Dimostrare che $Aut(S_n)=S_n$ se $n\ne\ 2,6$
Dimostrare che $Aut(S_n)=S_n$ se $n\ne\ 2,6$
nota: il segno di uguale è da intendersi come il segno di isomorfismo
nota: il segno di uguale è da intendersi come il segno di isomorfismo
Risposte
Io considererei il gruppo degli automorfismi interni di un gruppo G..questo gruppo I(G) è $~=$ a G/Z(G) dove Z(G) è il centro del gruppo..Poi faccio vedere che in $S_n$ il centro è banale e quindi per n≠6 $S_n$ ha solo automorfismi interni.Poi visto che in un gruppo I(G) è un sgr normale Aut(G)..allora Aut($S_n$)$~=$I($S_n$) $~=$ $S_n$
Ciao.
Potresti giustificare questa affermazione?
"Akina":
per n≠6 $S_n$ ha solo automorfismi interni.
Potresti giustificare questa affermazione?
Non è detto
, questo è proprio quello che si deve dimostrare. Te hai solo dimostrato che $Int(S_n)$ è contenuto in $Aut(S_n)$. Ora si dovrebbe dimostrare l'altra inclusione.
@martino
Sembra strano eh? questo fatto ci è stato diciamo raccontato dal prof di strutture algebriche a lezione, ma senza alcuna dimostrazione. MI sono quindi rivolto al forum per vedere se si riesce a dimostrare, sia che per $n!=6$ è proprio $S_n$, che per $n=6$ $Aut(S_6)$ è isomorfo al prodotto semidiretto di $S_n$ per $ZZ//(2ZZ)$, per una qualche azione a me ignota. Non deve essere un problema facile, dato che ce l'ha solo enunciato...
[mod="Martino"]Sistemato gli accenti
[/mod]
, questo è proprio quello che si deve dimostrare. Te hai solo dimostrato che $Int(S_n)$ è contenuto in $Aut(S_n)$. Ora si dovrebbe dimostrare l'altra inclusione.
@martino
Sembra strano eh? questo fatto ci è stato diciamo raccontato dal prof di strutture algebriche a lezione, ma senza alcuna dimostrazione. MI sono quindi rivolto al forum per vedere se si riesce a dimostrare, sia che per $n!=6$ è proprio $S_n$, che per $n=6$ $Aut(S_6)$ è isomorfo al prodotto semidiretto di $S_n$ per $ZZ//(2ZZ)$, per una qualche azione a me ignota. Non deve essere un problema facile, dato che ce l'ha solo enunciato...
[mod="Martino"]Sistemato gli accenti
[/mod]
"alvinlee88":
Non è detto
, questo è proprio quello che si deve dimostrare. Te hai solo dimostrato che $Int(S_n)$ è contenuto in $Aut(Sn)$. Ora si dovrebbe dimostrare l'altra inclusione.
@martino
Sembra strano eh? questo fatto ci è stato diciamo raccontato dal prof di strutture algebriche a lezione, ma senza alcuna dimostrazione. MI sono quindi rivolto al forum per vedere se si riesce a dimostrare, sia che per $n!=6$ [ proprio $S_n$, che per $n=6$ $Aut(S_6)$ è isomorfo al prodotto semidiretto di $S_n$ per $ZZ//(2ZZ)$, per una qualche azione a me ignota. Non deve essere un problema facile, dato che ce l'ha solo enunciato...
bestiale, le accento sulle e per come le avevi fatte te funzionavano come i dollari
ora si legge meglio 
Ci sono novita' su questo fronte?
Io ci sto ancora pensando.
In realta' e' un fatto di cui faccio uso continuamente (piu' precisamente uso il fatto che $Aut(A_n) = S_n$ se $n ne 2,3,6$) ma non ne ho ancora visto una dimostrazione.
Io ci sto ancora pensando.
In realta' e' un fatto di cui faccio uso continuamente (piu' precisamente uso il fatto che $Aut(A_n) = S_n$ se $n ne 2,3,6$) ma non ne ho ancora visto una dimostrazione.
Qui ci sono novitè, ma non ho ancora avuto il tempo di leggermi ammodo la dimostrazione.
http://www.scienzematematiche.it/forum/ ... ?f=6&t=744
http://www.scienzematematiche.it/forum/ ... ?f=6&t=744
Ho trovato anch'io una dimostrazione, e' abbastanza interessante, ma non pulita come pensavo. Dimostra che ogni automorfismo di $A_n$ che manda $3$-cicli in $3$-cicli e' il coniugio tramite un $g in S_n$, e poi che se $n ge 5$ e $n ne 6$ gli automorfismi di $A_n$ mandano $3$-cicli in $3$-cicli. Per fare questo gioca un po' con gli ordini dei centralizzanti.
Riesumo la discussione: ho avuto modo di pensarci produttivamente.
Diamo per buono che in [tex]S_n[/tex] il centralizzante di un prodotto di [tex]t[/tex] 3-cicli disgiunti ha ordine [tex]3^t \cdot t! \cdot (n-3t)![/tex].
Siccome un automorfismo [tex]\gamma[/tex] di [tex]S_n[/tex] manda il centralizzante di [tex]x[/tex] nel centralizzante di [tex]\gamma(x)[/tex], prendendo per x un 3-ciclo si ottiene una relazione del tipo:
[tex]3 (n-3)! = 3^t \cdot t! \cdot (n-3t)![/tex] (*)
Osservo che se [tex]\gamma[/tex] è interno allora [tex]t=1[/tex]. Mostriamo che [tex]t[/tex] è sempre [tex]1[/tex] a meno che [tex]n=6[/tex].
Dividendo per [tex](n-3t)![/tex] l'uguaglianza (*) diventa:
[tex]\binom{n-3}{n-3t} \cdot (3t-3)! = 3^{t-1} \cdot t![/tex]
In particolare [tex](3t-3)(3t-4)...(t+1) \leq 3^{t-1}[/tex].
Quindi se [tex]t \geq 2[/tex] otteniamo un prodotto di [tex]2t-3[/tex] interi maggiori o uguali di 3 il cui risultato è minore o uguale di [tex]3^{t-1}[/tex], e questo implica [tex]2t-3 \leq t-1[/tex], cioè [tex]t \leq 2[/tex], cioè [tex]t=2[/tex]. Sostituendo in (*) otteniamo proprio [tex]n=6[/tex]. Ecco perché il 6 si comporta così male!
Questo non dimostra che [tex]Aut(S_6) \neq S_6[/tex], ma solo che il 6 potrebbe creare problemi. Andando poi a studiare direttamente [tex]S_6[/tex] si vede che in effetti li crea.
Diamo per buono che in [tex]S_n[/tex] il centralizzante di un prodotto di [tex]t[/tex] 3-cicli disgiunti ha ordine [tex]3^t \cdot t! \cdot (n-3t)![/tex].
Siccome un automorfismo [tex]\gamma[/tex] di [tex]S_n[/tex] manda il centralizzante di [tex]x[/tex] nel centralizzante di [tex]\gamma(x)[/tex], prendendo per x un 3-ciclo si ottiene una relazione del tipo:
[tex]3 (n-3)! = 3^t \cdot t! \cdot (n-3t)![/tex] (*)
Osservo che se [tex]\gamma[/tex] è interno allora [tex]t=1[/tex]. Mostriamo che [tex]t[/tex] è sempre [tex]1[/tex] a meno che [tex]n=6[/tex].
Dividendo per [tex](n-3t)![/tex] l'uguaglianza (*) diventa:
[tex]\binom{n-3}{n-3t} \cdot (3t-3)! = 3^{t-1} \cdot t![/tex]
In particolare [tex](3t-3)(3t-4)...(t+1) \leq 3^{t-1}[/tex].
Quindi se [tex]t \geq 2[/tex] otteniamo un prodotto di [tex]2t-3[/tex] interi maggiori o uguali di 3 il cui risultato è minore o uguale di [tex]3^{t-1}[/tex], e questo implica [tex]2t-3 \leq t-1[/tex], cioè [tex]t \leq 2[/tex], cioè [tex]t=2[/tex]. Sostituendo in (*) otteniamo proprio [tex]n=6[/tex]. Ecco perché il 6 si comporta così male!
Questo non dimostra che [tex]Aut(S_6) \neq S_6[/tex], ma solo che il 6 potrebbe creare problemi. Andando poi a studiare direttamente [tex]S_6[/tex] si vede che in effetti li crea.
Per $S_6$ ecco una dispensa del mio prof
http://www.dm.unipi.it/~gaiffi/Algebra1/Pages/autesterno.pdf
Per il teorema generale ho una dimostrazione davvero carina, se ne trovo il tempo la metto domani...aimè son sotto esami...
http://www.dm.unipi.it/~gaiffi/Algebra1/Pages/autesterno.pdf
Per il teorema generale ho una dimostrazione davvero carina, se ne trovo il tempo la metto domani...aimè son sotto esami...
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