Determinare l'ordine di un gruppo generato da 2 elementi
Ciao a tutti,
sono alle prese con questo esercizio di cui mi sfugge la soluzione
,
Sia $G$ un gruppo generato da due lementi $a$ , $b$, tali che $a^2=b^9=e$, ($e$ elemento neutro) e $ba = ab^8$.
a) Determinare l'ordine di $G$.
b) Determinare gli elementi di ordine $2$.
Francamente non riesco a capire come fare.
E' chiaro che l'ordine di $G$ indica la cardinalità del gruppo. Nel caso esso è generato da due elementi ma ne può contenere più di due, ma quanti?
Grazie
Emanuele
sono alle prese con questo esercizio di cui mi sfugge la soluzione
,Sia $G$ un gruppo generato da due lementi $a$ , $b$, tali che $a^2=b^9=e$, ($e$ elemento neutro) e $ba = ab^8$.
a) Determinare l'ordine di $G$.
b) Determinare gli elementi di ordine $2$.
Francamente non riesco a capire come fare.
E' chiaro che l'ordine di $G$ indica la cardinalità del gruppo. Nel caso esso è generato da due elementi ma ne può contenere più di due, ma quanti?
Grazie
Emanuele
Risposte
Beh sicuramente contiene tutti gli elementi $a^i$ e $b^j$ e quella della forma $a^ib^j$. Poichè non sai se il gruppo è abeliano, devo considerare anche quelli del tipo $b^ia^j$ ma attenzione perché in base alla legge di inversione $ba=ab^8$ potrebbero esserci (e ci sono) delle ripetizioni.
PS Conosci il gruppo diedrale?
PS Conosci il gruppo diedrale?
"mistake89":
Beh sicuramente contiene tutti gli elementi $a^i$ e $b^j$ e quella della forma $a^ib^j$. Poichè non sai se il gruppo è abeliano, devo considerare anche quelli del tipo $b^ia^j$ ma attenzione perché in base alla legge di inversione $ba=ab^8$ potrebbero esserci (e ci sono) delle ripetizioni.
PS Conosci il gruppo diedrale?
Non benissimo, so che sono i gruppi formati dalle isometrie del piano. Ma francamente non pensavo fosse necessario conoscerli per risolvere questo esercizio.
"mistake89":
Beh sicuramente contiene tutti gli elementi $a^i$ e $b^j$ e quella della forma $a^ib^j$. Poichè non sai se il gruppo è abeliano, devo considerare anche quelli del tipo $b^ia^j$ ma attenzione perché in base alla legge di inversione $ba=ab^8$ potrebbero esserci (e ci sono) delle ripetizioni.
PS Conosci il gruppo diedrale?
Non so a cosa possa portare, ma notavo che se $ba = ab^(8)$ allora moltiplicando a destra ed a sinistra per $a$ ottengo $b = ab^(8)a$ e quindi
moltiplicando a destra ed a sinistra per $b^8$ ottengo che $ab^(8)ab^(8) = e$
Ma no il fatto è questo. Se il gruppo non è abeliano non è affatto detto che $ab=ba$. Pertanto quando tu vai a moltiplicare i vari elementi $a^ib^j$ non è vero in generale che è uguale a $b^ja^i$, quindi nel considerare gli elementi bisogna considerare quelli moltiplicati a destra e a sinistra.
Se non che si ha che $ba=ab^8$ e quindi quell'elemento compare due volte nella scrittura.
Non so se son stato chiaro.
PS Il gruppo diedrale non ti servi esplicitamente. Ma avresti risolto questo esercizio immediatamente. Infatti piuttosto che scrivere $ab^8ab^8=e$ io scriverei $aba=aba^(-1)=b^8=b^(-1)$.
Se non che si ha che $ba=ab^8$ e quindi quell'elemento compare due volte nella scrittura.
Non so se son stato chiaro.
PS Il gruppo diedrale non ti servi esplicitamente. Ma avresti risolto questo esercizio immediatamente. Infatti piuttosto che scrivere $ab^8ab^8=e$ io scriverei $aba=aba^(-1)=b^8=b^(-1)$.
"mistake89":
Ma no il fatto è questo. Se il gruppo non è abeliano non è affatto detto che $ab=ba$. Pertanto quando tu vai a moltiplicare i vari elementi $a^ib^j$ non è vero in generale che è uguale a $b^ja^i$, quindi nel considerare gli elementi bisogna considerare quelli moltiplicati a destra e a sinistra.
Se non che si ha che $ba=ab^8$ e quindi quell'elemento compare due volte nella scrittura.
Non so se son stato chiaro.
PS Il gruppo diedrale non ti servi esplicitamente. Ma avresti risolto questo esercizio immediatamente. Infatti piuttosto che scrivere $ab^8ab^8=e$ io scriverei $aba=aba^(-1)=b^8=b^(-1)$.
Grazie della risposta Mistake.
D'accordo che non è abeliano, tuttavia mi sfugge ancora qule sia l'ordine del gruppo. Come devo procedere?
Secondo logica dovrei individuare tutti gli elementi del gruppo $G$.
Rileggendo cio che hai scritto, sembra (potrei sbagliare) che l'ordine del gruppo è determinato solo quando ottengo solo un elemento in una delle due parti dell'equazione. E quindi il gruppo sarebbe di ordine $b^8$.
L'ordine devi calcolarlo.
Allora sei d'accordo che ci sono tutti gli elementi del tipo $a^i$? Quanti sono?
Sei d'accordo che ci siano gli elementi del tipo $b^j$ quanti sono?
Inoltre ci sarà $e$ per definizione di gruppo.
Considera ora che per essere stabile devi moltiplicare $a^i$ e $b^j$ tra loro ottenendo altri elementi del tipo $a^ib^j$. E visto che non è abeliano dovremo moltiplicare anche $b^ia^j$.
Ora però su quest'ultimo insieme di elementi devi verificare che non ci siano ripetizioni. Infatti l'elemento $ba=ab^8$ quindi devi "cancellarne" uno, perchè ridondante.
Alla fine conta gli elementi e vedi quanti ne sono in tutto
E' un lavoraccio all'inizio, ma è il modo migliore per capire questa cosa secondo me!
Allora sei d'accordo che ci sono tutti gli elementi del tipo $a^i$? Quanti sono?
Sei d'accordo che ci siano gli elementi del tipo $b^j$ quanti sono?
Inoltre ci sarà $e$ per definizione di gruppo.
Considera ora che per essere stabile devi moltiplicare $a^i$ e $b^j$ tra loro ottenendo altri elementi del tipo $a^ib^j$. E visto che non è abeliano dovremo moltiplicare anche $b^ia^j$.
Ora però su quest'ultimo insieme di elementi devi verificare che non ci siano ripetizioni. Infatti l'elemento $ba=ab^8$ quindi devi "cancellarne" uno, perchè ridondante.
Alla fine conta gli elementi e vedi quanti ne sono in tutto
E' un lavoraccio all'inizio, ma è il modo migliore per capire questa cosa secondo me!
"mistake89":
L'ordine devi calcolarlo.
Allora sei d'accordo che ci sono tutti gli elementi del tipo $a^i$? Quanti sono?
Sei d'accordo che ci siano gli elementi del tipo $b^j$ quanti sono?
Inoltre ci sarà $e$ per definizione di gruppo.
Considera ora che per essere stabile devi moltiplicare $a^i$ e $b^j$ tra loro ottenendo altri elementi del tipo $a^ib^j$. E visto che non è abeliano dovremo moltiplicare anche $b^ia^j$.
Ora però su quest'ultimo insieme di elementi devi verificare che non ci siano ripetizioni. Infatti l'elemento $ba=ab^8$ quindi devi "cancellarne" uno, perchè ridondante.
Alla fine conta gli elementi e vedi quanti ne sono in tutto
E' un lavoraccio all'inizio, ma è il modo migliore per capire questa cosa secondo me!
Vediamo se ho capito.
Innanzitutto l'ordine dell'elemento $a$ è $2$ infatti abbiamo per $a^2 =1$ $1,a$, per lo stesso motivo l'ordine dell'elemento $b$ è $9$. Dai calcoli risulta che l'ordine di $G$ dovrebbe essere $19$. Tale gruppo è completamemente determinato dai seguenti elementi
$1, a, b, b^1, b^2, b^3, b^4, b^5, b^6, b^7, b^8, ba, b^(2)a, b^(3)a, b^(4)a, b^(5)a, b^(6)a, b^(7)a, b^(8)a$.
Per risponeder al quesito 2, credo che gli elementi di ordine $2$ siano $b^2, ba$.
La risposta è esatta, però il calcolo $2x9$ non è immediato. Deriva dalla particolare presentazione del gruppo.
Ti ho detto se non avessimo avuto l'inversione avremmo dovuto considerare altri elementi.
La risposta invece alla seconda domanda è ovviamente sbagliata. Per vari motivi, il primo è lagrange (oltre alla possibilità diretta di fare i calcoli).
Infatti $(b^2)^2=b^4 ne id$ così come $(ba)^2=b^2 ne id$. D'altra parte il sottogruppo generato da $b$ ha esattamente $9$ elementi e quindi l'ordine di un sottogruppo (o di un elemento) deve dividere l'ordine del gruppo e $2$ non divide $9$.
Un elemento di ordine $2$ ce l'hai già. E' scritto lì nella presentazione. E non è difficile mostrare che non ce ne sono altri. Sai dire perchè?
Ti ho detto se non avessimo avuto l'inversione avremmo dovuto considerare altri elementi.
La risposta invece alla seconda domanda è ovviamente sbagliata. Per vari motivi, il primo è lagrange (oltre alla possibilità diretta di fare i calcoli).
Infatti $(b^2)^2=b^4 ne id$ così come $(ba)^2=b^2 ne id$. D'altra parte il sottogruppo generato da $b$ ha esattamente $9$ elementi e quindi l'ordine di un sottogruppo (o di un elemento) deve dividere l'ordine del gruppo e $2$ non divide $9$.
Un elemento di ordine $2$ ce l'hai già. E' scritto lì nella presentazione. E non è difficile mostrare che non ce ne sono altri. Sai dire perchè?
Ciao Mistake, volevo segnalare che dai calcoli mi risulta che l'ordine di $G$ è $19$ e non $18$, infatti ho controllato e tutti gli elementi individuati non sono ripetizione di altri elementi.
Oh almeno mi sembra, ricontrollo.
Oh almeno mi sembra, ricontrollo.
No, hai sicuramente fatto qualche errore. Quella è la presentazione del gruppo $D_9$ che ha esattamente $18$ elementi.
Prova a postare i tuoi 19 elementi e vediamo insieme.
Tra l'altro sempre per lagrange ciò è impossibile. Infatti $$ ha ordine $2$ ed è ovviamente contenuto in $G$ quindi $2$ deve dividere l'ordine di $G$. Se $G$ avesse ordine 19 si avrebbe $2$ non divide $|G|$ e ciò è assurdo.
Analogamente considerando $$
Prova a postare i tuoi 19 elementi e vediamo insieme.
Tra l'altro sempre per lagrange ciò è impossibile. Infatti $$ ha ordine $2$ ed è ovviamente contenuto in $G$ quindi $2$ deve dividere l'ordine di $G$. Se $G$ avesse ordine 19 si avrebbe $2$ non divide $|G|$ e ciò è assurdo.
Analogamente considerando $$
"mistake89":
No, hai sicuramente fatto qualche errore. Quella è la presentazione del gruppo $D_9$ che ha esattamente $18$ elementi.
Prova a postare i tuoi 19 elementi e vediamo insieme.
Tra l'altro sempre per lagrange ciò è impossibile. Infatti $$ ha ordine $2$ ed è ovviamente contenuto in $G$ quindi $2$ deve dividere l'ordine di $G$. Se $G$ avesse ordine 19 si avrebbe $2$ non divide $|G|$ e ciò è assurdo.
Analogamente considerando $$
concordo che è impossibile, infatti l'elemento $a^2$ che ha ordine $2$ genera $G$ e quindi $G$ ha indice pari.
i miei elementi sono nel post precedente.
Ho rifatto i calcoli, e sempre $19$ elementi risultano. essi sono:
$1, a, b, b^1, b^2, b^3, b^4, b^5, b^6, b^7, b^8, ba, b^(2)a, b^(3)a, b^(4)a, b^(5)a, b^(6)a, b^(7)a, b^(8)a$.
Non riesco a capire quale sia l'elemento in più
$1, a, b, b^1, b^2, b^3, b^4, b^5, b^6, b^7, b^8, ba, b^(2)a, b^(3)a, b^(4)a, b^(5)a, b^(6)a, b^(7)a, b^(8)a$.
Non riesco a capire quale sia l'elemento in più
"emanuele78":Forse [tex]b^1=b[/tex]?
Ho rifatto i calcoli, e sempre $19$ elementi risultano. essi sono:
$1, a, b, b^1, b^2, b^3, b^4, b^5, b^6, b^7, b^8, ba, b^(2)a, b^(3)a, b^(4)a, b^(5)a, b^(6)a, b^(7)a, b^(8)a$.
Non riesco a capire quale sia l'elemento in più
"Martino":Forse [tex]b^1=b[/tex]?
[quote="emanuele78"]Ho rifatto i calcoli, e sempre $19$ elementi risultano. essi sono:
$1, a, b, b^1, b^2, b^3, b^4, b^5, b^6, b^7, b^8, ba, b^(2)a, b^(3)a, b^(4)a, b^(5)a, b^(6)a, b^(7)a, b^(8)a$.
Non riesco a capire quale sia l'elemento in più
[/quote]Che stupido, una volta che avevo fatto una cosa giusta
Cmq sempre un grande.
Grazie a tutti e due
"mistake89":
La risposta è esatta, però il calcolo $2x9$ non è immediato. Deriva dalla particolare presentazione del gruppo.
Ti ho detto se non avessimo avuto l'inversione avremmo dovuto considerare altri elementi.
La risposta invece alla seconda domanda è ovviamente sbagliata. Per vari motivi, il primo è lagrange (oltre alla possibilità diretta di fare i calcoli).
Infatti $(b^2)^2=b^4 ne id$ così come $(ba)^2=b^2 ne id$. D'altra parte il sottogruppo generato da $b$ ha esattamente $9$ elementi e quindi l'ordine di un sottogruppo (o di un elemento) deve dividere l'ordine del gruppo e $2$ non divide $9$.
Un elemento di ordine $2$ ce l'hai già. E' scritto lì nella presentazione. E non è difficile mostrare che non ce ne sono altri. Sai dire perchè?
Quindi il solo elemento di ordine $2$ è $a^2 = id$.
Direi che non c'è ne sono altri perchè essendo $18$ l'ordine del gruppo e generato da due elementi uno di ordine $2$ l'altro di ordine $9$, allora esiste solo
un sottogruppo di ordine pari e precisamente $2$ e quindi non ci sono altri elementi di ordine $2$.
L'esercizio mi chiede anche di dedurre dal precedente risultato che tale gruppo $G$ di ordine $18$ non è isomorfo al gruppo $Z_3 X S_3$, beh direi che ciò è
vero in quanto se è pur vero che tale gruppo ha ordine $18$ è anche vero che gli elementi di ordine $2$ in tale ultimo gruppo sono $>1$ e precisamente in
$S_3$ sono presenti i seguenti elementi di ordine $2$ $(1,2);(1,3);(2,3)$
Sì mi sembra una buona argomentazione.
scusate se riesumo questo post ma ho dei problemi a capire come si calcolano le ripetizioni di questo insieme generato da $a$ e $b$:
riscrivo l'insieme ottenuto (cardinalita' 18, con i seguenti elementi, ho tolto la ripetizione $b,b^1$)
$1, a, b^1, b^2, b^3, b^4, b^5, b^6, b^7, b^8, ba, b^(2)a, b^(3)a, b^(4)a, b^(5)a, b^(6)a, b^(7)a, b^(8)a$.
adesso ho 2 domande (di cui probabilmente la uno rispondera' a tutto pero' scrivo anche le altre per completezza, magari c'e' qualche altro concetto che mi sfugge!)
1) come si calcolano le ripetizioni? e quindi come capisco che due elementi sono ripetuti?
2)
da quello che ho capito io come si procede per un calcolo del genere... noi sappiamo che $ba=ab^8$
quindi il calcolo che farei io e':
$(ba)^2 = baba = (ba)ba = (ab^8)ba = a(b^8b)a = a(b^9)a = a(id)a = aa = a^2 = id$
quindi nel mio calcolo (che penso sia sbagliato ma non capisco dove e perche' $(ba)^2 = id$
un'altra cosa OT, ma il mio dubbio era meglio che lo esprimessi aprendo un altro post su forum, oppure va bene che abbia scritto su questo post?
riscrivo l'insieme ottenuto (cardinalita' 18, con i seguenti elementi, ho tolto la ripetizione $b,b^1$)
$1, a, b^1, b^2, b^3, b^4, b^5, b^6, b^7, b^8, ba, b^(2)a, b^(3)a, b^(4)a, b^(5)a, b^(6)a, b^(7)a, b^(8)a$.
adesso ho 2 domande (di cui probabilmente la uno rispondera' a tutto pero' scrivo anche le altre per completezza, magari c'e' qualche altro concetto che mi sfugge!)
1) come si calcolano le ripetizioni? e quindi come capisco che due elementi sono ripetuti?
2)
"mistake89":perche'?
così come $(ba)^2=b^2 ne id$.
da quello che ho capito io come si procede per un calcolo del genere... noi sappiamo che $ba=ab^8$
quindi il calcolo che farei io e':
$(ba)^2 = baba = (ba)ba = (ab^8)ba = a(b^8b)a = a(b^9)a = a(id)a = aa = a^2 = id$
quindi nel mio calcolo (che penso sia sbagliato ma non capisco dove e perche' $(ba)^2 = id$
un'altra cosa OT, ma il mio dubbio era meglio che lo esprimessi aprendo un altro post su forum, oppure va bene che abbia scritto su questo post?
Ottimo!
Un paio di osservazioni: come hanno già detto, si tratta del gruppo diedrale \(D_9\).
Nel testo c'è scritto che si ha \(b a = a b^8\), volendo puoi generalizzare in \(b^n a = a b^{9-n}\).
1)Come capisco se due elementi sono ripetuti?
Li confronti ed arrivi ad un'identità. Ad esempio se hai \(b^4 a\) e \(a b^5\) noti subito che sono lo stesso elemento.
2) Hai perfettamente ragione. Nei gruppi diedrali tutte le riflessioni(che sono della forma \(b^n a\)) hanno ordine due, quindi ci sono ben 9 elementi con tale proprietà.
A te la dimostrazione formale!
(Parti da \((b^n a)^2\) e arriva ad \(id\), non è difficile usando le regole sopraccitate).
Un paio di osservazioni: come hanno già detto, si tratta del gruppo diedrale \(D_9\).
Nel testo c'è scritto che si ha \(b a = a b^8\), volendo puoi generalizzare in \(b^n a = a b^{9-n}\).
1)Come capisco se due elementi sono ripetuti?
Li confronti ed arrivi ad un'identità. Ad esempio se hai \(b^4 a\) e \(a b^5\) noti subito che sono lo stesso elemento.
2) Hai perfettamente ragione. Nei gruppi diedrali tutte le riflessioni(che sono della forma \(b^n a\)) hanno ordine due, quindi ci sono ben 9 elementi con tale proprietà.
A te la dimostrazione formale!
(Parti da \((b^n a)^2\) e arriva ad \(id\), non è difficile usando le regole sopraccitate).
allora intanto ti ringrazio davvero di cuore perche' sto entrando nel pallone,
pero' ti dico ho ancora molti dubbi. soprattutto perche' il mio esame trattera' solo in maniera preliminare la teoria dei gruppi (molti argomenti sono omessi, devo dare l'esame di algebra informatica, ti dico che addirittura non trattiamo neanche gli anelli nel corso) e ti dico non ho mai sentito parlare a lezione di gruppo diedrale! quindi ti chiedo scusa ma non capisco/conosco assolutamente questa generalizzazione $b^n a=a b^(9−n)$ posso chiederti una spiegazione un po' piu' "banale" del procedimento da utilizzare per risolvere un quesito del genere? in particolare non riesco a notare che $b^4 a$ e $a b^5$ sono lo stesso elemento! posso chiederti un metodo un po' piu' "meccanico" che io possa adottare anche per tutti gli altri elementi?
edito per aggiungere, daccordo utilizzando quella generalizzazione si nota tutto subito, ma prendendo in considerazione che puo' capitarmi (suppongo) un esercizio del genere all'esame, e io non abbia fatto i gruppi diedrali, qual'e' il metodo "elementare" o "meccanico" che sia, per riuscire a risolvere questa parte dell'esercizio(appunto capire quali sono gli elementi ripetuti)?
pero' ti dico ho ancora molti dubbi. soprattutto perche' il mio esame trattera' solo in maniera preliminare la teoria dei gruppi (molti argomenti sono omessi, devo dare l'esame di algebra informatica, ti dico che addirittura non trattiamo neanche gli anelli nel corso) e ti dico non ho mai sentito parlare a lezione di gruppo diedrale! quindi ti chiedo scusa ma non capisco/conosco assolutamente questa generalizzazione $b^n a=a b^(9−n)$ posso chiederti una spiegazione un po' piu' "banale" del procedimento da utilizzare per risolvere un quesito del genere? in particolare non riesco a notare che $b^4 a$ e $a b^5$ sono lo stesso elemento! posso chiederti un metodo un po' piu' "meccanico" che io possa adottare anche per tutti gli altri elementi?
edito per aggiungere, daccordo utilizzando quella generalizzazione si nota tutto subito, ma prendendo in considerazione che puo' capitarmi (suppongo) un esercizio del genere all'esame, e io non abbia fatto i gruppi diedrali, qual'e' il metodo "elementare" o "meccanico" che sia, per riuscire a risolvere questa parte dell'esercizio(appunto capire quali sono gli elementi ripetuti)?
Pensavo avessi già letto qualcosa a riguardo, provo a sintetizzarti quello che ricordo:
Come puoi trovare scritto qua, i gruppi diedrali sono una particolare classe di gruppi che rappresentano le isometrie(rotazioni e riflessioni) di un poligono regolare.
Prendiamo ad esempio un quadrato: abbiamo quattro rotazioni che lasciano il poligono immutato: lo puoi rotare di 90°, 180°, 270° e 360°=0°, e hai anche quattro riflessioni due rispetto alle diagonali e due rispetto agli assi dei segmenti(trovi dei disegni sui pentagoni nella pagina di wikipedia).
In generale se hai un n-agono regolare hai \(n\) rotazioni e \(n\) riflessioni e questi elementi formano un gruppo rispetto alla composizione(in particolare rotazione composto rotazione = rotazione, rotazione composto riflessione = riflessione composto rotazione = riflessione, riflessione composto riflessione = riflessione). Com'è scritto basta una sola rotazione e una sola riflessione per rappresentare tutte le altre.
La bellezza dell'algebra sta nell'astrazione. Un gruppo diedrale viene definito come:
\(D_n = \{r, s \mid r^n = 1, s^2 = 1, r \cdot s = s \cdot r^{n-1}\} = \{id, r, r^2, \ldots, s, s r, sr^2, \ldots\}\)
dove \(r\) potrebbe rappresentare una rotazione di \(\frac{2 \pi}{n}\) radianti e \(s\) la simmetria rispetto ad un determinato punto, ma potrebbero essere qualsiasi altra cosa, a noi non importa più cosa rappresentano concretamente, abbiamo solo delle leggi e vogliamo giocare con quelle.
Ti lascio come esercizio(e devi farlo) di dimostrare per induzione che in \(D_n\) si ha \(r^a \cdot s = s \cdot r^{n-a}\).
Sai che è vero per \(a = 1\), dimostra che \(P(a) \rightarrow P(a+1)\) ed hai concluso.
Piccola nota(a questo punto puoi odiarmi): grafi di cayley.
Riportiamo il grafo di cayley di \(D_4\):
[img]http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/58/Cayley_Graph_of_Dihedral_Group_D4.svg[/img]
I nodi rappresentano gli elementi del gruppo, la freccia rossa il prodotto a sinistra per \(a\)(che in questo caso è la rotazione, nota che è undirezionale) e la linea blu il prodotto a sinistra per \(b\)(che è la riflessione, nota che è bidirezionale).
Ora vedi subito che \(a^3 b = b a\): parti da \(e\)(che sarebbe l'identità) e segui tre volte la freccia rossa, poi passi per la blu ed arrivi all'elemento in basso a destra. Parti sempre da \(e\), passi per la blu e poi per la rossa: arrivi allo stesso elemento!
In questo esercizio siamo stati fortunati perché era davvero semplice capire che si trattava di un gruppo diedrale, ma ne esistono molti altri e non saremo sempre così fortunati. Che fare allora?
Trovi tutte le combinazioni possibili dei generatori e usando delle leggi che hai a disposizione deduci quali sono uguali).
Ma non ti preoccupare, se ti daranno un esercizio del genere all'esame sarà qualcosa di abbastanza ovvio, non ti sarà mai necessario tirare fuori un algoritmo per risolvere brutalmente i problemi.
E non ti preoccupare se impieghi molto ad assimilare i concetti, è così per tutti, solo che dopo che entri nella logica ti sembrano una cavolata, e per far ciò devi fare esercizi e sudare un po'.
Come puoi trovare scritto qua, i gruppi diedrali sono una particolare classe di gruppi che rappresentano le isometrie(rotazioni e riflessioni) di un poligono regolare.
Prendiamo ad esempio un quadrato: abbiamo quattro rotazioni che lasciano il poligono immutato: lo puoi rotare di 90°, 180°, 270° e 360°=0°, e hai anche quattro riflessioni due rispetto alle diagonali e due rispetto agli assi dei segmenti(trovi dei disegni sui pentagoni nella pagina di wikipedia).
In generale se hai un n-agono regolare hai \(n\) rotazioni e \(n\) riflessioni e questi elementi formano un gruppo rispetto alla composizione(in particolare rotazione composto rotazione = rotazione, rotazione composto riflessione = riflessione composto rotazione = riflessione, riflessione composto riflessione = riflessione). Com'è scritto basta una sola rotazione e una sola riflessione per rappresentare tutte le altre.
La bellezza dell'algebra sta nell'astrazione. Un gruppo diedrale viene definito come:
\(D_n = \{r, s \mid r^n = 1, s^2 = 1, r \cdot s = s \cdot r^{n-1}\} = \{id, r, r^2, \ldots, s, s r, sr^2, \ldots\}\)
dove \(r\) potrebbe rappresentare una rotazione di \(\frac{2 \pi}{n}\) radianti e \(s\) la simmetria rispetto ad un determinato punto, ma potrebbero essere qualsiasi altra cosa, a noi non importa più cosa rappresentano concretamente, abbiamo solo delle leggi e vogliamo giocare con quelle.
Ti lascio come esercizio(e devi farlo) di dimostrare per induzione che in \(D_n\) si ha \(r^a \cdot s = s \cdot r^{n-a}\).
Sai che è vero per \(a = 1\), dimostra che \(P(a) \rightarrow P(a+1)\) ed hai concluso.
Piccola nota(a questo punto puoi odiarmi): grafi di cayley.
Riportiamo il grafo di cayley di \(D_4\):
[img]http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/58/Cayley_Graph_of_Dihedral_Group_D4.svg[/img]
I nodi rappresentano gli elementi del gruppo, la freccia rossa il prodotto a sinistra per \(a\)(che in questo caso è la rotazione, nota che è undirezionale) e la linea blu il prodotto a sinistra per \(b\)(che è la riflessione, nota che è bidirezionale).
Ora vedi subito che \(a^3 b = b a\): parti da \(e\)(che sarebbe l'identità) e segui tre volte la freccia rossa, poi passi per la blu ed arrivi all'elemento in basso a destra. Parti sempre da \(e\), passi per la blu e poi per la rossa: arrivi allo stesso elemento!
In questo esercizio siamo stati fortunati perché era davvero semplice capire che si trattava di un gruppo diedrale, ma ne esistono molti altri e non saremo sempre così fortunati. Che fare allora?
Trovi tutte le combinazioni possibili dei generatori e usando delle leggi che hai a disposizione deduci quali sono uguali).
Ma non ti preoccupare, se ti daranno un esercizio del genere all'esame sarà qualcosa di abbastanza ovvio, non ti sarà mai necessario tirare fuori un algoritmo per risolvere brutalmente i problemi.
E non ti preoccupare se impieghi molto ad assimilare i concetti, è così per tutti, solo che dopo che entri nella logica ti sembrano una cavolata, e per far ciò devi fare esercizi e sudare un po'.
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