Densità di Q in R

[DR1]

$a,b in RR$
$ p in QQ$
$a < b $
Poichè $ b - a > 0 $ , per la proprietà di archimede esiste $q in NN $ con $ q >= 1$ tale che $ q ( b - a ) > 1 $
Qual'è la spiegazione di questo passaggio

[DR1]

Nel primo caso, in cui $a>1$ non c'è bisogno di prendere una $q=1$, che senso ha ?
ho gia quello che serve.
Ok esiste sempre $ q in NN$ tale che $q (b-a)>1$, ma $q in ]a,b[$ ?

[DR1]

Qualcuno mi risponde

[DR1]

chi mi posta l'enunciato del toerema di densità di $QQ$ in $RR$

[gugo82]

Beh, si può enunciare in diversi modi...

Quello più elementare è il seguente:

Comunque si fissino due numeri reali \(x
mentre enunciati un po' più "avanzati" sono i seguenti:

Ogni numero reale si può approssimare con una successione di razionali.

La chiusura di \(\mathbb{Q}\) (rispetto alla topologia naturale di \(\mathbb{R}\)) coincide con \(\mathbb{R}\).

Nota, a proposito, che qui c'è una sottile distinzione tra la densità come enunciata nel primo teorema e quella come enunciata negli altri due.
Infatti, la densità del primo enunciato è intesa rispetto all'ordine \(\leq \), mentre la densità negli altri due è intesa rispetto alla topologia.
Queste sono due proprietà diverse, in generale, perché uno spazio ordinato non è necessariamente uno spazio topologico, né accade il viceversa. Tuttavia, le due proprietà in \(\mathbb{R}\) dotato della topologia naturale e dell'ordine usuale sono equivalenti.

La dimostrazione dell'enunciato elementare è abbastanza banale e segue dalla stessa definizione di numero reale e di relazione d'ordine in \(\mathbb{R}\).
Invero, se \(x=(X,\mathbb{Q}\setminus X)\) ed \(y=(Y,\mathbb{Q}\setminus Y)\), con \(X,Y\subset \mathbb{Q}\) limitati superiormente ed aventi \(\mathbb{Q}\setminus X\) e \(\mathbb{Q}\setminus Y\) come insiemi dei maggioranti, si ha \(x

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[DR1]

grazie gugo82
In \( x=(X,\mathbb{Q}\setminus X) \) , qual'è l'elemento e quale l'insieme ?

[gugo82]

Per definizione, un numero reale \(x\) è una coppia ordinata del tipo \((X,\mathbb{Q}\setminus X)\) di insiemi tali che:

[list=i][*:2mydxn1t] \(X\subset \mathbb{Q}\) ed \(X\neq \varnothing\);

[/*:m:2mydxn1t]
[*:2mydxn1t] \(X\) è limitato superiormente e privato dell'eventuale massimo;

[/*:m:2mydxn1t]
[*:2mydxn1t] \(\mathbb{Q}\setminus X\) è l'insieme dei maggioranti di \(X\) (in \(\mathbb{Q}\), ovviamente).[/*:m:2mydxn1t][/list:o:2mydxn1t]

Una coppia \((X,\mathbb{Q}\setminus X)\) che soddisfa le precedenti viene di solito chiamata sezione di Dedekind di \(\mathbb{Q}\) ed il numero \(x=(X,\mathbb{Q}\setminus X)\) si chiama numero reale individuato dalla sezione \((X,\mathbb{Q}\setminus X)\).

Ricordato ciò, non capisco il senso della domanda.

[DR1]

Grazie hai dato la risposta giusta
Quindi $RR = QQ^2$
non capisco però, come una coppia ordinata $(a.b) a in A, b in B $ con $ A,B in QQ$ possa risolvere il problema della continuità dei numeri visto che $ a $ e $ b $ devono appartenere a $ QQ $

[DR1]

Up

[gugo82]

"DR1":Grazie hai dato la risposta giusta
Quindi $RR = QQ^2$
non capisco però, come una coppia ordinata $(a.b) a in A, b in B $ con $ A,B in QQ$ possa risolvere il problema della continuità dei numeri visto che $ a $ e $ b $ devono appartenere a $ QQ $

Ma infatti qui non hai a che fare con \(\mathbb{Q}^2\)... Leggi bene i post precedenti.

[DR1]

Se $X sub QQ$ e $Q$ \ $ X sub QQ$ viene che $ x = ( X , Q $ \ $ X )$ = $ Q $ perché la coppia è formata da un sottoinsieme di $Q$ e $Q$ meno il sottoinsieme giusto ?
La mia domanda rimane la stessa.

[gugo82]

Le sezioni \(x=(X,\mathbb{Q}\setminus X)\), così come definite sopra, sono elementi di (una parte propria di) \(\mathcal{P}(\mathbb{Q})\times \mathcal{P}(\mathbb{Q})\), che è ben diverso da e ben più grande di \(\mathbb{Q}^2=\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}\).

[DR1]

Come fa $sqrt 2$ (numero reale) $in P ( QQ ) $ $X$ $ P (QQ ) $ , quindi $ in ( X , QQ$ \ $ X )$

[gugo82]

Che cos'è \(\sqrt{2}\)?

[DR1]

radice di 2

[gugo82]

E grazie... Intendevo: dai una definizione formale di \(\sqrt{2}\), così provi a capire come funziona la faccenda.

Inoltre:

"DR1":Come fa $sqrt 2$ (numero reale) $in P ( QQ ) xx P (QQ ) $

qual è la definizione di numero reale?

"DR1":quindi $ in ( X , QQ$ \ $ X )$

Vedo che ancora non hai ben capito come si usa la relazione d'appartenenza \(\in\)... Chiarisci cosa vuoi dire.

[DR1]

$ sqrt 2 $ è un numero reale irrazionale.
Sezioni di Dedekind

"enciclopedia Treccani":Se avviene che né la prima classe ha un massimo, né la seconda ha un minimo, la sezione definisce un nuovo numero (numero irrazionale), elemento di separazione delle due classi.

Quindi una sezione è un insieme di due classi (cioè $ P (QQ) $ e $P (QQ) $ ) e non una coppia ordinata ( $ P (QQ)$ X $ P (QQ))$ ?

[garnak.olegovitc1]

@DR1,

"DR1":$ sqrt 2 $ è un numero reale irrazionale.
Sezioni di Dedekind
[quote="enciclopedia Treccani"]Se avviene che né la prima classe ha un massimo, né la seconda ha un minimo, la sezione definisce un nuovo numero (numero irrazionale), elemento di separazione delle due classi.

Quindi una sezione è un insieme di due classi (cioè $ P (QQ) $ e $P (QQ) $ ) e non una coppia ordinata ( $ P (QQ)$ X $ P (QQ))$ ?[/quote]

non ti fidare della treccani...
vi è molta confusione cmq in quello che hai scritto... prova ad essere un pò più preciso, in particolare quando scrivi:

"DR1":
è un insieme di due classi (cioè $ P (QQ) $ e $P (QQ) $ ) e non una coppia ordinata ( $ P (QQ)$ X $ P (QQ))$ ?

Saluti!

[DR1]

Per fare un po di chiarezza, definizione di:
$X := {$
$ QQ $ \ $ X := {$

[garnak.olegovitc1]

@DR1,

"gugo82":Per definizione, un numero reale \(x\) è una coppia ordinata del tipo \((X,\mathbb{Q}\setminus X)\) di insiemi tali che:
[list=i][*:2d0h50tr] \(X\subset \mathbb{Q}\) ed \(X\neq \varnothing\);[/*:m:2d0h50tr]
[*:2d0h50tr] \(X\) è limitato superiormente e privato dell'eventuale massimo;[/*:m:2d0h50tr]
[*:2d0h50tr] \(\mathbb{Q}\setminus X\) è l'insieme dei maggioranti di \(X\) (in \(\mathbb{Q}\), ovviamente).[/*:m:2d0h50tr][/list:o:2d0h50tr]
Una coppia \((X,\mathbb{Q}\setminus X)\) che soddisfa le precedenti viene di solito chiamata sezione di Dedekind di \(\mathbb{Q}\) ed il numero \(x=(X,\mathbb{Q}\setminus X)\) si chiama numero reale individuato dalla sezione \((X,\mathbb{Q}\setminus X)\).
Ricordato ciò, non capisco il senso della domanda.

gugo82, lo ha scritto chiaramente... cos'è che non capisci in quello scritto? Se vuoi puoi vedere le sezioni di Dedekind diversamente, anche se è tutto equivalente, come di seguito:
http://homepage.sns.it/lolli/dispense11/Appendici.pdf (pg.12)
Saluti!

[DR1]

Se non ho capito male, l'insieme dei numeri reali , secondo Dedekind è formato cosi:

Giusto ?