Dimostrare che la funzione è iniettiva
\( f:\quad N\longrightarrow N\quad tale\quad che\quad f\left( n \right) ={ n }^{ 2 }+2n+3\)
Risposte
Mi spiego meglio: se in un esercizio mi si chiede di dimostrare che una funzione è iniettiva, da quanto ho capito posso verificare che la funzione è strettamente crescente, di conseguenza sarà iniettiva. Quindi la domanda è, data una funzione, come dimostro che essa è strettamente crescente?
Se hai fatto le derivate (per esempio alle superiori di solito si fanno) sai che una funzione con derivata positiva in un intervallo è strettamente crescente in quell'intervallo. Quindi per vedere dove è crescente fai la derivata e studi dove è positiva (o nulla). E' vero che al momento stai studiando l'iniettività della tua funzione definita su $ZZ$, ma se mostri che è iniettiva su $RR$ a maggior ragione lo sarà su $ZZ$.
Purtroppo quando ho fatto io le superiori l'argomento derivate era quasi assente. Ma per dimostrare se una funzione è iniettiva non si fa prima se si parte semplicemente dalla definizione di iniettività deducendo che $n = m$ (ad esempio) ? Il mio libro di matematica discreta non è chiarissimo sulle funzioni iniettive, o meglio, dice di dimostrarle semplicemente ponendo $f(x) = f(y)$, svolgendo i relativi calcoli ad entrambi i membri.
La stragrande maggioranza delle funzioni non si presta a una risoluzione algebricamente fattibile dell'equazione f(x)=f(y) (quelle che hai proposto invece sì, vedi il suggerimento di G.D.). Le funzioni che hai proposto sono create ad hoc per farti risolvere a mano tale equazione. Ma sono casi particolarissimi.
Capisco. Mi permetto di fare un altro esempio di funzione:
$f(n) = 2^(2^n)$
Correggimi se sbaglio, in questo caso basta applicare il "metodo classico", quindi ponendo $f(n) = f(m)$ si ha:
$2^(2^n) = 2^(2^m) rArr 2^n = 2^m rArr n = m$
Penso sia giusto...
$f(n) = 2^(2^n)$
Correggimi se sbaglio, in questo caso basta applicare il "metodo classico", quindi ponendo $f(n) = f(m)$ si ha:
$2^(2^n) = 2^(2^m) rArr 2^n = 2^m rArr n = m$
Penso sia giusto...
Sì è giusto.
Ottimo, quindi ricapitolando... per dimostrare l'iniettività di una funzione:
1) Controllo se è facilmente risolvibile col metodo classico ovvero ponendo $f(x) = f(y)$ altrimenti...
2) Ricavo la derivata della funzione e risolvo la disequazione ponendo la funzione derivata a $>=0$
3) Infine se non ho capito male controllo qual è l'intervallo in cui è la $x$ è positiva, per essere una funzione iniettiva credo bisogna essere positiva per l'intervallo che va da $0$ a $+oo$ (nel caso bisogna dimostrare l'iniettività di una funzione definita su $N$)
E' corretto? Grazie.
p.s.
al punto 2 dato che sto controllando l'iniettività il $>=$ va bene per la disequazione della funzione derivata?
1) Controllo se è facilmente risolvibile col metodo classico ovvero ponendo $f(x) = f(y)$ altrimenti...
2) Ricavo la derivata della funzione e risolvo la disequazione ponendo la funzione derivata a $>=0$
3) Infine se non ho capito male controllo qual è l'intervallo in cui è la $x$ è positiva, per essere una funzione iniettiva credo bisogna essere positiva per l'intervallo che va da $0$ a $+oo$ (nel caso bisogna dimostrare l'iniettività di una funzione definita su $N$)
E' corretto? Grazie.
p.s.
al punto 2 dato che sto controllando l'iniettività il $>=$ va bene per la disequazione della funzione derivata?
Giusto. Il $\geq$ va bene ammesso che la derivata risulti uguale a zero in punti singoli e non in interi intervalli (se la derivata è zero in un intervallo allora la funzione è costante in tale intervallo e quindi non iniettiva).
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