Difficoltà a capire gli insiemi quoziente.
Salve,spero che questa sia la sezione giusta.Oggi,scrivo,per chiedervi un aiuto a capire un argomento(penso un argomento indispensabile,soprattutto quando si studiano i gruppi quoziente e gli anelli quoziente),che non mi è stato molto chiaro circa la teoria degli insiemi:"il quoziente fra due insiemi".Per farvi un esempio se prendessi \( \mathbb{R}/\mathbb{Z} \), per "descrivere questo insieme",lo scriverei così: \( \begin{cases} \forall x\in \mathbb{R} |x=k,\forall k\in \mathbb{Z}\end{cases}\}=\mathbb{Z} \) ,ma che io sappia questo risultato è sbagliato.Se non vi dispiace,potreste spiegarmi come dovrei fare?
Risposte
Cosa intendi con "quoziente fra due insiemi"?
per esempio,intendo che \( \mathbb{Z}/\mathbb{nZ}=\{\forall x,n \in \mathbb{Z}|x=0\mod{n}\} \) .
Come hai definito $\mathbb{Z}//n\mathbb{ZZ}$ e $\mathbb{R}//\mathbb{Z}$ è sbagliato, sono definiti in questo modo
$\mathbb{R}//\mathbb{Z}=\mathbb{R}//{x~y \Leftrightarrow x-y \in \mathbb{Z}}$
$\mathbb{Z}//n\mathbb{ZZ}=\mathbb{Z}//{x~y \Leftrightarrow n|x-y}$
Ho preso l'insieme di partenza ($\mathbb{R}$ e $\mathbb{Z}$ in questo caso) e ci ho definito una certa relazione di equivalenza, ogni relazione di equivalenza partisce l'insieme iniziale in classi di equivalenza che geometricamente vengono identificati in uno stesso punto, per esempio posso identificare $\mathbb{R}//\mathbb{Z}$ come l'intervallo $[0,1)$ infatti gli interi sono rappresentati tutti dal punto $0$ ad esempio.
$\mathbb{R}//\mathbb{Z}=\mathbb{R}//{x~y \Leftrightarrow x-y \in \mathbb{Z}}$
$\mathbb{Z}//n\mathbb{ZZ}=\mathbb{Z}//{x~y \Leftrightarrow n|x-y}$
Ho preso l'insieme di partenza ($\mathbb{R}$ e $\mathbb{Z}$ in questo caso) e ci ho definito una certa relazione di equivalenza, ogni relazione di equivalenza partisce l'insieme iniziale in classi di equivalenza che geometricamente vengono identificati in uno stesso punto, per esempio posso identificare $\mathbb{R}//\mathbb{Z}$ come l'intervallo $[0,1)$ infatti gli interi sono rappresentati tutti dal punto $0$ ad esempio.
grazie,per sapere,nei primo caso,$x,y in ZZ$?
La relazione è definita sull'insieme di partenza $RR$ quindi $x,y \in RR$
ok grazie,ma quindi il quoziente,è costituito dalle coppie di numeri dall'insieme di partenza,che soddisfano la condizione del secondo termine?
Non sono coppie di numeri ma sottoinsiemi disgiunti dell'insieme di partenza. Nel caso di $ZZ//2ZZ$ ad esempio abbiamo la seguente partizione di $ZZ$ nei sottoinsiemi disgiunti $[0]={2n}_{n \in ZZ}$ e $[1]={2n+1}_{n \in ZZ}$.
Ripeto: non anticipare di troppo i tempi, soprattutto non affrontare la guerra se sai usare benino solo la pistola. Te lo dico perché da come parli sembra che ti manchino alcune basi riguardante la teoria degli insiemi (ad esempio come scrivere un insieme).
Ripeto: non anticipare di troppo i tempi, soprattutto non affrontare la guerra se sai usare benino solo la pistola. Te lo dico perché da come parli sembra che ti manchino alcune basi riguardante la teoria degli insiemi (ad esempio come scrivere un insieme).
In realtà ho studiato di recente la teoria degli insiemi ingenua,solo che mi risulta abbastanza difficile da capire,rispetto ad altri argomenti.
Ritornando al discorso di prima,se io invece prendessi come un altro esempio,l'insieme \( \mathbb{Q}/\mathbb{N} \) esso sarebbe l'unione degli insiemi disgiunti tali che $(x-y) in NN$?
Ritornando al discorso di prima,se io invece prendessi come un altro esempio,l'insieme \( \mathbb{Q}/\mathbb{N} \) esso sarebbe l'unione degli insiemi disgiunti tali che $(x-y) in NN$?
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