Diagonale di Cantor.
Supponiamo di costruire 1 insieme infinito e numerabile A ]0;1[.
Prendiamo un altro insieme B che all’inizio sia A= B.
Utilizziamo il metodo “ diagonale di Cantor”
Disponiamo i loro valori in una tabella infinita
f0 f0(0) f0(1) f0(2) . . . f0(i) . . .
f1 f1(0) f1(1) f1(2) . . . f1(i) . . .
f2 f2(0) f2(1) f2(2) . . . f2(i) . . .
...
fi fi (0) fi (1) fi (2) . . . fi (i) . . .
...
Definiamo la funzione g(n) = ￢fn(n)
Possiamo vedere che la funzione gn : N → {V, F} non compare tra le {fi }i_N (nella diagonale). Cioè viene generato un nuovo numero (fu). Questo nuovo numero lo mettiamo nell’insieme B. L’insieme B sarà sempre numerabile. Ripetendo le operazioni g(n) = ￢fn(n) sull’insieme A, al variare di g(n), ricaveremo infiniti (fu) che metteremo sempre nell’insieme B. Utilizziamo cosi operazioni nell’insieme A per trovare numeri nuovi e far vedere che A non è numerabile. Gli stessi valori li mettiamo in B mantenendo sempre la caratteristica che B rimanga numerabile. Cioè creiamo infiniti numeri (reali) ma avremo sempre un insieme numerabile. Cioè la stessa procedura che mi fa dire che l’insieme A non è numerabile mi forma un insieme numerabile in B. Questo concetto mi mette in difficoltà.
Prendiamo un altro insieme B che all’inizio sia A= B.
Utilizziamo il metodo “ diagonale di Cantor”
Disponiamo i loro valori in una tabella infinita
f0 f0(0) f0(1) f0(2) . . . f0(i) . . .
f1 f1(0) f1(1) f1(2) . . . f1(i) . . .
f2 f2(0) f2(1) f2(2) . . . f2(i) . . .
...
fi fi (0) fi (1) fi (2) . . . fi (i) . . .
...
Definiamo la funzione g(n) = ￢fn(n)
Possiamo vedere che la funzione gn : N → {V, F} non compare tra le {fi }i_N (nella diagonale). Cioè viene generato un nuovo numero (fu). Questo nuovo numero lo mettiamo nell’insieme B. L’insieme B sarà sempre numerabile. Ripetendo le operazioni g(n) = ￢fn(n) sull’insieme A, al variare di g(n), ricaveremo infiniti (fu) che metteremo sempre nell’insieme B. Utilizziamo cosi operazioni nell’insieme A per trovare numeri nuovi e far vedere che A non è numerabile. Gli stessi valori li mettiamo in B mantenendo sempre la caratteristica che B rimanga numerabile. Cioè creiamo infiniti numeri (reali) ma avremo sempre un insieme numerabile. Cioè la stessa procedura che mi fa dire che l’insieme A non è numerabile mi forma un insieme numerabile in B. Questo concetto mi mette in difficoltà.
Risposte
Dopo oltre trecento post, potresti usare il MathML?
Scusate se non uso MathMl, ma è già la terza volta che lo carico ma quando apro la finestra per postare mi mostra “errore” e non mi permette di proseguire. Probabilmente ho qualche programma sul PC che va in conflitto.
Comunque tento di descrivere il mio ragionamento che si basa sul metodo usato da Cantor per far vedere la non numerabilità dei numeri reali.
Pertanto utilizziamo il solito insieme infinito e numerabile A ]0;1[.
Prendiamo un altro insieme B e che all’inizio del ragionamento sia A= B.
Utilizziamo il metodo “ diagonale di Cantor”
Disponiamo i loro valori in una tabella infinita
f0 f0(0) f0(1) f0(2) . . . f0(i) . . .
f1 f1(0) f1(1) f1(2) . . . f1(i) . . .
f2 f2(0) f2(1) f2(2) . . . f2(i) . . .
...
fi fi (0) fi (1) fi (2) . . . fi (i) . . .
...
Definiamo la funzione g(n) che opera sul numero ricavato dalla diagonale e avremo così un nuovo numero (fj) che non appartiene ad A. Questo nuovo numero lo mettiamo nell’insieme B. L’insieme B sarà sempre numerabile. Ripetendo le operazioni
g(n) sull’insieme A, al variare di g(n), ricaveremo infiniti (fj) che metteremo sempre nell’insieme B. Cantor con grande maestria inventa la “diagonale” così può intersecare qualsiasi numero indipendentemente dalla lunghezze del numero stesso e dalla grandezza dell’insieme, applica la funzione per generare nuovi numeri che non sono contenuti in A per mostrare che l’ipotesi di partenza era falsa ( cioè che l’insieme fosse numerabile). Se possiamo variare la g(n) e che questa ci possa generare infiniti numeri da mettere in B manterremo sempre la caratteristica di B numerabile. Cioè creiamo infiniti numeri (reali) ma avremo sempre un insieme numerabile. Ecco questo aggiungere all’infinito numeri reali non si arriverebbe ad una contraddizione cioè abbiamo generato un insieme numerabile e che contiene tutti i reali? Questo concetto mi mette in difficoltà.
A.B.
Comunque tento di descrivere il mio ragionamento che si basa sul metodo usato da Cantor per far vedere la non numerabilità dei numeri reali.
Pertanto utilizziamo il solito insieme infinito e numerabile A ]0;1[.
Prendiamo un altro insieme B e che all’inizio del ragionamento sia A= B.
Utilizziamo il metodo “ diagonale di Cantor”
Disponiamo i loro valori in una tabella infinita
f0 f0(0) f0(1) f0(2) . . . f0(i) . . .
f1 f1(0) f1(1) f1(2) . . . f1(i) . . .
f2 f2(0) f2(1) f2(2) . . . f2(i) . . .
...
fi fi (0) fi (1) fi (2) . . . fi (i) . . .
...
Definiamo la funzione g(n) che opera sul numero ricavato dalla diagonale e avremo così un nuovo numero (fj) che non appartiene ad A. Questo nuovo numero lo mettiamo nell’insieme B. L’insieme B sarà sempre numerabile. Ripetendo le operazioni
g(n) sull’insieme A, al variare di g(n), ricaveremo infiniti (fj) che metteremo sempre nell’insieme B. Cantor con grande maestria inventa la “diagonale” così può intersecare qualsiasi numero indipendentemente dalla lunghezze del numero stesso e dalla grandezza dell’insieme, applica la funzione per generare nuovi numeri che non sono contenuti in A per mostrare che l’ipotesi di partenza era falsa ( cioè che l’insieme fosse numerabile). Se possiamo variare la g(n) e che questa ci possa generare infiniti numeri da mettere in B manterremo sempre la caratteristica di B numerabile. Cioè creiamo infiniti numeri (reali) ma avremo sempre un insieme numerabile. Ecco questo aggiungere all’infinito numeri reali non si arriverebbe ad una contraddizione cioè abbiamo generato un insieme numerabile e che contiene tutti i reali? Questo concetto mi mette in difficoltà.
A.B.
Scrivo come ho colto io l'argomentazione di Cantor:
Sia dato un insieme infinito numerabile.
Ma contiene esso tutti i numeri reali? No, perchè ne
possiamo trovare uno, "diagonalizzando", che sia diverso da tutti gli altri.
E questo, come dici tu, lo mettiamo in B, che è appunto, numerabile.
B contiene tutti i reali? No, perchè possiamo
"diagonalizzare" B... e così via. Quello è il passo induttivo, per dire:
Ogni insieme infinito numerabile non contiene tutti i reali.
Ovvero: l'insieme dei reali non è numerabile.
Oppure dico:prendo tutti i numeri che ho diagonalizzando A, che sono infiniti.
Supponiamo che sia un infinito numerabile. Li unisco allora ad A ed ho
un altro insieme, di cardinalità infinito numerabile, che chiamo B.
Ma posso diagonalizzare anche B!
Se ripeto il ragionamento, vedo
che nessun insieme di cardinalità infinito numerabile contiene tutti i reali.
Allora: qualunque insieme numerabile consideri, avrai sempre qualche reale che non vi è incluso.
Oppure potremmo dire, partendo dalla fine, e ragionando per assurdo:
Sia dato l'insieme di tutti i numeri reali. E'numerabile?
faccio l'ipotesi che lo sia. "Diagonalizzando", vedo che esiste almeno 1 numero reale non incluso, il
è contraddittorio con l'ipotesi che si trattasse dell'insieme di tutti i numeri reali. Ergo: non è un insieme numerabile.
Ho svolto l'argomentazione in vario modo, perchè
è difficile non confondersi se si tratta dell'infinito. Proprio perchè non è "finito".
Sia dato un insieme infinito numerabile.
Ma contiene esso tutti i numeri reali? No, perchè ne
possiamo trovare uno, "diagonalizzando", che sia diverso da tutti gli altri.
E questo, come dici tu, lo mettiamo in B, che è appunto, numerabile.
B contiene tutti i reali? No, perchè possiamo
"diagonalizzare" B... e così via. Quello è il passo induttivo, per dire:
Ogni insieme infinito numerabile non contiene tutti i reali.
Ovvero: l'insieme dei reali non è numerabile.
Oppure dico:prendo tutti i numeri che ho diagonalizzando A, che sono infiniti.
Supponiamo che sia un infinito numerabile. Li unisco allora ad A ed ho
un altro insieme, di cardinalità infinito numerabile, che chiamo B.
Ma posso diagonalizzare anche B!
Se ripeto il ragionamento, vedo
che nessun insieme di cardinalità infinito numerabile contiene tutti i reali.
Allora: qualunque insieme numerabile consideri, avrai sempre qualche reale che non vi è incluso.
Oppure potremmo dire, partendo dalla fine, e ragionando per assurdo:
Sia dato l'insieme di tutti i numeri reali. E'numerabile?
faccio l'ipotesi che lo sia. "Diagonalizzando", vedo che esiste almeno 1 numero reale non incluso, il
è contraddittorio con l'ipotesi che si trattasse dell'insieme di tutti i numeri reali. Ergo: non è un insieme numerabile.
Ho svolto l'argomentazione in vario modo, perchè
è difficile non confondersi se si tratta dell'infinito. Proprio perchè non è "finito".
molto chiaro
grazie
A.B.
grazie
A.B.
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