Dimostrazione per assurdo (spiegazione)
Salve,
mi iscrivo perché ho trovato su questo forum la spiegazione che cercavo a una domanda fatta dal mio Prof di Algebra I a un candidato all'esame e dato che è un procedimento dimostrativo che uso ormai quotidianamente mi sono messo a pensarci. Online non ho trovato molto ma ho trovato una discussione dove cito:
Mi sembra abbasntanza chiara ma c'è un punto di cui non sono convinto, mettiamo di avere delle ipotesi (assumo di quelle sopra solo $H_1$, tanto è generalizzabile). Quando dimostro per via diretta $H_1=>T$, sappiamo che $H_1$ assume a rigore tutti i valore veri o valsi, ma a noi ci interessa solo $H_1$ vero e $T_1$ vero, unico caso per cui l'implicazione è vera e si dimostra vera.
Nel ragionamento quotato invece si prende da subito $H_1$ vera (infatti l'autore dice H tutte vere per assunto) e si mette assieme all'ipotesi d'assurdo $notT$ per ottenere una contraddizione. Poi si parla di regole di inferenza per cui dal vero discende il vero e qui è un po fumoso (nello specifico è il punto indicato con 3.).
La mia idea è invece che la contraddizione si abbia come tavola di verità per tutti i valori di $H_1$ (sia veri che falsi) legati con qualche connettivo a $notT$ (cioè in una proposizione) giusto? l'utente invece sembra dire che basta provare per $H_1$ sempre vero. Non chiaro.
Inoltre ho pensato che parla di INFERENZA nel senso che potrei prendere $H_1=>(H_1 ∧ notT)$, quindi forse in questo senso nel punto 3 trova una contraddizione perché supposto $H_1$ vero se "=>" è falsa allora $(H_1 ∧ notT)$ è falsa... ma dato che $H_1$ è vera ci rimane $notT$ falsa e quindi $T$ vera?
Non ho capito se ho interpretato correttamente, qualcuno sa aiutarmi su questa vecchia discussione? Anche perché online è l'unica cosa che vagamente ho trovato che possa risolvermi il problema
mi iscrivo perché ho trovato su questo forum la spiegazione che cercavo a una domanda fatta dal mio Prof di Algebra I a un candidato all'esame e dato che è un procedimento dimostrativo che uso ormai quotidianamente mi sono messo a pensarci. Online non ho trovato molto ma ho trovato una discussione dove cito:
"https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=213766&start=10#p8499718":
Immagina di avere un certo numero di ipotesi, chiamiamole $H_1,H_2,..., H_n$ (tutte vere per assunto) ed una tesi, chiamiamola $T$ (vera? falsa? boh!), che si vuol dimostrare per assurdo.
La faccenda va così:
[list=1][*:qbvuy2as] si aggiunge alle ipotesi iniziali una nuova ipotesi, cioè la negazione della tesi; in altri termini, si considera il nuovo insieme di ipotesi formato da $H_1, ..., H_n$ e da $H_(n+1) := not T$ (assumendo vera anche $not T$);
[/*:m:qbvuy2as]
[*:qbvuy2as] dal nuovo insieme di ipotesi si cerca di derivare una contraddizione:
[*:qbvuy2as] con gli assiomi $mathcal{A}$ della teoria,
[/*:m:qbvuy2as]
[*:qbvuy2as] oppure con ipotesi iniziali $H_1, .., H_n$,
[/*:m:qbvuy2as]
[*:qbvuy2as] ovvero con qualche risultato già dimostrato in precedenza,[/*:m:qbvuy2as][/list:u:qbvuy2as]
cioè dalle nuove ipotesi $H_1, .., H_n, not T$ si prova a ricavare una proposizione sicuramente falsa;
[/*:m:qbvuy2as]
[*:qbvuy2as] se il passo 2 riesce, $not T$ non può essere vera contemporaneamente ad $H_1, ... , H_n$ (perché le regole di inferenza logica consentono di ricavare solo vero dal vero), cioè se $H_1, .., H_n$ sono vere, $not T$ deve essere falsa;
[/*:m:qbvuy2as]
[*:qbvuy2as] dal passo 3 e dal fatto che la logica usata comunemente è bimodale, se $not T$ è falsa allora $T$ è vera quando lo sono $H_1, ..., H_n$.[/*:m:qbvuy2as][/list:o:qbvuy2as]
Mi sembra abbasntanza chiara ma c'è un punto di cui non sono convinto, mettiamo di avere delle ipotesi (assumo di quelle sopra solo $H_1$, tanto è generalizzabile). Quando dimostro per via diretta $H_1=>T$, sappiamo che $H_1$ assume a rigore tutti i valore veri o valsi, ma a noi ci interessa solo $H_1$ vero e $T_1$ vero, unico caso per cui l'implicazione è vera e si dimostra vera.
Nel ragionamento quotato invece si prende da subito $H_1$ vera (infatti l'autore dice H tutte vere per assunto) e si mette assieme all'ipotesi d'assurdo $notT$ per ottenere una contraddizione. Poi si parla di regole di inferenza per cui dal vero discende il vero e qui è un po fumoso (nello specifico è il punto indicato con 3.).
La mia idea è invece che la contraddizione si abbia come tavola di verità per tutti i valori di $H_1$ (sia veri che falsi) legati con qualche connettivo a $notT$ (cioè in una proposizione) giusto? l'utente invece sembra dire che basta provare per $H_1$ sempre vero. Non chiaro.
Inoltre ho pensato che parla di INFERENZA nel senso che potrei prendere $H_1=>(H_1 ∧ notT)$, quindi forse in questo senso nel punto 3 trova una contraddizione perché supposto $H_1$ vero se "=>" è falsa allora $(H_1 ∧ notT)$ è falsa... ma dato che $H_1$ è vera ci rimane $notT$ falsa e quindi $T$ vera?
Non ho capito se ho interpretato correttamente, qualcuno sa aiutarmi su questa vecchia discussione? Anche perché online è l'unica cosa che vagamente ho trovato che possa risolvermi il problema
Risposte
Cavolo devo aver fatto una domanda davvero stupida se con 474 visite non ho ricevuto risposte . Non vorrei aver peccato nello spiegarmi. Se non è chiaro posso riprovare: però datemi qualche feedback così posso migliorarla.
. Non vorrei aver peccato nello spiegarmi. Se non è chiaro posso riprovare: però datemi qualche feedback così posso migliorarla.
Un'implicazione è vera se la premessa è falsa quindi a te che tte frega quel caso?
Il caso interessante da dimostrare è quando la premessa (ovvero tutte le ipotesi) è vera.
Il caso interessante da dimostrare è quando la premessa (ovvero tutte le ipotesi) è vera.
Mah, mi sembra che il parlare di inferenza nel punto 3 è quello che ti crea dubbi.
In effetti il punto 2 io lo vedrei semplicemente come una congiunzione logica tra proposizioni, che perché sia vera devono essere vere tutte le proposizioni, e se tutte le proposizioni sono vere è vera.
Cioè hai la proposizione
$H_1 \wedge ... \wedge H_n \wedge \not T$,
che sai che è falsa, lo hai stabilito nel punto 2, che porta a concludere: le ipotesi $H_i$ e $\not T$ non possono essere tutte contemporanemamete vere (la formulazione naturale mi pare qundi quella con la congiunzione logica).
Hai assunto che tutte le $H_i$ sono vere, quindi deve essere per forza $\not T$ falsa.
D'altra parte, se uno vuole parlare come nel testo che hai citato di regole di inferenza, puoi ricordare che per una premessa vera hai la stessa tavola di verità della congiunzione, quindi non cambia niente.
D'altra parte se un $H_i$ è falso, la proposizione sopra con la congiunzione è anche in questo caso falsa, e quindi falsa per qualunque valore di verità degli $H_i$, se così ti convince di più.
In effetti, mi sembra più 'pulito', nel senso che stiamo parlando di raggiungere una contraddizione aggiungendo alle ipotesi l'ulteriore ipotesi $\not T$, e una contraddizione è per definizione una proposizione che è falsa qualunque siano i valori di verità delle proposizioni che la compongono.
Insomma, io vedo naturale usare la congiunzione, e non vedo motivi per usare l'implicazione..
In effetti il punto 2 io lo vedrei semplicemente come una congiunzione logica tra proposizioni, che perché sia vera devono essere vere tutte le proposizioni, e se tutte le proposizioni sono vere è vera.
Cioè hai la proposizione
$H_1 \wedge ... \wedge H_n \wedge \not T$,
che sai che è falsa, lo hai stabilito nel punto 2, che porta a concludere: le ipotesi $H_i$ e $\not T$ non possono essere tutte contemporanemamete vere (la formulazione naturale mi pare qundi quella con la congiunzione logica).
Hai assunto che tutte le $H_i$ sono vere, quindi deve essere per forza $\not T$ falsa.
D'altra parte, se uno vuole parlare come nel testo che hai citato di regole di inferenza, puoi ricordare che per una premessa vera hai la stessa tavola di verità della congiunzione, quindi non cambia niente.
D'altra parte se un $H_i$ è falso, la proposizione sopra con la congiunzione è anche in questo caso falsa, e quindi falsa per qualunque valore di verità degli $H_i$, se così ti convince di più.
In effetti, mi sembra più 'pulito', nel senso che stiamo parlando di raggiungere una contraddizione aggiungendo alle ipotesi l'ulteriore ipotesi $\not T$, e una contraddizione è per definizione una proposizione che è falsa qualunque siano i valori di verità delle proposizioni che la compongono.
Insomma, io vedo naturale usare la congiunzione, e non vedo motivi per usare l'implicazione..
Grazie a voi per le risposte.
Ho aspettato qualche giorno a rispondere perché volevo avere più chiaro alcuni concetti di logica che ho letto su vari pdf e dispense universitarie.
@gabrella127
Quello che mi aveva confuso era perché nei giorni precedenti al post mi ero fatto un esempio di "teorema£ del genere
HP: $(P=>Q)$ TH: $(M=>C)$ e voler dimostrare $(P=>Q)=>(M=>C)$ cosa vuol dir? Mi ero chiesto.
Inizialmente errando avevo detto asta prendere P vera e mostrare Q vera e quindi in questo modo ho antecedente vero, mi rimase quindi da mostrare M=>C vera.
però era sbagliato perché anche P falsa rende l'antecendente P=>Q vera e quindi quelll'errore mi aveva fatto accorgere che era importante ragionare sempre sulla tabella completa e non partire dall'assunto Ipotesi vera (perché mi traeva in inganno essendo poco avvezzo a questo ragionamento).
Quindi detto questo avevo voluto provare a rendere la tavola completa del ragionamento per assurdo, ma non riuscendo e avend letto che parlava di inferenza avevo inteso che volesse applicare un "=>", e me la ero congegnata come nel primo post, più che altro perché mi era comodo perché dicevo "prend H1 vera" e quini $H_1⇒(H_1∧¬T)$ funzionava alla grande perché se dimostravo falsa quella implicazione doveva essere $(H_1∧¬T)$ falsa e quindi dato che H1 era vera conseguiva che fosse valsa not T.
Però in effetti non mi ero accorto che molto piu semplicemnte se considero H1...Hn sia vere che false, se aggiungo ¬T e ne faccio la tabella completa beh quand H1...Hn sono false importa poco perché viene falsa e la contraddizione è garantita. Senza fare tutto quel impalcatura di $H_1⇒(H_1∧¬T)$ ridondante.
Ora una domanda finale: ma secondo te cosa intendeva con "inferenza" in quel testo? non riescoa capirlo, perché inferenza pensavo fosse un implica, cioè $H_1⇒(H_1∧¬T)$ appunto, che funziona ma non capisco se sia corretto....
ti ringrazio per avermi fatto raginare su queste cose!
Ho aspettato qualche giorno a rispondere perché volevo avere più chiaro alcuni concetti di logica che ho letto su vari pdf e dispense universitarie.
@gabrella127
Quello che mi aveva confuso era perché nei giorni precedenti al post mi ero fatto un esempio di "teorema£ del genere
HP: $(P=>Q)$ TH: $(M=>C)$ e voler dimostrare $(P=>Q)=>(M=>C)$ cosa vuol dir? Mi ero chiesto.
Inizialmente errando avevo detto asta prendere P vera e mostrare Q vera e quindi in questo modo ho antecedente vero, mi rimase quindi da mostrare M=>C vera.
però era sbagliato perché anche P falsa rende l'antecendente P=>Q vera e quindi quelll'errore mi aveva fatto accorgere che era importante ragionare sempre sulla tabella completa e non partire dall'assunto Ipotesi vera (perché mi traeva in inganno essendo poco avvezzo a questo ragionamento).
Quindi detto questo avevo voluto provare a rendere la tavola completa del ragionamento per assurdo, ma non riuscendo e avend letto che parlava di inferenza avevo inteso che volesse applicare un "=>", e me la ero congegnata come nel primo post, più che altro perché mi era comodo perché dicevo "prend H1 vera" e quini $H_1⇒(H_1∧¬T)$ funzionava alla grande perché se dimostravo falsa quella implicazione doveva essere $(H_1∧¬T)$ falsa e quindi dato che H1 era vera conseguiva che fosse valsa not T.
Però in effetti non mi ero accorto che molto piu semplicemnte se considero H1...Hn sia vere che false, se aggiungo ¬T e ne faccio la tabella completa beh quand H1...Hn sono false importa poco perché viene falsa e la contraddizione è garantita. Senza fare tutto quel impalcatura di $H_1⇒(H_1∧¬T)$ ridondante.
Ora una domanda finale: ma secondo te cosa intendeva con "inferenza" in quel testo? non riescoa capirlo, perché inferenza pensavo fosse un implica, cioè $H_1⇒(H_1∧¬T)$ appunto, che funziona ma non capisco se sia corretto....
ti ringrazio per avermi fatto raginare su queste cose!
aggiungo un ps che potrebbe essere utile, dato che non è ancora stato approvato il precedente.
Dunque riguardo la mia ultima domanda... integro questo:
In sostanza mi manda in crisi perché dice "inferenza, (perché le regole di inferenza logica consentono di ricavare solo vero dal vero). Quindi sembrava che fosse un =>, per quello ho studiato quel H1⇒(H1∧¬T)
Dunque riguardo la mia ultima domanda... integro questo:
In sostanza mi manda in crisi perché dice "inferenza, (perché le regole di inferenza logica consentono di ricavare solo vero dal vero). Quindi sembrava che fosse un =>, per quello ho studiato quel H1⇒(H1∧¬T)
Figurati!
A proposito di quello che dici sopra, non posso che ripetere che l'uso dell'inferenza, nel punto 2 della tua citazione iniziale (credo intenda l'implicazione), lo trovo stiracchiato, confusivo. O comunque perché lo usi non lo capisco.
Ma a te hanno dato qualche definizione di dimostrazione per assurdo?
La mia idea è che nel passo dove si dice: introducendo $\not T$ si raggiunge una contraddizione, in realtà non è che si parla davvero di contraddizione in senso logico-formale, ma più nel senso comune di 'cosa incongrua, impossibile, in contrasto con altri risultati noti' (oppure se vogliamo far vedere che abbiamo una cultura pazzesca ci appelliamo alla logica di Aristotele ). Poi se arriviamo a una formulazione come contraddizione in senso logico-formale, tanto meglio, ma non credo sia quello il punto.
Ad esempio prendiamo la definizione di dimostrazione per assurdo dell'Enciclopedia Treccani online:
1)Tipo di argomentazione (detta anche dimostrazione indiretta) per cui, presupposta vera la tesi opposta a quella che si vuol dimostrare, si fa vedere come ne derivino conseguenze assurde o inaccettabili. 2)Tale tipo di dimostrazione presuppone naturalmente, per la sua validità, che tra il demonstrandum e la sua negazione, posta a base dell’argomentazione, viga una rigorosa antitesi di contraddittorietà, escludente ogni terzo termine
(l'ho diviso io in punti 1 e 2)
https://www.treccani.it/enciclopedia/di ... -filosofia)/
Ancora una definizione tratta da un articolo dell'università di Cambridge:
To prove something by contradiction, we assume that what we want to prove is not true, and then show that the consequences of this are not possible. That is, the consequences contradict either what we have just assumed, or something we already know to be true (or, indeed, both) - we call this a contradiction.
https://nrich.maths.org/4717
In quest'ultima definizione si parla di contrasto con le ipotesi o con qualsiasi altro risultato noto.
Nella definizione Treccani, nel punto 1 anche si parla di 'conseguenze assurde, inaccettabili', cioè in contrasto con qualche 'verità' già nota.
Nel punto 2 entra la logica in senso stretto, cioè dobbiamo stare in una logica in cui vale il principio del terzo escluso.
Se vogliamo mettere la questione in termini di logica delle proposizioni, come dicevo sopra, ci vedo in modo naturale una congiunzione: predere le ipotesi e aggiungerci la negazione della tesi. E si può formulare nei termini di una proposizione contraddittoria, cioè comunque falsa. Ma da dove la prendiamo la falsità di questa proposizione?
Di nuovo, non è la contraddizione in senso della logica delle proposizioni il punto in questione più profondo, secondo me, ma è il contrasto con altre verità già note, altrove.
Questo 'assurdo', 'contraddizione', 'inaccettabilità', o come lo vogliamo chiamare, assume varie forme a seconda dei teoremi, quindi potrebbe essere utile andare a vedere degli esempi specifici di dimostrazioni per assurdo.
Ad esempio, la dimostrazione che i numeri irrazionali tra $0$ e $1$ sono infiniti si basa sul fatto che la tesi che siano finiti cozza con una verità matematica già nota, che tra due razionali ce n'è sempre uno in mezzo. Si arriva a una contraddizione, ma sempre in base a qualche 'verità' matematica già nota.
Idem, forse la più famosa dimostrazione per assurdo, quella della infinità dei numeri primi, che comunque si basa sul teorema fondamentale dell'aritmetica
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... meri_primi
Insomma, forse mi sto addentrando troppo in filosofie, ma io la vedo così: nel punto 1 della definizione Treccani sì, possiamo metter la cosa in termini formali logici, nell'ambito della logica delle proposizioni, ma il punto non è quello, non sta nella logica delle proposizioni in sé, il punto è di tipo semantico, cioè conosciamo il significato dei simboli e il valore di verità delle ipotesi, che assumiamo vere, e conosciamo inoltre il valore di verità di certe affermazioni matematiche a latere
Altrimenti non ne usciamo, non stiamo stabilendo una contraddizione nel senso della logica delle proposizioni e stop.
Quindi secondo me non vale la pena e non ha molto senso spaccarsi il cervello su implicazioni, congiunzioni, contraddizioni etc., nel senso di logica delle proposizioni, nel punto a cui ti riferivi nella tua domanda.
Guarda anche questa voce di Wikipedia, trovi anche delle formalizzazioni logiche con l'inferenza, in particolare
"The principle may be formally expressed as the propositional formula ¬¬P ⇒ P, equivalently (¬P ⇒ ⊥) ⇒ P, which reads: "If assuming P to be false implies falsehood, then P is true."
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_contradiction
Ma di nuovo, ok se la negazione di $P$ implica falsità, allora $P$ è vera. Però il punto è come facciamo a vedere che implica una falsità: dobbiamo usare verità matematiche già note, cioè andiamo fuori della logica proposizionale, andiamo sul piano dei significati.
Spero con questo pippone para-filosofico di non averti confuso le idee. È come la vedo io, poi caso mai se lo vai a dire al professore ti mena (non voglio averti sulla coscienza)
Per concludere: non mi starei troppo a preoccupare di inferenze, etc., poi dipende da come te lo hanno presentato ai corsi.
L'unico aspetto veramente 'forte' dal punto di vista della logica formale, è il punto 2, il principio del terzo escluso. Se non vale quello, casca tutto, come nelle logiche che non prevedono questo principio.
A proposito di quello che dici sopra, non posso che ripetere che l'uso dell'inferenza, nel punto 2 della tua citazione iniziale (credo intenda l'implicazione), lo trovo stiracchiato, confusivo. O comunque perché lo usi non lo capisco.
Ma a te hanno dato qualche definizione di dimostrazione per assurdo?
La mia idea è che nel passo dove si dice: introducendo $\not T$ si raggiunge una contraddizione, in realtà non è che si parla davvero di contraddizione in senso logico-formale, ma più nel senso comune di 'cosa incongrua, impossibile, in contrasto con altri risultati noti' (oppure se vogliamo far vedere che abbiamo una cultura pazzesca ci appelliamo alla logica di Aristotele
). Poi se arriviamo a una formulazione come contraddizione in senso logico-formale, tanto meglio, ma non credo sia quello il punto.Ad esempio prendiamo la definizione di dimostrazione per assurdo dell'Enciclopedia Treccani online:
1)Tipo di argomentazione (detta anche dimostrazione indiretta) per cui, presupposta vera la tesi opposta a quella che si vuol dimostrare, si fa vedere come ne derivino conseguenze assurde o inaccettabili. 2)Tale tipo di dimostrazione presuppone naturalmente, per la sua validità, che tra il demonstrandum e la sua negazione, posta a base dell’argomentazione, viga una rigorosa antitesi di contraddittorietà, escludente ogni terzo termine
(l'ho diviso io in punti 1 e 2)
https://www.treccani.it/enciclopedia/di ... -filosofia)/
Ancora una definizione tratta da un articolo dell'università di Cambridge:
To prove something by contradiction, we assume that what we want to prove is not true, and then show that the consequences of this are not possible. That is, the consequences contradict either what we have just assumed, or something we already know to be true (or, indeed, both) - we call this a contradiction.
https://nrich.maths.org/4717
In quest'ultima definizione si parla di contrasto con le ipotesi o con qualsiasi altro risultato noto.
Nella definizione Treccani, nel punto 1 anche si parla di 'conseguenze assurde, inaccettabili', cioè in contrasto con qualche 'verità' già nota.
Nel punto 2 entra la logica in senso stretto, cioè dobbiamo stare in una logica in cui vale il principio del terzo escluso.
Se vogliamo mettere la questione in termini di logica delle proposizioni, come dicevo sopra, ci vedo in modo naturale una congiunzione: predere le ipotesi e aggiungerci la negazione della tesi. E si può formulare nei termini di una proposizione contraddittoria, cioè comunque falsa. Ma da dove la prendiamo la falsità di questa proposizione?
Di nuovo, non è la contraddizione in senso della logica delle proposizioni il punto in questione più profondo, secondo me, ma è il contrasto con altre verità già note, altrove.
Questo 'assurdo', 'contraddizione', 'inaccettabilità', o come lo vogliamo chiamare, assume varie forme a seconda dei teoremi, quindi potrebbe essere utile andare a vedere degli esempi specifici di dimostrazioni per assurdo.
Ad esempio, la dimostrazione che i numeri irrazionali tra $0$ e $1$ sono infiniti si basa sul fatto che la tesi che siano finiti cozza con una verità matematica già nota, che tra due razionali ce n'è sempre uno in mezzo. Si arriva a una contraddizione, ma sempre in base a qualche 'verità' matematica già nota.
Idem, forse la più famosa dimostrazione per assurdo, quella della infinità dei numeri primi, che comunque si basa sul teorema fondamentale dell'aritmetica
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... meri_primi
Insomma, forse mi sto addentrando troppo in filosofie, ma io la vedo così: nel punto 1 della definizione Treccani sì, possiamo metter la cosa in termini formali logici, nell'ambito della logica delle proposizioni, ma il punto non è quello, non sta nella logica delle proposizioni in sé, il punto è di tipo semantico, cioè conosciamo il significato dei simboli e il valore di verità delle ipotesi, che assumiamo vere, e conosciamo inoltre il valore di verità di certe affermazioni matematiche a latere
Altrimenti non ne usciamo, non stiamo stabilendo una contraddizione nel senso della logica delle proposizioni e stop.
Quindi secondo me non vale la pena e non ha molto senso spaccarsi il cervello su implicazioni, congiunzioni, contraddizioni etc., nel senso di logica delle proposizioni, nel punto a cui ti riferivi nella tua domanda.
Guarda anche questa voce di Wikipedia, trovi anche delle formalizzazioni logiche con l'inferenza, in particolare
"The principle may be formally expressed as the propositional formula ¬¬P ⇒ P, equivalently (¬P ⇒ ⊥) ⇒ P, which reads: "If assuming P to be false implies falsehood, then P is true."
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_contradiction
Ma di nuovo, ok se la negazione di $P$ implica falsità, allora $P$ è vera. Però il punto è come facciamo a vedere che implica una falsità: dobbiamo usare verità matematiche già note, cioè andiamo fuori della logica proposizionale, andiamo sul piano dei significati.
Spero con questo pippone para-filosofico di non averti confuso le idee. È come la vedo io, poi caso mai se lo vai a dire al professore ti mena
(non voglio averti sulla coscienza)Per concludere: non mi starei troppo a preoccupare di inferenze, etc., poi dipende da come te lo hanno presentato ai corsi.
L'unico aspetto veramente 'forte' dal punto di vista della logica formale, è il punto 2, il principio del terzo escluso. Se non vale quello, casca tutto, come nelle logiche che non prevedono questo principio.
"gast1":
... beh quand H1...Hn sono false importa poco perché viene falsa e la contraddizione è garantita.
Che ti avevo scritto?
"gast1":
... ma secondo te cosa intendeva con "inferenza" in quel testo?
Nient'altro che quello ovvero l'utilizzo di una "regola di inferenza"
Vedi questo per esempio (da "Discrete Mathematics" di K.Rosen)
Cordialmente, Alex
axpgn, hai ragione sul punto 3, che dice perché non possiamo logicamente considerare tutte vere le proposizioni in contemporanea (basterebbe per semplicità la congiunzione, secondo me, invece di tutte le inferenze logiche, ma vabbe', non so). In effetti lì si parla di inferenza solo nel punto 3, questo hai ragione, non nel punto 2, ricordavo male.
Ma stavamo parlando di come formalizzare la 'contraddizione' del punto 2, quella mi sembrava il punto di dubbi per gast1.
Io sottolineavo che lì non si tratta necessariamente di contraddizione in senso logico, ma c'è il ricorso al piano 'semantico', dei significati: ripeto, la parola 'contraddizione' lì non va intesa in senso strettamente logico-formale.
Se no si fa un pasticcio gigante tra i vari significati di 'contraddizione', e confusione tra il piano logico-formale e altri piani.
Sintetizzo: aggiungendo alle ipotesi del teorema la negazione della tesi arriviamo, in genere per via extra-logica, per la teoria matematica, a una proposizione falsa, qualcosa che cozza con altre verità.
Poi, vabbe', usiamo la logica per dire che quindi la tesi è vera, ma vabbe', la logica e le regole logiche le usiamo sempre, mica solo nelle dimostrazioni per assurdo.
L'unico punto caratterizzante, forte, dal punto di vista logico, nelle dimostrazioni per assurdo, è il principio del terzo escluso.
Ma stavamo parlando di come formalizzare la 'contraddizione' del punto 2, quella mi sembrava il punto di dubbi per gast1.
Io sottolineavo che lì non si tratta necessariamente di contraddizione in senso logico, ma c'è il ricorso al piano 'semantico', dei significati: ripeto, la parola 'contraddizione' lì non va intesa in senso strettamente logico-formale.
Se no si fa un pasticcio gigante tra i vari significati di 'contraddizione', e confusione tra il piano logico-formale e altri piani.
Sintetizzo: aggiungendo alle ipotesi del teorema la negazione della tesi arriviamo, in genere per via extra-logica, per la teoria matematica, a una proposizione falsa, qualcosa che cozza con altre verità.
Poi, vabbe', usiamo la logica per dire che quindi la tesi è vera, ma vabbe', la logica e le regole logiche le usiamo sempre, mica solo nelle dimostrazioni per assurdo.
L'unico punto caratterizzante, forte, dal punto di vista logico, nelle dimostrazioni per assurdo, è il principio del terzo escluso.
Io mi riferivo a questo dubbio dell'OP:
Ovvero all'OP non era chiaro perché si dovesse considerare SOLO il caso in cui tutte le $H_i$ sono vere.
E la mia risposta è stata che "l'inferenza" funziona in quel modo ( ) ma soprattutto, lo ripeto ma mi pare che l'abbia compreso anche l'OP, considerare i casi con una qualsiasi $H_i$ falsa sia inutile dato che questo fatto renderebbe l'implicazione vera, senza necessità di ulteriori indagini.
Quindi l'unico caso veramente interessante da discutere è quello con tutte le $H_i$ vere.
"gast1":
La mia idea è invece che la contraddizione si abbia come tavola di verità per tutti i valori di $ H_1 $ (sia veri che falsi) legati con qualche connettivo a $ notT $ (cioè in una proposizione) giusto? l'utente invece sembra dire che basta provare per $ H_1 $ sempre vero. Non chiaro.
Ovvero all'OP non era chiaro perché si dovesse considerare SOLO il caso in cui tutte le $H_i$ sono vere.
E la mia risposta è stata che "l'inferenza" funziona in quel modo (
) ma soprattutto, lo ripeto ma mi pare che l'abbia compreso anche l'OP, considerare i casi con una qualsiasi $H_i$ falsa sia inutile dato che questo fatto renderebbe l'implicazione vera, senza necessità di ulteriori indagini.Quindi l'unico caso veramente interessante da discutere è quello con tutte le $H_i$ vere.
Infatti, perché faceva confusione con il punto 2, in cui si parla di contraddizione.
Grazie per le ulteriori repliche
Sì, direi che i punti dubbi erano quelli da voi analizzati (quindi in realtà più d'uno) ma che si mischiavano abbastanza. Poi, come dice gabriella io leggevo contraddizione e inferenza in senso logico del termine e non riuscivo a capire formalmente come si ottenesse, cioè cercavo una tabella di verità ma non riuscivo a costruirla.
Invece mi sa che, come dici tu, per contraddizione intedesse banalmente che "noto che porta a una conclusione errata". E' solo che mi lascia un po' l'amaro in bocca perché speravo di poterlo formalizzare di più.
Per rispondere poi all'ulteriore altra domanda fatta, in realtà non mi è stato definito in maniera molto più formale la dimosrazione per assurdo, solo cercavo di creare io una maggior formalità rispetto a quanto detto che è pressapoco quello che avete detto voi e che trovavo in quel testo del forum
Insomma, era una curiosità per capire come veniva letto da altri questa importante tipologia di dimostrazione che non so perché non venga mai approfondito a dovere (mi sembra un fondamento importante) ma è sempre lasciato all'istinto.
Sì, direi che i punti dubbi erano quelli da voi analizzati (quindi in realtà più d'uno) ma che si mischiavano abbastanza. Poi, come dice gabriella io leggevo contraddizione e inferenza in senso logico del termine e non riuscivo a capire formalmente come si ottenesse, cioè cercavo una tabella di verità ma non riuscivo a costruirla.
Invece mi sa che, come dici tu, per contraddizione intedesse banalmente che "noto che porta a una conclusione errata". E' solo che mi lascia un po' l'amaro in bocca perché speravo di poterlo formalizzare di più.
Per rispondere poi all'ulteriore altra domanda fatta, in realtà non mi è stato definito in maniera molto più formale la dimosrazione per assurdo, solo cercavo di creare io una maggior formalità rispetto a quanto detto che è pressapoco quello che avete detto voi e che trovavo in quel testo del forum
Insomma, era una curiosità per capire come veniva letto da altri questa importante tipologia di dimostrazione che non so perché non venga mai approfondito a dovere (mi sembra un fondamento importante) ma è sempre lasciato all'istinto.
Beh, no, dipende dai libri che leggi
Quello che ho citato, per esempio, benché in modo elementare, lo tratta.
Quello che ho citato, per esempio, benché in modo elementare, lo tratta.
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