Dimostrazione implicazione logica
All'orale di Algebra 1, che per inciso è andato male, mi hanno chiesto di dimostrare la proprietà simmetrica di una relazione.
Ora da quello che so la proprietà simmetrica dice che:
siano [tex]A[/tex] un insieme e [tex]R \subseteq A \times A[/tex] una relazione su [tex]A[/tex].
[tex]R[/tex] è simmetrica se [tex]aRb \Rightarrow bRa[/tex]. Dato che per me è una definizione non sapevo
come dimostrarlo, allora mi ha chiesto di dimostrare l'implicazione logica [tex]P \Rightarrow Q[/tex], e qui dopo aver scritto la tavola di verità mi ha chiesto di dimostrarla. A questo punto ho perso la testa e mi son bloccato.
Le cose che non mi sono chiare sono due:
1) la proprietà simmetrica, come la riflessiva o le altre legate alle relazioni, non sono delle definizioni, e quindi come tali non vanno dimostrate? In caso contrario come si dimostrano?
2) Nell'implicazione logica, come per gli altri operatori logici, la sua tavola di verità indica tutti i possibili valori di Vero o Falso che assume a seconda dei valori di Vero o Falso delle proposizioni P e Q. Nel momento che indico tutte le combinazioni possibili, cosa altro manca da dire? Come si dimostra?
Grazie e scusate per la banalità dell'argomento, ma dopo questa mia grande performance mi sono cadute le braccia
Ora da quello che so la proprietà simmetrica dice che:
siano [tex]A[/tex] un insieme e [tex]R \subseteq A \times A[/tex] una relazione su [tex]A[/tex].
[tex]R[/tex] è simmetrica se [tex]aRb \Rightarrow bRa[/tex]. Dato che per me è una definizione non sapevo
come dimostrarlo, allora mi ha chiesto di dimostrare l'implicazione logica [tex]P \Rightarrow Q[/tex], e qui dopo aver scritto la tavola di verità mi ha chiesto di dimostrarla. A questo punto ho perso la testa e mi son bloccato.
Le cose che non mi sono chiare sono due:
1) la proprietà simmetrica, come la riflessiva o le altre legate alle relazioni, non sono delle definizioni, e quindi come tali non vanno dimostrate? In caso contrario come si dimostrano?
2) Nell'implicazione logica, come per gli altri operatori logici, la sua tavola di verità indica tutti i possibili valori di Vero o Falso che assume a seconda dei valori di Vero o Falso delle proposizioni P e Q. Nel momento che indico tutte le combinazioni possibili, cosa altro manca da dire? Come si dimostra?
Grazie e scusate per la banalità dell'argomento, ma dopo questa mia grande performance mi sono cadute le braccia
Risposte
Non capisco il senso di alcune di queste richieste
Quale relazione? Questo non si può dimostrare "in generale" perchè esistono relazioni che non sono simmetriche. Anche ammettendo che tu ti riferissi a una relazione di equivalenza, non c'è comunque niente da mostrare dato che la simmetria sarebbe parte della definizione...
Cosa significa ? Il comportamento del connettivo $=>$ è stabilito per definizione, a meno che tu non consideri la scrittura $P⇒Q$ come abbreviazione per $\neg P vv Q$, in quel caso avresti potuto dimostrare qualcosa.
L'unica cosa che mi viene da pensare è che forse tu e l'esaminatore non vi siete capiti, oppure che il tuo corso di algebra segue un'impostazione a me sconosciuta. Boh...
P.S. Forza, sono sicuro che andrà meglio la prossima volta!
"GundamRX91":
dimostrare la proprietà simmetrica di una relazione
Quale relazione? Questo non si può dimostrare "in generale" perchè esistono relazioni che non sono simmetriche. Anche ammettendo che tu ti riferissi a una relazione di equivalenza, non c'è comunque niente da mostrare dato che la simmetria sarebbe parte della definizione...
"GundamRX91":
$P⇒Q$ , e qui dopo aver scritto la tavola di verità mi ha chiesto di dimostrarla
Cosa significa ? Il comportamento del connettivo $=>$ è stabilito per definizione, a meno che tu non consideri la scrittura $P⇒Q$ come abbreviazione per $\neg P vv Q$, in quel caso avresti potuto dimostrare qualcosa.
L'unica cosa che mi viene da pensare è che forse tu e l'esaminatore non vi siete capiti, oppure che il tuo corso di algebra segue un'impostazione a me sconosciuta. Boh...
P.S. Forza, sono sicuro che andrà meglio la prossima volta!
Si in effetti mi riferivo ad una relazione di equivalenza (stavo esponendo l'anello delle classi dei resti modulo n, partendo dalla definizione di relazione di congruenza che è una relazione di equivalenza).
Quindi allora mi dai ragione dicendo che è una definizione la proprietà simmetrica, come del resto la riflessiva e la transitiva, perchè sono proprio queste definizioni che .... definiscono una relazione di equivalenza. Ma allora cosa dimostro!?!?!?
Per l'implicazione logica ho chiesto se intendeva la notazione equivalente [tex]\neg (P \land \neg Q)[/tex] che analizzandola porta alla tavola di verità che conosciamo, ma mi ha detto che non era questo che intendeva, allora mi ha liquidato.
Ma a parte il fatto di non aver superato l'esame e che comunque riproverò a settembre, quello che a me interessa è capire in modo da non fare nuovamente lo stesso errore. Però se il docente si aspetta una dimostrazione e, nonostante io abbia dato delle definizioni che, in teoria, non dovrei dimostrare, la prossima volta rispondo che una definizione non si dimostra rischio comunque di peggiorare la situazione. Quindi la mia domanda rimane aperta: come si dimostra l'implicazione logica, oppure, supponendo di essere voi di fronte al docente, come gliela esporreste per dimostrarla?
Quindi allora mi dai ragione dicendo che è una definizione la proprietà simmetrica, come del resto la riflessiva e la transitiva, perchè sono proprio queste definizioni che .... definiscono una relazione di equivalenza. Ma allora cosa dimostro!?!?!?
Per l'implicazione logica ho chiesto se intendeva la notazione equivalente [tex]\neg (P \land \neg Q)[/tex] che analizzandola porta alla tavola di verità che conosciamo, ma mi ha detto che non era questo che intendeva, allora mi ha liquidato.
Ma a parte il fatto di non aver superato l'esame e che comunque riproverò a settembre, quello che a me interessa è capire in modo da non fare nuovamente lo stesso errore. Però se il docente si aspetta una dimostrazione e, nonostante io abbia dato delle definizioni che, in teoria, non dovrei dimostrare, la prossima volta rispondo che una definizione non si dimostra rischio comunque di peggiorare la situazione. Quindi la mia domanda rimane aperta: come si dimostra l'implicazione logica, oppure, supponendo di essere voi di fronte al docente, come gliela esporreste per dimostrarla?
"GundamRX91":
Si in effetti mi riferivo ad una relazione di equivalenza (stavo esponendo l'anello delle classi dei resti modulo n, partendo dalla definizione di relazione di congruenza che è una relazione di equivalenza).
Quindi allora mi dai ragione dicendo che è una definizione la proprietà simmetrica, come del resto la riflessiva e la transitiva, perchè sono proprio queste definizioni che .... definiscono una relazione di equivalenza. Ma allora cosa dimostro!?!?!?
Per l'implicazione logica ho chiesto se intendeva la notazione equivalente [tex]\neg (P \land \neg Q)[/tex] che analizzandola porta alla tavola di verità che conosciamo, ma mi ha detto che non era questo che intendeva, allora mi ha liquidato.
Ma a parte il fatto di non aver superato l'esame e che comunque riproverò a settembre, quello che a me interessa è capire in modo da non fare nuovamente lo stesso errore. Però se il docente si aspetta una dimostrazione e, nonostante io abbia dato delle definizioni che, in teoria, non dovrei dimostrare, la prossima volta rispondo che una definizione non si dimostra rischio comunque di peggiorare la situazione. Quindi la mia domanda rimane aperta: come si dimostra l'implicazione logica, oppure, supponendo di essere voi di fronte al docente, come gliela esporreste per dimostrarla?
Gundam, c'è un'altra possibilità.
Io so che quelle sono semplicemente definizioni e come tali non andrebbero dimostrate. Posteresti il programma del tuo corso in algebra 1?
Comunque la possibilità che intendevo è che forse voleva metterti in crisi, cioè era una domanda a tranello. E si aspettava che tu rispondessi "ma scusa è una definizione, cosa dimostro?"
Non lo so, mi pare stranoche ti ha chiesto di dimostrare $P => Q$ e che $aRb => bRa$... qual'è il contesto che te l'ha chiesto?
In origine il programma era il seguente http://matematica.unica.it/fileadmin/documenti/orario_lezioni/triennale/Algebra_1.pdf, poi con il nuovo docente molti argomenti sono stati tralasciati: numeri complessi, gruppo simmetrico, polinomi, equazioni alle differenze, in favore di esercitazioni sui temi restanti.
La dimostrazione mi è stata richiesta quando stavo esponendo che la relazione di congruenza è una relazione di equivalenza.
Se era a tranello non lo so, ma nel momento che dico che una relazione è definita (scrivendo alla lavagna)
se [tex]aRb \Rightarrow bRa[/tex]
non dovrebbe essere sufficiente?
La dimostrazione mi è stata richiesta quando stavo esponendo che la relazione di congruenza è una relazione di equivalenza.
Se era a tranello non lo so, ma nel momento che dico che una relazione è definita (scrivendo alla lavagna)
se [tex]aRb \Rightarrow bRa[/tex]
non dovrebbe essere sufficiente?
"Kashaman":
Gundam, c'è un'altra possibilità.
C'è eccome, che il pusher del docente tratti fumo di ottima qualità; nel caso, chiedi se può darti il numero di telefono.
:D:D:D
"GundamRX91":
stavo esponendo l'anello delle classi dei resti modulo n, partendo dalla definizione di relazione di congruenza che è una relazione di equivalenza
Aaaaaah adesso ho capito!!! probailmente il tuo prof voleva chiederti "Dimostrami che la congruenza modulo $n$ è una relazione di equivalenza" ... e tu a questo punto dovevi fargli vedere che è riflessiva, simmetrica e transitiva. In particolare la simmetria: se $a= b (mod n)$ allora $n$ divide $a-b$ e quindi $n$ divide anche $b-a = -(a-b)$, pertanto $b = a (mod n)$
Se non è così allora ha ragione Rggb
"Rggb":
[quote="Kashaman"]Gundam, c'è un'altra possibilità.
C'è eccome, che il pusher del docente tratti fumo di ottima qualità; nel caso, chiedi se può darti il numero di telefono.
[/quote]Uhmmm... vedendo come si veste potrebbe essere
"perplesso":
[quote="GundamRX91"]stavo esponendo l'anello delle classi dei resti modulo n, partendo dalla definizione di relazione di congruenza che è una relazione di equivalenza
Aaaaaah adesso ho capito!!! probailmente il tuo prof voleva chiederti "Dimostrami che la congruenza modulo $n$ è una relazione di equivalenza" ... e tu a questo punto dovevi fargli vedere che è riflessiva, simmetrica e transitiva. In particolare la simmetria: se $a= b (mod n)$ allora $n$ divide $a-b$ e quindi $n$ divide anche $b-a = -(a-b)$, pertanto $b = a (mod n)$
Se non è così allora ha ragione Rggb
[/quote]Ma era quello che stavo facendo!! Dopo aver esposto la definizione di relazione di congruenza ho fatto vedere che è di equivalenza, appunto verificando la proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Dopo la riflessiva scrivo il necessario per la simmetrica e qui arriva la domanda
Vorrei arrivare ad una conclusione (sempre che ci sia...) su questo argomento, per cui abbiate pazienza su eventuali strafalcioni ma non abbiate pietà nel farmelo notare
Allora, l'implicazione [tex]\Rightarrow[/tex] è un connettivo logico attraverso il quale, a partire da due proposizioni [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], se ne crea una nuova: [tex]A \Rightarrow B[/tex]. Associato all'implicazione abbiamo la seguente tavola di verità:
[tex]A=vero, B=vero, A \Rightarrow B=vero[/tex]
[tex]A=vero, B=falso, A \Rightarrow B=falso[/tex]
[tex]A=falso, B=vero, A \Rightarrow B=vero[/tex]
[tex]A=falso, B=falso, A \Rightarrow B=vero[/tex]
L'implicazione logica viene dimostrata utilizzando la regola di inferenza nota come Modus Ponens, che si può schematizzare come segue;
[tex][A \land (A \Rightarrow B)] \vdash B[/tex]
ossia, se è vera la proposizione [tex]A[/tex] ed è vera la proposizione [tex]A \Rightarrow B[/tex] allora si deduce (la conclusione) che la proposizione [tex]B[/tex] è vera. Prendiamo ora come riferimento la tavola di verità sopra citata e si abbia il seguente teorema:
se la proposizione [tex]A[/tex] è vera allora è vera la proposizione [tex]B[/tex]: [tex]A \Rightarrow B[/tex].
Dimostrazione: sia la proposizione [tex]A[/tex] vera, allora dalla tavola di verità posso avere due casi: 1) la proposizione [tex]B[/tex] è vera da cui la tesi, 2) la proposizione [tex]B[/tex] è falsa per cui la tesi non si può dedurre. Segue allora che [tex]A \Rightarrow B[/tex] è vera solo nel caso in cui [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] siano veri.
Veniamo ora alla tanto discussa proprietà simmetrica delle relazioni binarie tra insiemi.
Sia [tex]R \subseteq A \times B[/tex] una relazione binaria tra insiemi non vuoti.
Definizione: [tex]R[/tex] è una relazione simmetrica se [tex](\forall a)(\forall b)(aRb \Rightarrow bRa)[/tex], ossia se [tex](\forall a)(\forall b)((a,b) \in R \Rightarrow (b,a) \in R )[/tex].
Dal teorema precedente si supponga [tex]aRb[/tex] vera, ossia [tex](a,b) \in R[/tex], allora affinchè [tex]aRb \Rightarrow bRa[/tex] sia vera possiamo avere solo il caso in cui [tex]bRa[/tex] sia vera, ossia [tex](b,a) \in R[/tex]. Si conclude allora dicendo che una relazione binaria [tex]R[/tex] è simmetrica quando è vera la seguente proposizione [tex]((a,b) \in R \land (b,a) \in R)[/tex].
So che siamo in tempo di vacanze/ferie, ma mi piacerebbe avere l'opinione di qualcuno. Grazie e scusate la lungaggine e soprattutto le molto probabili fesserie
Allora, l'implicazione [tex]\Rightarrow[/tex] è un connettivo logico attraverso il quale, a partire da due proposizioni [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], se ne crea una nuova: [tex]A \Rightarrow B[/tex]. Associato all'implicazione abbiamo la seguente tavola di verità:
[tex]A=vero, B=vero, A \Rightarrow B=vero[/tex]
[tex]A=vero, B=falso, A \Rightarrow B=falso[/tex]
[tex]A=falso, B=vero, A \Rightarrow B=vero[/tex]
[tex]A=falso, B=falso, A \Rightarrow B=vero[/tex]
L'implicazione logica viene dimostrata utilizzando la regola di inferenza nota come Modus Ponens, che si può schematizzare come segue;
[tex][A \land (A \Rightarrow B)] \vdash B[/tex]
ossia, se è vera la proposizione [tex]A[/tex] ed è vera la proposizione [tex]A \Rightarrow B[/tex] allora si deduce (la conclusione) che la proposizione [tex]B[/tex] è vera. Prendiamo ora come riferimento la tavola di verità sopra citata e si abbia il seguente teorema:
se la proposizione [tex]A[/tex] è vera allora è vera la proposizione [tex]B[/tex]: [tex]A \Rightarrow B[/tex].
Dimostrazione: sia la proposizione [tex]A[/tex] vera, allora dalla tavola di verità posso avere due casi: 1) la proposizione [tex]B[/tex] è vera da cui la tesi, 2) la proposizione [tex]B[/tex] è falsa per cui la tesi non si può dedurre. Segue allora che [tex]A \Rightarrow B[/tex] è vera solo nel caso in cui [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] siano veri.
Veniamo ora alla tanto discussa proprietà simmetrica delle relazioni binarie tra insiemi.
Sia [tex]R \subseteq A \times B[/tex] una relazione binaria tra insiemi non vuoti.
Definizione: [tex]R[/tex] è una relazione simmetrica se [tex](\forall a)(\forall b)(aRb \Rightarrow bRa)[/tex], ossia se [tex](\forall a)(\forall b)((a,b) \in R \Rightarrow (b,a) \in R )[/tex].
Dal teorema precedente si supponga [tex]aRb[/tex] vera, ossia [tex](a,b) \in R[/tex], allora affinchè [tex]aRb \Rightarrow bRa[/tex] sia vera possiamo avere solo il caso in cui [tex]bRa[/tex] sia vera, ossia [tex](b,a) \in R[/tex]. Si conclude allora dicendo che una relazione binaria [tex]R[/tex] è simmetrica quando è vera la seguente proposizione [tex]((a,b) \in R \land (b,a) \in R)[/tex].
So che siamo in tempo di vacanze/ferie, ma mi piacerebbe avere l'opinione di qualcuno. Grazie e scusate la lungaggine e soprattutto le molto probabili fesserie
E' domenica, c'è il sole, fa caldo, dovrei essere al mare o ad arrampicare, invece sto studiando e faccio un ... UP
Grazie a chiunque voglia aiutarmi.
Grazie a chiunque voglia aiutarmi.
GundamRX91, continuo a sostenere la mia precedente ipotesi. Che c'è da dimostrare?
Detto ciò ti saluto, vado a portare la prole a fare una camminata in montagna. Buona domenica.
PS. Io chiederei lumi al docente, ma magari vacci senza il Gundam, sennò chissà che può pensare.
Detto ciò ti saluto, vado a portare la prole a fare una camminata in montagna. Buona domenica.
PS. Io chiederei lumi al docente, ma magari vacci senza il Gundam, sennò chissà che può pensare.
Rggb ma quello che ho scritto ha un senso almeno ? Poi che non ci sia nulla da dimostrare sono d'accordo con te, ma se irrobustisco le mie conoscenze posso almeno ribattere qualora qualche altro docente cerchi di mettermi in difficoltà.
Comunque non pretendo che nessuno risponda ora, e anzi auguro una piacevole domenica a tutti e, Rggb, buona camminata in montagna (dove vai se posso chiedertelo?), che io adoro più del mare
Ciao
Comunque non pretendo che nessuno risponda ora, e anzi auguro una piacevole domenica a tutti e, Rggb, buona camminata in montagna (dove vai se posso chiedertelo?), che io adoro più del mare
Ciao
"GundamRX91":
Rggb ma quello che ho scritto ha un senso almeno ?
Beh direi di sì, e mi sembra anche corretto.
/OT
"GundamRX91":
Rggb, buona camminata in montagna (dove vai se posso chiedertelo?)
Più o meno qui.
TO/
Grazie per tutto
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo