Determinare l'ordine di un gruppo generato da 2 elementi
Ciao a tutti,
sono alle prese con questo esercizio di cui mi sfugge la soluzione
,
Sia $G$ un gruppo generato da due lementi $a$ , $b$, tali che $a^2=b^9=e$, ($e$ elemento neutro) e $ba = ab^8$.
a) Determinare l'ordine di $G$.
b) Determinare gli elementi di ordine $2$.
Francamente non riesco a capire come fare.
E' chiaro che l'ordine di $G$ indica la cardinalità del gruppo. Nel caso esso è generato da due elementi ma ne può contenere più di due, ma quanti?
Grazie
Emanuele
sono alle prese con questo esercizio di cui mi sfugge la soluzione
,Sia $G$ un gruppo generato da due lementi $a$ , $b$, tali che $a^2=b^9=e$, ($e$ elemento neutro) e $ba = ab^8$.
a) Determinare l'ordine di $G$.
b) Determinare gli elementi di ordine $2$.
Francamente non riesco a capire come fare.
E' chiaro che l'ordine di $G$ indica la cardinalità del gruppo. Nel caso esso è generato da due elementi ma ne può contenere più di due, ma quanti?
Grazie
Emanuele
Risposte
daccordo allora io ti chiedo, supponendo di non usufruire di queste preziose regole/formule e concetti legate ai gruppi diedrali, la tua soluzione ovviamente e' di "Trovi tutte le combinazioni possibili dei generatori e usando delle leggi che hai a disposizione deduci quali sono uguali" e a teoria ci siamo! ma se io volessi contestualizzarla in questo esercizio, senza utilizzare le particolarita' dei gruppi diedrali, in sostanza, come si fa a capire quali elementi sono ripetuti?? ho problemi all'atto pratico!
Ok, hai un gruppo generato da due elementi ciclici \(a\) e \(b\), con \(a^2 = id\), \(b^8 = id\).
Quali sono tutti i possibili elementi del gruppo?
\(id, a, b, b^2, \ldots , b^7\)
\(ab, ab^2, \ldots , ab^7\)
\(ba, b^2 a, \ldots, b^7 a\)
e per quanto ne sai fin'ora sono tutti distinti.
Altra restrizione: \(b \cdot a = a \cdot b^8\). Ne deduci quello di cui abbiamo parlato prima e quindi che la seconda e la terza riga contengono gli stessi elementi, quindi eliminiamo la terza.
Si potrebbe avere \(a b^{n_0} = b^{n_1}\) un elemento della prima riga uguale a uno della seconda? Legge della cancellazione:
\(a b^{n_0 - n_1} = id\), impossibile.
Conti il numero di elementi della prima e seconda riga ed è fatta.
NB. ovviamente le ho scritte su righe in modo tale che sicuramente tra gli elementi della stessa riga non ci siano ripetizioni, prendiamo ad esempio la seconda: \(a \cdot b^{n_0} = a \cdot b^{n_1}\) implica \(n_0 = n_1\)(sfrutti sempre la legge della cancellazione per dimostrarlo), quindi niente ripetizioni.
Quali sono tutti i possibili elementi del gruppo?
\(id, a, b, b^2, \ldots , b^7\)
\(ab, ab^2, \ldots , ab^7\)
\(ba, b^2 a, \ldots, b^7 a\)
e per quanto ne sai fin'ora sono tutti distinti.
Altra restrizione: \(b \cdot a = a \cdot b^8\). Ne deduci quello di cui abbiamo parlato prima e quindi che la seconda e la terza riga contengono gli stessi elementi, quindi eliminiamo la terza.
Si potrebbe avere \(a b^{n_0} = b^{n_1}\) un elemento della prima riga uguale a uno della seconda? Legge della cancellazione:
\(a b^{n_0 - n_1} = id\), impossibile.
Conti il numero di elementi della prima e seconda riga ed è fatta.
NB. ovviamente le ho scritte su righe in modo tale che sicuramente tra gli elementi della stessa riga non ci siano ripetizioni, prendiamo ad esempio la seconda: \(a \cdot b^{n_0} = a \cdot b^{n_1}\) implica \(n_0 = n_1\)(sfrutti sempre la legge della cancellazione per dimostrarlo), quindi niente ripetizioni.
"hyoukarou":
Ok, hai un gruppo generato da due elementi ciclici \(a\) e \(b\), con \(a^2 = id\), \(b^8 = id\).
Quali sono tutti i possibili elementi del gruppo?
\(id, a, b, b^2, \ldots , b^7\)
\(ab, ab^2, \ldots , ab^7\)
\(ba, b^2 a, \ldots, b^7 a\)
e per quanto ne sai fin'ora sono tutti distinti.
fin qua ci sono!
"hyoukarou":
Altra restrizione: \(b \cdot a = a \cdot b^8\). Ne deduci quello di cui abbiamo parlato prima e quindi che la seconda e la terza riga contengono gli stessi elementi, quindi eliminiamo la terza.
qui per me e' tutto oscuro!, ovvero, data la restrizione $b a = a b^8$ dici che e' deducibile da quanto detto prima (sui gruppi diedrali) che...ecc ecc, la mia domanda e' proprio inerente a questo!! posso continuare l'esercizio senza utilizzare le particolarita' dei gruppi diedrali? se si come?
Magari esisterà qualche metodo(che io non ho mai usato), ma credo che l'unico metodo elementare per risolverlo sia notare almeno che \(b^t \cdot a = a \cdot b^{n-t}\) e credo che l'obiettivo dell'esercizio fosse proprio questo.
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