Descrizione insieme delle parti
Cari tutti, non capisco come l'insieme delle parti può essere definito da una finzione come segue:
ς :{0,1}^X ->P(X)
Grazie
ς :{0,1}^X ->P(X)
Grazie
Risposte
Perché ogni elemento o è o non è in un dato sottoinsieme.
Bhé, prima di discutere di qualcosa bisogna capire (tu lo devi capire) con che oggetti si ha a che fare. Vediamo...
Abbiamo una funzione un po' strana nel senso che è po' diversa dalle "usuali" \[\zeta \colon \{0,1\}^X \to \mathcal P(X)\,.\] Cos'è \(\{0,1\}^X\)? L'hai capito? Se no, è l'insieme delle funzioni da \(X\) in \(\{0,1\}\). La funzione che tu cerchi è così descritta: \(\zeta\) manda una funzione \(f \colon X \to \{0,1\}\) verso l'insieme \[\{x \in X \mid f(x)=1\} \in \mathcal P(X)\,.\] Data la tua perplessità su questa cosa, è bene che spenda qualche parola per spiegarti l'idea di fondo. Perché chiamare in causa un insieme di morfismi come dominio? Perché in un certo senso si pensa di veicolare il concetto di appartenenza in questo maniera: incominciamo col prendere una funzione \(f \colon X \to \{0,1\}\) e a pensare così
(Meta)esercizio. È proprio importante avere \(0\) e \(1\)? La scelta di questi due oggetti influisice in qualche modo? Posso invertirrne i ruoli? Posso scegliere altri oggetti? Perché "devono" essere due?
Abbiamo una funzione un po' strana nel senso che è po' diversa dalle "usuali" \[\zeta \colon \{0,1\}^X \to \mathcal P(X)\,.\] Cos'è \(\{0,1\}^X\)? L'hai capito? Se no, è l'insieme delle funzioni da \(X\) in \(\{0,1\}\). La funzione che tu cerchi è così descritta: \(\zeta\) manda una funzione \(f \colon X \to \{0,1\}\) verso l'insieme \[\{x \in X \mid f(x)=1\} \in \mathcal P(X)\,.\] Data la tua perplessità su questa cosa, è bene che spenda qualche parola per spiegarti l'idea di fondo. Perché chiamare in causa un insieme di morfismi come dominio? Perché in un certo senso si pensa di veicolare il concetto di appartenenza in questo maniera: incominciamo col prendere una funzione \(f \colon X \to \{0,1\}\) e a pensare così
\(f(x)=1\) per dire che "prendo \(x\)"
\(f(x)=0\) per dire che "non prendo \(x\)".
L'idea è di raccogliere gli elementi mandati in \(1\) da \(f\) e di individuare in \(X\) un sottosinsieme in cui trovare tutti e soli questi elementi[nota]Lo troverò un siffatto sottoininsieme in \(X\)? Sì, grazie all'assioma di comprensione limitata. Ma se non sei stato introdotto all'insiemistica, fa niente. Giusto per abituarsi a farsi domande...[/nota]. E così via per tutte le altri funzioni \(X \to \{0,1\}\).\(f(x)=0\) per dire che "non prendo \(x\)".
(Meta)esercizio. È proprio importante avere \(0\) e \(1\)? La scelta di questi due oggetti influisice in qualche modo? Posso invertirrne i ruoli? Posso scegliere altri oggetti? Perché "devono" essere due?
Personalmente trovo molto più "naturale" la funzione \( \zeta^{-1} \colon \wp(X) \to \{0,1\}^X \). Ovvero la funzione definita come \( \zeta^{-1}\colon S \mapsto \delta_S \) dove \(\delta_S\) è definita come \[\delta_S(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x\in S \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}\]
La funzione a cui fai riferimento è semplicemente la sua inversa.
La funzione a cui fai riferimento è semplicemente la sua inversa.
Grazie mille Indrjo Dedej , molto chiaro, sto studianto per l'esame di Algebra 1 da lavoratore, quindi mi devo arrangiare da solo.
Perche' associamo a ζ:{0,1} X →P(X) anche f ↦ f^(-1){1}?
Scusate se chiedo cose banali.
Simone
Perche' associamo a ζ:{0,1} X →P(X) anche f ↦ f^(-1){1}?
Scusate se chiedo cose banali.
Simone
"Indrjo Dedej":
La funzione che tu cerchi è così descritta: \(\zeta\) manda una funzione \(f \colon X \to \{0,1\}\) verso l'insieme \[\{x \in X \mid f(x)=1\} \in \mathcal P(X)\,.\]
Te l'ho scritto qui: cos'è \(\{x \in X \mid f(x)=1\}\)? Proprio \(f^{-1}(\{1\})\). Dire \[\zeta \colon \{0,1\}^X \to \mathcal P(X),\quad f \to f^{-1}(\{1\})\] è solo un modo molto laconico. Io ti ho solo "espanso" la definizione di \(\zeta\) e spiegato l'idea che ci sta dietro.
Cioe' f^(-1)({1}) manda l'insieme contenente l'elemento 1 in X?
Grazie
Grazie
"Indrjo Dedej":
(Meta)esercizio. È proprio importante avere \(0\) e \(1\)? La scelta di questi due oggetti influisice in qualche modo? Posso invertirrne i ruoli? Posso scegliere altri oggetti? Perché "devono" essere due?
Credo che tu debba avere almeno 0 e 1 per poter dire dare la stessa definizione; 0 è il valore la cui controimmagine dice che un elemento non sta in $A$; 1 il valore che dice che un elemento sta in $A$: ma cosa succede se un elemento sta in $A$ "un po'?" Può starci "un po'?"
"SimoneColombelli76":
Cioe' f^(-1)({1}) manda l'insieme contenente l'elemento 1 in X?
Mi sembra che f^(-1)({1}) sia un insieme, non una funzione, quindi dire che "manda" è sbagliato! No?
Che bella la teoria degli insiemi!
"SimoneColombelli76":
Cioe' f^(-1)({1}) manda l'insieme contenente l'elemento 1 in X?
sì... Precisamente \(f^{-1}(\{1\})\) è l'insieme di oggetti del dominio di \(f\), vale a dire \(X\), che vengono mandati verso \(1\).
"solaàl":
Mi sembra che \(f^{-1}(\{1\}) sia un insieme, non una funzione, quindi dire che "manda" è sbagliato! No?
Che bella la teoria degli insiemi!
Ogni cosa[nota]Per lo meno nella versione naive della teoria degli insiemi, ma qui non entrerei nelle varie considerazioni assiomatiche della teoria degli insiemi[/nota] è un insieme dal punto di vista della teoria degli insiemi. Quindi, per certi versi, ogni funzione manda insiemi in insiemi.
In ogni caso, per ogni funzione \(f\colon X\to Y\) stai definendo la funzione contro-immagine \(f^{-1}\colon \wp(Y) \to \wp(X)\) come \(f^{-1}\colon S \mapsto \{ x\in X : f(x) \in S \}\). Quindi, è perfettamente legittimo dire che \(f^{-1}\) manda il singoletto \(\{1\}\) in qualche sottoinsieme di \(X\). Non pensi?
"vict85":
Ogni cosa è un insieme dal punto di vista della teoria degli insiemi. Quindi, per certi versi, ogni funzione manda insiemi in insiemi.
Scusa ma... quali sono gli elementi di $\pi$?
In ogni caso, per ogni funzione \(f\colon X\to Y\) stai definendo la funzione contro-immagine \(f^{-1}\colon \wp(Y) \to \wp(X)\) come \(f^{-1}\colon S \mapsto \{ x\in X : f(x) \in S \}\). Quindi, è perfettamente legittimo dire che \(f^{-1}\) manda il singoletto \(\{1\}\) in qualche sottoinsieme di \(X\). Non pensi?
Ma non è questo quello che c'è scritto! C'è scritto \(f^{-1}(\{1\})\), che è un insieme; \(f^{-1}\) è la funzione, \(f^{-1}(\{1\})\) l'immagine di un insieme mediante la funzione; anche se tutto (?!?!) è un insieme queste due cose dovrebbero restare separate. No?
"solaàl":Devi dirmelo tu.
ma cosa succede se un elemento sta in A "un po'?" Può starci "un po'?"
0 e 1 sono solo dei segnaposto, potrei prendere qualsiasi altra coppia di elementi; e per definire che \(a\in A\) "un po'" dovrei avere una funzione da $S$ sottoinsieme di $A$ ai valori di appartenenza, che associa ad ogni elemento di $S$ il valore di "quanto" $a$ sta in $S$; 0 se non ci sta, 1 se ci sta, e qualcosa in mezzo se ci sta un po'. No?
Grazie Mille Indrjo Dedej !
"solaàl":
[quote="vict85"]Ogni cosa è un insieme dal punto di vista della teoria degli insiemi. Quindi, per certi versi, ogni funzione manda insiemi in insiemi.
Scusa ma... quali sono gli elementi di $\pi$?[/quote]
Per prima cosa, se guardi alle costruzioni dei numeri reali, molte definiscono i suoi elementi come insiemi o a partire da insiemi ( vedi per esempio https://it.wikipedia.org/wiki/Costruzio ... meri_reali ). Gli stessi numeri razionali sono classi di equivalenza su \(\mathbb{N}\times(\mathbb{N}\setminus \{0\})\).
Detto questo, il mio punto è che per la teoria degli insiemi non ha alcuna importanza se un elemento di un insieme sia un insieme oppure sia un qualcosa di diverso. La teoria degli insiemi non si chiede mai cosa siano le cose ma solo il loro rapporto di appartenenza. Questo non è solo vero nella teoria degli insiemi, tutta la matematica si basa sulle proprietà che gli oggetti hanno e non sul loro significato. Per esempio, una palla aperta in geometria differenziale è l'insieme di tutti i punti che distano meno di una certa distanza da un punto dato. Per la geometria differenziale non ha importanza se la palla aperta sia o meno a forma di palla, per esempio potrebbe essere cubica. Lo stesso vale per la teoria degli insiemi, quello che conta è che \(x\in X\), non ha alcuna importanza se \(x\) è o meno un insieme esso stesso.
"solaàl":
[quote="vict85"]
In ogni caso, per ogni funzione \(f\colon X\to Y\) stai definendo la funzione contro-immagine \(f^{-1}\colon \wp(Y) \to \wp(X)\) come \(f^{-1}\colon S \mapsto \{ x\in X : f(x) \in S \}\). Quindi, è perfettamente legittimo dire che \(f^{-1}\) manda il singoletto \(\{1\}\) in qualche sottoinsieme di \(X\). Non pensi?
Ma non è questo quello che c'è scritto! C'è scritto \(f^{-1}(\{1\})\), che è un insieme; \(f^{-1}\) è la funzione, \(f^{-1}(\{1\})\) l'immagine di un insieme mediante la funzione; anche se tutto (?!?!) è un insieme queste due cose dovrebbero restare separate. No?
[/quote]
Mi sfugge cosa dovrebbe essere separato? \(f^{-1}(\{1\})\) è un insieme che è un elemento di \(\wp(X)\) e \(f^{-1}\) è una funzione la cui immagine è in \(\wp(X)\).
"vict85":
[quote="solaàl"][quote="vict85"]Ogni cosa è un insieme dal punto di vista della teoria degli insiemi. Quindi, per certi versi, ogni funzione manda insiemi in insiemi.
Scusa ma... quali sono gli elementi di $\pi$?[/quote]
Per prima cosa, se guardi alle costruzioni dei numeri reali, molte definiscono i suoi elementi come insiemi o a partire da insiemi ( vedi per esempio https://it.wikipedia.org/wiki/Costruzio ... meri_reali ). Gli stessi numeri razionali sono classi di equivalenza su \(\mathbb{N}\times(\mathbb{N}\setminus \{0\})\).
[/quote]
Mi sembra ovvio, se ogni cosa è un insieme sarà un insieme anche $\pi$; ti ho infatti chiesto di dirmi chi sono i suoi elementi. Credo che la gente all'atto pratico poi usi teorie dove ci sono degli "atomi". Mi sembra solo scorretto considerare "$A in X$" come una proposizione, invece che come una proprietà di $X$.
"solaàl":
[quote="vict85"]
In ogni caso, per ogni funzione \(f\colon X\to Y\) stai definendo la funzione contro-immagine \(f^{-1}\colon \wp(Y) \to \wp(X)\) come \(f^{-1}\colon S \mapsto \{ x\in X : f(x) \in S \}\). Quindi, è perfettamente legittimo dire che \(f^{-1}\) manda il singoletto \(\{1\}\) in qualche sottoinsieme di \(X\). Non pensi?
Ma non è questo quello che c'è scritto! C'è scritto \(f^{-1}(\{1\})\), che è un insieme; \(f^{-1}\) è la funzione, \(f^{-1}(\{1\})\) l'immagine di un insieme mediante la funzione; anche se tutto (?!?!) è un insieme queste due cose dovrebbero restare separate. No?
Mi sfugge cosa dovrebbe essere separato? \(f^{-1}(\{1\})\) è un insieme che è un elemento di \(\wp(X)\) e \(f^{-1}\) è una funzione la cui immagine è in \(\wp(X)\).[/quote]
C'era scritto che \(f^{-1}(\{1\})\) manda qualcuno in qualcun altro; questo è sbagliato, \(f^{-1}(\{1\})\) è già "saturato" con un valore, la funzione che manda qualcuno in qualcun altro è \(f^{-1}\)
Non volevo scatenare questo putiferio...
Semplicemente non capivo come si potesse descrivere l'insieme delle parti come :
{0,1}^X -> P(X)
in maniera molto semplice.
Semplicemente non capivo come si potesse descrivere l'insieme delle parti come :
{0,1}^X -> P(X)
in maniera molto semplice.
Scusate se prendo parte alla discussione da principiante, ma secondo voi tra $ P(X) $e ${0,1}^X$ si puó definire una biezione cosí:
Definiamo
$f:P(X)→{0,1}^X$
$ f(α)=g_α $ dove $ α∈P(X) $ e
$g_α:X→{0,1}$ é definita da
$g_α(x)= { ( 1, x∈α ),( 0, x∈X−α ):} $
La funzione é ben definita:
supponiamo che $ α,β∈P(X)$. Se $α=β$ allora corrispondono allo stesso insieme e cosí corrispondono alla stessa funzione, quindi entrambe $ g_ α$ e $ g_ β$ mandano quell' insieme a $1$ e $X -$ quell' insieme a $0$
Se noi abbiamo una funzione $g_α ∈{0,1}$, allora $α$ é un insieme in $X $ che viene mandato in $1$. Ma dato che $ P(X)$ é l'insieme delle parti di $X$, noi dobbiamo avere che $ α∈P(X)$. Cosí la funzione é suriettiva.
Infine $g_α=g_β$ allora entrambe $g_α$ e $g_β$ mandano l'insieme $α$ o $β$ a $1$. Cosí $α$ e $β$ devono essere lo stesso insieme. La funzione é anche iniettiva e quindi biettiva.
La funzione inversa é $f^(−1):{0,1}^X→P(X)$ dove $ f^(−1)(g_α)=α$
Partendo anche dall'inversa si puó definire una funzione biettiva.
Definiamo
$f:P(X)→{0,1}^X$
$ f(α)=g_α $ dove $ α∈P(X) $ e
$g_α:X→{0,1}$ é definita da
$g_α(x)= { ( 1, x∈α ),( 0, x∈X−α ):} $
La funzione é ben definita:
supponiamo che $ α,β∈P(X)$. Se $α=β$ allora corrispondono allo stesso insieme e cosí corrispondono alla stessa funzione, quindi entrambe $ g_ α$ e $ g_ β$ mandano quell' insieme a $1$ e $X -$ quell' insieme a $0$
Se noi abbiamo una funzione $g_α ∈{0,1}$, allora $α$ é un insieme in $X $ che viene mandato in $1$. Ma dato che $ P(X)$ é l'insieme delle parti di $X$, noi dobbiamo avere che $ α∈P(X)$. Cosí la funzione é suriettiva.
Infine $g_α=g_β$ allora entrambe $g_α$ e $g_β$ mandano l'insieme $α$ o $β$ a $1$. Cosí $α$ e $β$ devono essere lo stesso insieme. La funzione é anche iniettiva e quindi biettiva.
La funzione inversa é $f^(−1):{0,1}^X→P(X)$ dove $ f^(−1)(g_α)=α$
Partendo anche dall'inversa si puó definire una funzione biettiva.
@Alin: Ho segnalato quella descrizione nella prima pagina. È semplicemente l'inversa di quella segnalata all'inizio.
"SimoneColombelli76":
Non volevo scatenare questo putiferio...
Semplicemente non capivo come si potesse descrivere l'insieme delle parti come :
{0,1}^X -> P(X)
in maniera molto semplice.
E lo hai capito?
"solaàl":
Mi sembra ovvio, se ogni cosa è un insieme sarà un insieme anche $\pi$; ti ho infatti chiesto di dirmi chi sono i suoi elementi. Credo che la gente all'atto pratico poi usi teorie dove ci sono degli "atomi". Mi sembra solo scorretto considerare "$A in X$" come una proposizione, invece che come una proprietà di $X$.
Questo discorso sta tendendo un po' troppo verso la logica matematica, e quindi per la risposta si dovrebbe abbandonare la teoria degli insiemi naive e andare in quella assiomatica. Personalmente, dal punto di vista dalla logica matematica, non saprei dire in cosa consista la differenza tra proposizione e proprietà. Penso che non ce ne siano, insomma che una proprietà non sia altro che una proposizione vera su quell'oggetto.
"solaàl":
C'era scritto che \(f^{-1}(\{1\})\) manda qualcuno in qualcun altro; questo è sbagliato, \(f^{-1}(\{1\})\) è già "saturato" con un valore, la funzione che manda qualcuno in qualcun altro è \(f^{-1}\)
Ok, ci siamo fraintesi alla grande mi sa
Si certo, hai ragione. Nella pratica però non è così raro sentirlo dire.
"SimoneColombelli76":Pensa io!
Non volevo scatenare questo putiferio...
Non mi apsettavo una reazione così, anche se mi fa piacere 
. Comunque hai capito come funziona la funzione? (scusa il gioco di parole...)@solaàl, click!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo