Derivato di un gruppo
ho difficoltà con questo esercizio:
esercizio 1
Sia $G = C_2 xx S_3$ il prodotto diretto di un gruppo ciclico e del gruppo simmetrico su tre oggetti. Si determini il sottogruppo derivato di G, la serie derivata di G, e si verifichi che il sottoguppo $ N = C_2 xx {1}$ è normale in G ma non è contenuto tra termini successivi della serie derivata.
quindi $ G = {1, x} xx {id, (1,2),(2,3),(1,3), (1,2,3),(1,3,2)}$
$|G|=|C_2| *|S_3| =2*6 = 12$
Ora $G' ={[(c,\sigma);(d,\tau)] |(c,\sigma),(d,\tau) EE G}$, dove $ [(c,\sigma);(d,\tau)] = (c,\sigma)*(d,\tau)*(c,\sigma)^(-1)*(d,\tau)^(-1)$ Però come faccio a vedere tutte le combinazioni possibili a propri senza provare a tentativi?
esercizio 1
Sia $G = C_2 xx S_3$ il prodotto diretto di un gruppo ciclico e del gruppo simmetrico su tre oggetti. Si determini il sottogruppo derivato di G, la serie derivata di G, e si verifichi che il sottoguppo $ N = C_2 xx {1}$ è normale in G ma non è contenuto tra termini successivi della serie derivata.
quindi $ G = {1, x} xx {id, (1,2),(2,3),(1,3), (1,2,3),(1,3,2)}$
$|G|=|C_2| *|S_3| =2*6 = 12$
Ora $G' ={[(c,\sigma);(d,\tau)] |(c,\sigma),(d,\tau) EE G}$, dove $ [(c,\sigma);(d,\tau)] = (c,\sigma)*(d,\tau)*(c,\sigma)^(-1)*(d,\tau)^(-1)$ Però come faccio a vedere tutte le combinazioni possibili a propri senza provare a tentativi?
Risposte
Ciao! Potresti cominciare con l'osservare che se [tex]H,K[/tex] sono due gruppi allora [tex](H \times K)' = H' \times K'[/tex].
bell'osservazione grazie!
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