Densità di Q in R
$a,b in RR$
$ p in QQ$
$a < b $
Poichè $ b - a > 0 $ , per la proprietà di archimede esiste $q in NN $ con $ q >= 1$ tale che $ q ( b - a ) > 1 $
Qual'è la spiegazione di questo passaggio
$ p in QQ$
$a < b $
Poichè $ b - a > 0 $ , per la proprietà di archimede esiste $q in NN $ con $ q >= 1$ tale che $ q ( b - a ) > 1 $
Qual'è la spiegazione di questo passaggio
Risposte
Salve DR1,
\( \mathbb{R} \) è l'insieme di tutte le sezioni dedekind su \( \mathbb{Q} \), ora ciascun autore preferisce presentare le sezioni di dedekind su \( \mathbb{Q} \) a modo suo... secondo me non hai capito cos'è una sezione di dedekind su \( \mathbb{Q} \), se si allora come fai a rappresentare i reali in quel modo.. correggimi se sbaglio!
Saluti
\( \mathbb{R} \) è l'insieme di tutte le sezioni dedekind su \( \mathbb{Q} \), ora ciascun autore preferisce presentare le sezioni di dedekind su \( \mathbb{Q} \) a modo suo... secondo me non hai capito cos'è una sezione di dedekind su \( \mathbb{Q} \), se si allora come fai a rappresentare i reali in quel modo.. correggimi se sbaglio!
Saluti
Se ho sbagliato correggimi, postando un tuo schema (in particolare un numero irrazionale appartiene ad una sezione di Dedekind ? )
In questo modo potrò correggere il mio.
In questo modo potrò correggere il mio.
@DR1,
nei miei studi ho visto gli irrazionali, indicandoli con il simbolo \( \mathbb{I} \), come l'insieme \( \mathbb{R} - \mathbb{Q} \), quindi, secondo te, è più giusto dire che un irrazionale, ovvero un \( a \in \mathbb{I} \), appartiene ad una sezione di Dedekind o che un \( a \) è un elemento di \( \mathbb{R} \) e quindi è una sezione di Dedekind...???
Saluti
"DR1":
Se ho sbagliato correggimi, postando un tuo schema (in particolare un numero irrazionale appartiene ad una sezione di Dedekind ? )
In questo modo potrò correggere il mio.
nei miei studi ho visto gli irrazionali, indicandoli con il simbolo \( \mathbb{I} \), come l'insieme \( \mathbb{R} - \mathbb{Q} \), quindi, secondo te, è più giusto dire che un irrazionale, ovvero un \( a \in \mathbb{I} \), appartiene ad una sezione di Dedekind o che un \( a \) è un elemento di \( \mathbb{R} \) e quindi è una sezione di Dedekind...???
Saluti
@DR1,
se vogliamo usare i diagrammi di Eulero-Venn, anche per darti idea, io preferisco questo:
http://mylessonsgallery.com/web_images/ ... m_copy.jpg
Comincia col pensare che gli elementi di \( \mathbb{R} \) sono sottoinsiemi propri e non vuoti di \( \mathbb{Q} \), almeno secondo la presentazione linkata del Lolli e secondo i miei studi, è già un passo se riesci mentalmente ad avere idea di ciò
Saluti!!
se vogliamo usare i diagrammi di Eulero-Venn, anche per darti idea, io preferisco questo:
http://mylessonsgallery.com/web_images/ ... m_copy.jpg
Comincia col pensare che gli elementi di \( \mathbb{R} \) sono sottoinsiemi propri e non vuoti di \( \mathbb{Q} \), almeno secondo la presentazione linkata del Lolli e secondo i miei studi, è già un passo se riesci mentalmente ad avere idea di ciò
Saluti!!
"DR1":
Se non ho capito male, l'insieme dei numeri reali , secondo Dedekind è formato cosi:
Giusto ?
Sbagliato.
I numeri reali non esistono prima che tu li definisca.
Quindi non ha alcun senso pensare \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) durante la costruzione di \(\mathbb{R}\).
Prima di effettuare la costruzione, hai solo \(\mathbb{Q}\).
Il tuo obiettivo è costruire un insieme "più grande", sul quale sia possibile mettere una struttura di campo (ossia introdurre due operazioni, una somma \(+_\mathbb{R}\) ed un prodotto \(\cdot_\mathbb{R}\)), usando solo \(\mathbb{Q}\).
Ciò si può fare.[nota]Si fa definendo gli elementi di \(\mathbb{R}\) come ho detto sopra.[/nota]
Questo campo lo chiami \(\mathbb{R}\) e ti accorgi anche che i suoi elementi, i.e. i "numeri reali", non hanno niente a che spartire con gli elementi di \(\mathbb{Q}\), cioé i "numeri razionali", poiché i "numeri reali" sono oggetti totalmente diversi da ciò che ti aspetti.
Tuttavia, è possibile trovare un'applicazione \(f:\mathbb{Q}\to \mathbb{R}\) che conserva la struttura algebrica, i.e. tale che \(f(p+_\mathbb{Q}q)=f(p)+_\mathbb{R} f(q)\) e \(f(p\cdot_\mathbb{Q} q)=f(p)\cdot_\mathbb{R} f(q)\) (con ovvio significato di simboli), e che ti consente di identificare \(\mathbb{Q}\) con un sottocampo proprio \(Q=f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{R}\).
Una tale applicazione, che in gergo si chiama immersione, ti permette di identificare \(\mathbb{Q}\) con \(Q\) e di scrivere con evidente abuso di notazione cose come \(\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\).
"gugo82":
Per definizione, un numero reale \( x \) è una coppia ordinata del tipo \( (X,\mathbb{Q}\setminus X) \) di insiemi tali che:
[list=i][*:37ygqhnp] \( X\subset \mathbb{Q} \) ed \( X\neq \varnothing \);[/*:m:37ygqhnp]
[*:37ygqhnp] \( X \) è limitato superiormente e privato dell'eventuale massimo;[/*:m:37ygqhnp]
[*:37ygqhnp] \( \mathbb{Q}\setminus X \) è l'insieme dei maggioranti di \( X \) (in \( \mathbb{Q} \), ovviamente).[/*:m:37ygqhnp][/list:o:37ygqhnp]
Una coppia \( (X,\mathbb{Q}\setminus X) \) che soddisfa le precedenti viene di solito chiamata sezione di Dedekind di \( \mathbb{Q} \) ed il numero \( x=(X,\mathbb{Q}\setminus X) \) si chiama numero reale individuato dalla sezione \( (X,\mathbb{Q}\setminus X) \).
Ricordato ciò, non capisco il senso della domanda.
ma una coppia ordinata del tipo \( (X,\mathbb{Q}\setminus X) \) non presuppone l'unione di due insiemi, attraverso il prodotto cartesiano ?
\( x=(X,\mathbb{Q}\setminus X) \) Dove sono i due insiemi ? forse la definizione corretta è questa $ X $ X $Q$ \ $X$ $= ( x, q$\$x)$, dove $ x in X $ e $ q$\$x in Q$ \ $X$"gugo82":
Sbagliato.
I numeri reali non esistono prima che tu li definisca.
Quindi non ha alcun senso pensare \( \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \) durante la costruzione di \( \mathbb{R} \).
Prima di effettuare la costruzione, hai solo \( \mathbb{Q} \).
Il tuo obiettivo è costruire un insieme "più grande", sul quale sia possibile mettere una struttura di campo (ossia introdurre due operazioni, una somma \( +_\mathbb{R} \) ed un prodotto \( \cdot_\mathbb{R} \)), usando solo \( \mathbb{Q} \).
Ciò si può fare.[nota]Si fa definendo gli elementi di \( \mathbb{R} \) come ho detto sopra.[/nota]
Questo campo lo chiami \( \mathbb{R} \) e ti accorgi anche che i suoi elementi, i.e. i "numeri reali", non hanno niente a che spartire con gli elementi di \( \mathbb{Q} \), cioé i "numeri razionali", poiché i "numeri reali" sono oggetti totalmente diversi da ciò che ti aspetti.
Tuttavia, è possibile trovare un'applicazione \( f:\mathbb{Q}\to \mathbb{R} \) che conserva la struttura algebrica, i.e. tale che \( f(p+_\mathbb{Q}q)=f(p)+_\mathbb{R} f(q) \) e \( f(p\cdot_\mathbb{Q} q)=f(p)\cdot_\mathbb{R} f(q) \) (con ovvio significato di simboli), e che ti consente di identificare \( \mathbb{Q} \) con un sottocampo proprio \( Q=f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{R} \).
Una tale applicazione, che in gergo si chiama immersione, ti permette di identificare \( \mathbb{Q} \) con \( Q \) e di scrivere con evidente abuso di notazione cose come \( \mathbb{Q}\subset \mathbb{R} \).
Il mio intendo era proprio partire solo da $QQ$, in questo modo: $ QQ = { X uu Q$ \ $X }$
"DR1":
[quote="gugo82"]Per definizione, un numero reale \( x \) è una coppia ordinata del tipo \( (X,\mathbb{Q}\setminus X) \) di insiemi tali che:
[list=i][*:29wjatsd] \( X\subset \mathbb{Q} \) ed \( X\neq \varnothing \);[/*:m:29wjatsd]
[*:29wjatsd] \( X \) è limitato superiormente e privato dell'eventuale massimo;[/*:m:29wjatsd]
[*:29wjatsd] \( \mathbb{Q}\setminus X \) è l'insieme dei maggioranti di \( X \) (in \( \mathbb{Q} \), ovviamente).[/*:m:29wjatsd][/list:o:29wjatsd]
Una coppia \( (X,\mathbb{Q}\setminus X) \) che soddisfa le precedenti viene di solito chiamata sezione di Dedekind di \( \mathbb{Q} \) ed il numero \( x=(X,\mathbb{Q}\setminus X) \) si chiama numero reale individuato dalla sezione \( (X,\mathbb{Q}\setminus X) \).
Ricordato ciò, non capisco il senso della domanda.
ma una coppia ordinata del tipo \( (X,\mathbb{Q}\setminus X) \) non presuppone l'unione di due insiemi, attraverso il prodotto cartesiano ?
\( x=(X,\mathbb{Q}\setminus X) \) Dove sono i due insiemi ? forse la definizione corretta è questa $ X $ X $Q$ \ $X$ $= ( x, q$\$x)$, dove $ x in X $ e $ q$\$x in Q$ \ $X$.[/quote]No.
La coppia che definisce un numero reale è una coppia ordinata le cui coordinate sono due insiemi, cioé \(X\) e \(\mathbb{Q}\setminus X\), non elementi di quei due insiemi.[nota]Ma, anche ammettendo che siano coppie di elementi, che diamine significherebbe \(q\setminus x\)? L'operazione \(\setminus\) è un'operazione insiemistica, non algebrica.[/nota]
Perciò trattasi di coppia ordinata appartenente al prodotto cartesiano \(\mathcal{P}(\mathbb{Q}) \times \mathcal{P}(\mathbb{Q})\), non di coppia appartenente a \(\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\).
Tanto per fare un esempio e farti capire la differenza, considera l'insieme \(\mathbb{A}:=\{1,2,3\}\) ed in esso la parte \(X=\{1,2\}\); chiaramente \(\mathbb{A}\setminus X=\{3\}\) e la coppia:
\[
(X,\mathbb{A}\setminus X) = \Big( \{1,2\} , \{3\}\Big)
\]
appartiene al prodotto cartesiano \(\mathcal{P}(\mathbb{A})\times \mathcal{P}(\mathbb{A})\) di due copie dell'insieme delle parti:
\[
\mathcal{P}(\mathbb{A}) = \Big\{ \varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \mathbb{A}\Big\}\; ,
\]
non all'insieme:
\[
\mathbb{A}\times \mathbb{A}=\{(1,1), (1,2),(1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\}\; .
\]
Infatti puoi ben vedere che \(\Big( \{1,2\} , \{3\}\Big)\) non figura tra le coppie di \(\mathbb{A}\times \mathbb{A}\).
P.S.: Ma che cosa studi?
Qual'è il procedimento che attraverso una sezione di Dedekind porta a individuare un numero reale ?
Qualche esempio ?
p.s. studio quello che voglio, non quello che mi dicono di studiare
Qualche esempio ?
p.s. studio quello che voglio, non quello che mi dicono di studiare
"DR1":
Qual'è il procedimento che attraverso una sezione di Dedekind porta a individuare un numero reale ?
Qualche esempio ?
Esempio: la sezione \((X,\mathbb{Q}\setminus X)\) in cui:
\[
X:=\big\{ q\in \mathbb{Q}:\ q<0\big\} \cup \big\{ q\in \mathbb{Q}:\ q\geq 0\text{ e } q^2<2\big\}
\]
individua un numero reale, perché soddisfa gli assiomi i-iii del mio post con la definizione di numero reale.
"DR1":
p.s. studio quello che voglio, non quello che mi dicono di studiare
Che risposta assurda... Se ti va di sfottere chi ti aiuta, sappi che non andrai granché avanti.
Visto che non mi va di farmi prendere in giro, buona continuazione senza di me.
"gugo82":
Per definizione, un numero reale \( x \) è una coppia ordinata del tipo \( (X,\mathbb{Q}\setminus X) \) di insiemi tali che:
[list=i][*:6rb9wa8q] \( X\subset \mathbb{Q} \) ed \( X\neq \varnothing \);[/*:m:6rb9wa8q]
[*:6rb9wa8q] \( X \) è limitato superiormente e privato dell'eventuale massimo;[/*:m:6rb9wa8q]
[*:6rb9wa8q] \( \mathbb{Q}\setminus X \) è l'insieme dei maggioranti di \( X \) (in \( \mathbb{Q} \), ovviamente).[/*:m:6rb9wa8q][/list:o:6rb9wa8q]
un numero reale non è una coppia ordinata, ma il suo elemento separatore.Infatti,
"gugo82":
Una coppia \( (X,\mathbb{Q}\setminus X) \) che soddisfa le precedenti viene di solito chiamata sezione di Dedekind di \( \mathbb{Q} \).
e no numero reale.
Che invece è
"gugo82":
individuato dalla sezione \( (X,\mathbb{Q}\setminus X) \)
ed è l'elemento separatore della coppia ordinata \( (X,\mathbb{Q}\setminus X) \) $: a <= r <= b$ $AA a in X $ e $b in $ \(\mathbb{Q}\setminus X \)
Forse si era fatta un po di confusione
, ma adesso spero di avere capito.
"DR1":
[quote="gugo82"]Per definizione, un numero reale \( x \) è una coppia ordinata del tipo \( (X,\mathbb{Q}\setminus X) \) di insiemi tali che:
[list=i][*:35jtvopt] \( X\subset \mathbb{Q} \) ed \( X\neq \varnothing \);[/*:m:35jtvopt]
[*:35jtvopt] \( X \) è limitato superiormente e privato dell'eventuale massimo;[/*:m:35jtvopt]
[*:35jtvopt] \( \mathbb{Q}\setminus X \) è l'insieme dei maggioranti di \( X \) (in \( \mathbb{Q} \), ovviamente).[/*:m:35jtvopt][/list:o:35jtvopt]
un numero reale non è una coppia ordinata, ma il suo elemento separatore.[/quote]Falso.
Dovresti ben sapere che esistono sezioni di \(\mathbb{Q}\) che non hanno elementi separatori in \(\mathbb{Q}\).
Ad ogni modo, come già detto, la tua difficoltà è che non sei abituato a costruire ampliamenti di insiemi numerici "dal nulla".
E, dato che ti ostini a non parlarmi del tuo background, io non so spiegartelo in maniera a te comprensibile.
"gugo82":
Falso.
Dovresti ben sapere che esistono sezioni di \( \mathbb{Q} \) che non hanno elementi separatori in \( \mathbb{Q} \).
Vero, ma l'elemento separatore ( o il numero reale individuato dalla sezione ) , può non appartenere a $QQ$, in questo caso, si ha un numero irrazionale ( o allineamento decimale illimitato non periodico ).
"gugo82":
E, dato che ti ostini a non parlarmi del tuo background, io non so spiegartelo in maniera a te comprensibile.
Il mio background ? Il nulla.
"DR1":
[quote="gugo82"]
Falso.
Dovresti ben sapere che esistono sezioni di \( \mathbb{Q} \) che non hanno elementi separatori in \( \mathbb{Q} \).
Vero, ma l'elemento separatore ( o il numero reale individuato dalla sezione ) , può non appartenere a $QQ$, in questo caso, si ha un numero irrazionale ( o allineamento decimale illimitato non periodico ).[/quote]
Come già detto, tu stai costruendo i numeri reali; quindi, finché non li hai costruiti, gli unici numeri a tua disposizione sono quelli razionali.
Perciò la tua definizione è falsa.
"DR1":
[quote="gugo82"]E, dato che ti ostini a non parlarmi del tuo background, io non so spiegartelo in maniera a te comprensibile.
Il mio background ? Il nulla.[/quote]
Un uomo senza passato è senza futuro.
Buon viaggio.
"gugo82":
Per definizione, un numero reale \( x \) è una coppia ordinata del tipo \( (X,\mathbb{Q}\setminus X)\)
"gugo82":
[list=i][*:x07dr9o2] \( X\subset \mathbb{Q} \) ed \( X\neq \varnothing \);[/*:m:x07dr9o2]
[*:x07dr9o2] \( X \) è limitato superiormente e privato dell'eventuale massimo;[/*:m:x07dr9o2]
[*:x07dr9o2] \( \mathbb{Q}\setminus X \) è l'insieme dei maggioranti di \( X \) (in \( \mathbb{Q} \), ovviamente).[/*:m:x07dr9o2][/list:o:x07dr9o2]
"gugo82":
Una coppia \( (X,\mathbb{Q}\setminus X) \) che soddisfa le precedenti viene di solito chiamata sezione di Dedekind di \( \mathbb{Q} \).
Se rileggi, hai scritto che una coppia ordinata del tipo \( (X,\mathbb{Q}\setminus X)\) è un numero reale e poi della stessa coppia, che è una sezione di Dedekind.
\( (X,\mathbb{Q}\setminus X)\) quindi è un numero reale o una sezione di Dedekind ?
(NOTA non ho letto tutti i post, quindi magari il dilemma era già stato risolto. In ogni caso che ne pensate di questa dimostrazione?)
$a,b in R$
$p in QQ$
$a
Qual'è la spiegazione di questo passaggio$?$
Se $(b-a)>1$ basta prendere $q>=1$.
Se $(b-a)=1$ basta prendere $q>=2$
Sia dunque $0<(b-a)<1$
Supponiamo per assurdo che non esiste $q in NN$ tale che $q(b-a)>1$
(questo passaggio è inutile ma rende la lettura più facile)
adesso $0<(b-a)<1$ possiamo scrivere $(b-a)$ come $\alpha/\beta$ con $\alpha<\beta$ ed $\alpha, \beta in RR$
(per esempio moltiplicando $\gamma/\gamma(b-a)$ con un qualsiasi $\gamma in RR$)
sostituendo avremo che non esiste $q in NN$ tale che $q(\alpha/\beta)>1$
allora non esiste $q in NN$ tale che $q>\1/(alpha/\beta)$ dunque
non esiste $q in NN$ tale che $q>\beta/\alpha$ con $\beta, \alpha$ fissati $inRR$ $\Rightarrow$ $NN$ è limitato superiormente ASSURDO.
Dunque esiste $q in NN$ tale che $q(b-a)>1$
$a,b in R$
$p in QQ$
$a
Qual'è la spiegazione di questo passaggio$?$
Se $(b-a)>1$ basta prendere $q>=1$.
Se $(b-a)=1$ basta prendere $q>=2$
Sia dunque $0<(b-a)<1$
Supponiamo per assurdo che non esiste $q in NN$ tale che $q(b-a)>1$
(questo passaggio è inutile ma rende la lettura più facile)
adesso $0<(b-a)<1$ possiamo scrivere $(b-a)$ come $\alpha/\beta$ con $\alpha<\beta$ ed $\alpha, \beta in RR$
(per esempio moltiplicando $\gamma/\gamma(b-a)$ con un qualsiasi $\gamma in RR$)
sostituendo avremo che non esiste $q in NN$ tale che $q(\alpha/\beta)>1$
allora non esiste $q in NN$ tale che $q>\1/(alpha/\beta)$ dunque
non esiste $q in NN$ tale che $q>\beta/\alpha$ con $\beta, \alpha$ fissati $inRR$ $\Rightarrow$ $NN$ è limitato superiormente ASSURDO.
Dunque esiste $q in NN$ tale che $q(b-a)>1$
@ DR1:
Se rileggi, hai scritto che una coppia ordinata del tipo \( (X,\mathbb{Q}\setminus X)\) è un numero reale e poi della stessa coppia, che è una sezione di Dedekind.
\( (X,\mathbb{Q}\setminus X)\) quindi è un numero reale o una sezione di Dedekind ?[/quote]
Dipende da cosa ne fai o da come la guardi.
Se pensi a quella coppia semplicemente come coppia di sottoinsiemi di \(\mathbb{Q}\), la chiami sezione.
Se la pensi come elemento di un insieme su cui riesci a mettere una struttura algebrica, la chiami numero reale.
D'altra parte, questa sorta di dualità terminologica è molto comune e non stupisce.
Infatti, ad esempio:
"DR1":
[quote="gugo82"]Per definizione, un numero reale \( x \) è una coppia ordinata del tipo \( (X,\mathbb{Q}\setminus X)\)
"gugo82":
[list=i][*:3ix0zlzy] \( X\subset \mathbb{Q} \) ed \( X\neq \varnothing \);[/*:m:3ix0zlzy]
[*:3ix0zlzy] \( X \) è limitato superiormente e privato dell'eventuale massimo;[/*:m:3ix0zlzy]
[*:3ix0zlzy] \( \mathbb{Q}\setminus X \) è l'insieme dei maggioranti di \( X \) (in \( \mathbb{Q} \), ovviamente).[/*:m:3ix0zlzy][/list:o:3ix0zlzy]
"gugo82":
Una coppia \( (X,\mathbb{Q}\setminus X) \) che soddisfa le precedenti viene di solito chiamata sezione di Dedekind di \( \mathbb{Q} \).
Se rileggi, hai scritto che una coppia ordinata del tipo \( (X,\mathbb{Q}\setminus X)\) è un numero reale e poi della stessa coppia, che è una sezione di Dedekind.
\( (X,\mathbb{Q}\setminus X)\) quindi è un numero reale o una sezione di Dedekind ?[/quote]
Dipende da cosa ne fai o da come la guardi.
Se pensi a quella coppia semplicemente come coppia di sottoinsiemi di \(\mathbb{Q}\), la chiami sezione.
Se la pensi come elemento di un insieme su cui riesci a mettere una struttura algebrica, la chiami numero reale.
D'altra parte, questa sorta di dualità terminologica è molto comune e non stupisce.
Infatti, ad esempio:
- [*:3ix0zlzy] l'elemento \(\varnothing\) lo puoi interpretare come l'insieme vuoto o come il numero naturale \(0\);
[/*:m:3ix0zlzy]
[*:3ix0zlzy] l'insieme \(\{(n,n+1),\ n\in \mathbb{N}\}\) lo puoi interpretare come insieme di \(\mathbb{N}^2\) o come il numero intero \(-1\);
[/*:m:3ix0zlzy]
[*:3ix0zlzy] l'insieme \(\{(p,q):\ q=2p,\ p\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\}\) lo puoi interpretare come insieme di \(\mathbb{Z}^2\) o come il numero razionale \(1/2\);
[/*:m:3ix0zlzy]
[*:3ix0zlzy] l'elemento \((0,1)\) lo puoi interpretare come elemento di \(\mathbb{R}^2\), come il numero complesso \(\imath\) o come vettore delle coordinate in uno spazio vettoriale \(\mathbb{V}\) (di dimensione \(2\)) coordinato su una sua base...[/*:m:3ix0zlzy][/list:u:3ix0zlzy]
@Navarone89: Sì, del problema iniziale se n'è già parlato.
Ma grazie del contributo.
Dopo avere capito le sezioni di Dedekind , grazie a gugo82 
(visto che avevamo entrambi ragione, dal nostro punto di vista).
Ritorniamo sull'argomento principale, cioè dimostrare la densità di $ QQ $ in $ R $.
(visto che avevamo entrambi ragione, dal nostro punto di vista).Ritorniamo sull'argomento principale, cioè dimostrare la densità di $ QQ $ in $ R $.
Non capisco perché bisogna assicurarsi un intervallo maggiore di $1$ in modo da avere un numero intero e per questo tirare fuori Archimede.
Provo cosi.
Dimostrazione densità $QQ$ in $RR$:
$a,b in RR$
$a < b $
$ b - a > 0 $
$ a < (a + b)/2 < b $
$(a+b)/2 = c $
$c in RR$
$a,1.....n$
$a < c/10^n
E per dimostrare che esistono infiniti numeri razionali tra $ a$ e $b$ ?
E se $b-a = sqrt 2$ ?
Provo cosi.
Dimostrazione densità $QQ$ in $RR$:
$a,b in RR$
$a < b $
$ b - a > 0 $
$ a < (a + b)/2 < b $
$(a+b)/2 = c $
$c in RR$
$a,1.....n$
$a < c/10^n
E per dimostrare che esistono infiniti numeri razionali tra $ a$ e $b$ ?
E se $b-a = sqrt 2$ ?
@ DR1: Con quel ragionamento hai mostrato che \(\mathbb{R}\) è denso in sé.
Ma, dato che \(c=\frac{a+b}{2}\) può non essere razionale, è evidente che il tuo ragionamento non dimostra che \(\mathbb{Q}\) è denso in \(\mathbb{R}\).
Per dimostrare che \(\mathbb{Q}\) è denso in \(\mathbb{R}\) basta usare la definizione di numero reale (come detto qui).
Prego (ma comunque il tuo punto di vista è sbagliato, se ti muovi nell'ottica di voler costruire i reali).
Ma, dato che \(c=\frac{a+b}{2}\) può non essere razionale, è evidente che il tuo ragionamento non dimostra che \(\mathbb{Q}\) è denso in \(\mathbb{R}\).
Per dimostrare che \(\mathbb{Q}\) è denso in \(\mathbb{R}\) basta usare la definizione di numero reale (come detto qui).
"DR1":
grazie a gugo82
Prego (ma comunque il tuo punto di vista è sbagliato, se ti muovi nell'ottica di voler costruire i reali).
Credo di essere giunto a conclusione
siano $a,b in RR$
$EE r in QQ : a < r < b $, cioè $ r in ]a,b[$
siccome l'intervallo $]a,b[$ potrebbe essere minore di $1$, per ammettere un numero interno, quindi per fare in modo che $p in ]a,b[$, con $p in ZZ$ lo allarghiamo
e qui che entra in gioco la proprietà di Archimede, perché stiamo supponendo che $]a,b[ < 1 $,
per escludere questo caso (in cui non possiamo ammettere esistenza di interi);
per tale proprietà $EE q in NN, q >= 1$(in questo caso $>1$)$: q(b-a) > 1$
"in aiuto alla spiegazione di questo passaggio,per richiamare la simbologia classica, se poniamo $q=n ,b-a=a$ e $1=b$ viene $na>b$";
quindi abbiamo raggiunto lo scopo di estendere l'intervallo, infatti $qb-qa >1$, dunque $]qa,qb[>1$
a questo punto possiamo affermare che $EE p in ZZ : qa < p < qb$, da qui si ritorna all'intervallo $]a,b[$ dividendo per $q$;
viene $a Quello che non mi torna a questo punto è, come fa $p/q in QQ$ ? ok $p in ZZ$, ma $q in NN$ e in numero razionale non deve avere $p$ e $q in ZZ$, quindi essere un rapporto di numeri interi ?
siano $a,b in RR$
$EE r in QQ : a < r < b $, cioè $ r in ]a,b[$
siccome l'intervallo $]a,b[$ potrebbe essere minore di $1$, per ammettere un numero interno, quindi per fare in modo che $p in ]a,b[$, con $p in ZZ$ lo allarghiamo
e qui che entra in gioco la proprietà di Archimede, perché stiamo supponendo che $]a,b[ < 1 $,
per escludere questo caso (in cui non possiamo ammettere esistenza di interi);
per tale proprietà $EE q in NN, q >= 1$(in questo caso $>1$)$: q(b-a) > 1$
"in aiuto alla spiegazione di questo passaggio,per richiamare la simbologia classica, se poniamo $q=n ,b-a=a$ e $1=b$ viene $na>b$";
quindi abbiamo raggiunto lo scopo di estendere l'intervallo, infatti $qb-qa >1$, dunque $]qa,qb[>1$
a questo punto possiamo affermare che $EE p in ZZ : qa < p < qb$, da qui si ritorna all'intervallo $]a,b[$ dividendo per $q$;
viene $a Quello che non mi torna a questo punto è, come fa $p/q in QQ$ ? ok $p in ZZ$, ma $q in NN$ e in numero razionale non deve avere $p$ e $q in ZZ$, quindi essere un rapporto di numeri interi ?
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