguire!

[gugo82]

Ma no, dai, scrivi bene...

Hai [tex]\prod_{i=1}^s 2^i=2\cdot 2^2\cdot 2^3\cdots 2^{s-1}\cdot 2^s[/tex], quindi...

[dimteo]

Mi verrebe da dire

$ prod_(i=1)^(s) 2^i = 2 * 2^2 * 2^3 * ... * 2^(s-1) * 2^s = 2^(1+2+3+ ... + (s-1) +s) = ... $

ci sono quasi??