Derivato di un gruppo
Studiando un esempio sui gruppi derivati mi sorgono tre dubbi:
1)Indicando con $G^{\prime}$ il derivato di un gruppo G, come potrei dimostrare che $(S_5)^{\prime} \subseteq A_5$? (dove $S_5$ e $A_5$ sono rispettivamente il gruppo di permutazioni su 5 oggetti e il suo sottogruppo delle permutazioni pari).
Cioè mi chiedo: $\forall \alpha,\beta \in S_5$ come mai $\alpha^{-1}\beta^{-1}\alpha\beta$(elemento generico del derivato del gruppo $S_5$) è certamente una permutazione pari?
2) $(S_5)^{\prime} \subseteq A_5$ assieme a $(S_5)^{\prime}$ normale in $S_5$ implica che $(S_5)^{\prime}$ normale in $A_5$?
3)Come si può vedere che $A_5$ è un gruppo semplice (cioè le sue uniche congruenze sono quelle banali, il che vale a dire, nei gruppi, che gli unici suoi sottogruppi normali sono l'identità e tutto $A_5$?
Grazie tante a chi riesce a rispondermi!
1)Indicando con $G^{\prime}$ il derivato di un gruppo G, come potrei dimostrare che $(S_5)^{\prime} \subseteq A_5$? (dove $S_5$ e $A_5$ sono rispettivamente il gruppo di permutazioni su 5 oggetti e il suo sottogruppo delle permutazioni pari).
Cioè mi chiedo: $\forall \alpha,\beta \in S_5$ come mai $\alpha^{-1}\beta^{-1}\alpha\beta$(elemento generico del derivato del gruppo $S_5$) è certamente una permutazione pari?
2) $(S_5)^{\prime} \subseteq A_5$ assieme a $(S_5)^{\prime}$ normale in $S_5$ implica che $(S_5)^{\prime}$ normale in $A_5$?
3)Come si può vedere che $A_5$ è un gruppo semplice (cioè le sue uniche congruenze sono quelle banali, il che vale a dire, nei gruppi, che gli unici suoi sottogruppi normali sono l'identità e tutto $A_5$?
Grazie tante a chi riesce a rispondermi!
Risposte
1) Basta che ricordi che il segno di un prodotto di permutazioni è il prodotto dei segni e che ogni permutazione ha lo stesso segno della sua inversa.
2) Sì.
3) Un modo è dimostrare che nessuna unione di classi di coniugio di [tex]A_5[/tex] (che sia diversa da [tex]\{1\}[/tex] e da [tex]A_5[/tex]) ha cardinalità che divide [tex]|A_5|=60[/tex] (infatti ogni sottogruppo normale è unione di classi di coniugio). Uno questo lo fa a mano: elenca le cardinalità delle classi di coniugio e fa tutte le somme possibili.
PS: Coi tag "tex" il simbolo [tex]\unlhd[/tex] ha come codice \unlhd.
2) Sì.
3) Un modo è dimostrare che nessuna unione di classi di coniugio di [tex]A_5[/tex] (che sia diversa da [tex]\{1\}[/tex] e da [tex]A_5[/tex]) ha cardinalità che divide [tex]|A_5|=60[/tex] (infatti ogni sottogruppo normale è unione di classi di coniugio). Uno questo lo fa a mano: elenca le cardinalità delle classi di coniugio e fa tutte le somme possibili.
PS: Coi tag "tex" il simbolo [tex]\unlhd[/tex] ha come codice \unlhd.
Grazie dell'aiuto, però, purtroppo non riesco a capire come possano valere le implicazioni della 2).
In quanto alla scrittura in LateX non ho capito perchè non mi prende il segno di sottogruppo normale (il triangolino sinistro)
In quanto alla scrittura in LateX non ho capito perchè non mi prende il segno di sottogruppo normale (il triangolino sinistro)
Credo di esserci, forse perchè $\forall \alpha \in (S_5)^{\prime} $ e $\forall \beta \in A_5$ se $\beta \alpha \beta^{-1} \in A_5$? Grazie Martino
In generale se [tex]K \leq H \leq G[/tex] e [tex]K[/tex] è normale in [tex]G[/tex] allora è anche normale in [tex]H[/tex]. Segue dalla definizione stessa di sottogruppo normale.
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