Densità di Q in R

[DR1]

$a,b in RR$
$ p in QQ$
$a < b $
Poichè $ b - a > 0 $ , per la proprietà di archimede esiste $q in NN $ con $ q >= 1$ tale che $ q ( b - a ) > 1 $
Qual'è la spiegazione di questo passaggio

[j18eos]

Forse perché \(\mathbb{R}\), essendo un campo ordinato completo (o già sai che è l'unico a meno di isomorfismi di campi ordinati) è anche archimedeo; ovvero: \[\forall a;b\in\mathbb{R}:a>b>0,\,\exists n\in\mathbb{N}\mid nb\geq a\]

[Maci86]

Scusami ma come trovi un numero in n tale che:
$a=0, b=-1| -n≥0$
?

In quel passaggio praticamente dice che esiste una cifra decimale che differisci tra le rappresentazioni decimali di a e b, quindi troncando b a quella cifra decimale trovi un numero razionale minore di b e maggiore di a.

[j18eos]

Ho dimenticato un segno

Grazie per avermelo fatto notare!

[Maci86]

Figurati, io mi accorgo sempre in ritardo di questi errori e quindi ormai c'ho pian piano fatto l'occhio

[Plepp]

@Dr1: stavo per risponderti nell'altro topic. Avrei detto esattamente ciò che ha detto maci86

[DR1]

per la proprietà di Archimede $ a > 0 $, $ a < b $ , però, se faccio $ na $ con $ n in NN $, risulta $na > b $ , ora tutto questo ragionamento dove si trova in $ q (b-a) >1$ ? , qual'è in questo caso il numero più piccolo, che moltiplicato per un certo valore, diventa il più grande ??

[Plepp]

Se $b-a$ é già maggiore di $1$, che esista un intero positivo $n$ tale che $n(b-a)>1$ è ovvio. Se $0

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[DR1]

$b - a > 0 $ e non $ b - a > 1 $ perchè siccome $a,b in RR$ e un numero reale può essere di questo tipo $ r, n_1....n_x $, per esempio, se $b = 0,9512$ e $a = 0,8512$, risulta $1 > b - a > 0 $

[Plepp]

"DR1":$ b - a > 0 $ e non $ b - a > 1 $ perchè siccome $ a,b in RR $ e un numero reale può essere di questo tipo $ r, n_1....n_x $, per esempio, se $ b = 0,9512 $ e $ a = 0,8512 $, risulta $ 1 > b - a > 0 $

...eh?

"DR1":$a,b in RR$
$ p in QQ$
$a < b $
Poichè $ b - a > 0 $ , per la proprietà di archimede esiste $q in NN $ con $ q >= 1$ tale che $ q ( b - a ) > 1 $
Qual'è la spiegazione di questo passaggio

La spiegazione è quella che ti ho riportato su: per quanto possibile, cercherò di essere più chiaro. Poniamo $x: =b-a>0$ e $y: =1$. Allora, per la Proprietà di Archimede - cfr. Wikipedia, alla voce Assioma di Archimede - $\exists q\in NN$ tale che $qx\gey$, cioè $q(b-a)\ge 1$.

[DR1]

Se $b - a $ fosse stato $ 1> b - a > 0 $, cioè compreso tra $ 0 $ e $ 1 $ , il ragionamento filava, ma $ b - a > 0 $, dunque esiste gia un $ b - a > 1 $, senza fare nulla.

[Plepp]

E mica t'ho capito...cos'è che non ti quadra di preciso? Quota il passaggio/la frase che non ti convince.

[DR1]

"Plepp": Poniamo $ x: =b-a>0 $ e $ y: =1 $. Allora, per la Proprietà di Archimede - cfr. Wikipedia, alla voce Assioma di Archimede - $ \exists q\in NN $ tale che $ qx\gey $, cioè $ q(b-a)\ge 1 $.

$x:=b-a $
$y:=1$
di conseguenza, $x >0$ e $y=1$;
quindi $y=1$ e $x>0$;
segue $y=x$, cioè $q1>=(b-a)$

[Plepp]

"DR1":
quindi $y=1$ $x>0$;
segue $y
Ah ecco...quindi mi stai dicendo che se pongo $x=1/2>0$ e $y=1$, da questo segue $y

"DR1":
...quindi se applico archimede, dovrebbe essere $ EE q in NN $ tale che $ qy >=x $, cioè $ q1>=(b-a) $

Archimede dice questo:

se $s,t$ sono due numeri reali positivi, allora $\exists q\in NN$ tale che $qs>t$.

Non è importante che sia $tt$, quindi un $q$ che fa quel lavoro esiste, come vedi, a prescindere da Archimede. Quest'ultimo ti dice che anche se accade che $s

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[DR1]

nella proprietà di archimede, potrebbe, anche non essere importante, se $ t < s $ o $ s < t $ , ma l'ho è per il teorema di densità.

[Plepp]

"DR1":nella proprietà di archimede, potrebbe, anche non essere importante, se $ t < s $ o $ s < t $ , ma l'ho è per il teorema di densità.

No.

[DR1]

Per il momento lascio perdere Archimede e provo un'altra strada.
Teorema:
$AA a,b in RR $ con $ a Dimostrazione:
$a quindi $ a = z1$ e $b=z2$;
viene $a<(z1)/(z2) $(z1)/(z2) = q$, infine $a Torna anche a voi come dimostrazione ?
Ho sbagliato o omesso qualcosa ?

[Plepp]

Ciao DR1. No, non va...innanzitutto non è vero che se $a

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[DR1]

vero, non torna nulla

[DR1]

Ma come intervallo generico $]a,b[$ chi mi dice che ha per forza diametro maggiore di uno, cioè $]a,b[ > 1$ ?
genericamente potrei prendere $a= 0,4$ e $b = 0,5$.
Domanda: come dimostro che la densità di $ QQ in RR $ con $a$ e $b$ scritti sopra ?

[gugo82]

Il problema non è sostanziale... Credo solo tu abbia frainteso la notazione usata da j18eos (lì i numeri che lui denotava con \(a\) e \(b\) non erano affatto i tuoi \(a\) e \(b\)).
Quindi, tanto vale tornare a dove hai "appeso" il ragionamento proposto da Plepp.

Vedila così.
Se \(b>a\), il numero \(\alpha :=b-a\) è positivo.
Dato che la famiglia \(\Big\{ ]0,1], ]1,\infty[\Big\}\) è una partizione di \(]0,\infty[\), i casi possibili sono solamente due:

[list=1][*:39bf39id] o \(\alpha >1\) (e cioé \(\alpha \in ]1,\infty[\)): in tal caso ti basta prendere \(q=1\) per ottenere \(q\ \alpha >1\);

[/*:m:39bf39id]
[*:39bf39id] oppure \(0<\alpha\leq 1\) (ossia \(\alpha \in ]0,1]\)): in tal caso, la proprietà di Archimede implica che esiste un \(q\in \mathbb{N}\) tale che \(q\ \alpha >1\) (e \(q\) è pure necessariamente \(\geq 2\)).[/*:m:39bf39id][/list:o:39bf39id]

Perciò in ogni caso esiste un \(q\in \mathbb{N}\) tale che \(q\ (b-a)=q\ \alpha >1\).